Experimentelle Covarianz < Statistik/Hypothesen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:11 So 25.05.2008 | | Autor: | Nadine23 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe folgende AUfgabe zu lösen.
2 rote
3 weiße Kugel
3x ziehen mit zurücklegen
Definieren Sie die Zufallsvariablen
X= 2 alle rot
1 alle weiß
0 sonstiges
Y = ANzahl der gezogenen Kugeln
habe jetzt ein Baudiagramm gemalt und die Wahrscheinlichkeiten ermittelt
die Dichte von X: fx = 0 (0,72) 1 (0,216) 2 (0,064)
die Dichte von Y: fy = 0 (0,064) 1 (0,288) 2 (0,432) 3(0,216)
E(X) = 0,344
E(Y) = 1,864
stimmt das bis hierher???
und jetzt wollte ich die Kovarianz mit
COV (XY) = E(X*Y) -E(X) * E(Y)
errechnen
COY(XY) = ? - 0,344 * 1,864
was ist hier E(Y*X)
vielen Dank für die Hilfe.
nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 So 25.05.2008 | | Autor: | Vreni |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> ich habe folgende AUfgabe zu lösen.
>
>
> 2 rote
> 3 weiße Kugel
>
> 3x ziehen mit zurücklegen
>
> Definieren Sie die Zufallsvariablen
>
> X= 2 alle rot
> 1 alle weiß
> 0 sonstiges
>
>
> Y = ANzahl der gezogenen Kugeln
Ich nehme an, dass Y: "Anzahl der gezogenen weißen Kugeln" gemeint ist
>
> habe jetzt ein Baudiagramm gemalt und die
> Wahrscheinlichkeiten ermittelt
>
> die Dichte von X: fx = 0 (0,72) 1 (0,216) 2 (0,064)
>
> die Dichte von Y: fy = 0 (0,064) 1 (0,288) 2 (0,432)
> 3(0,216)
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> E(X) = 0,344
> E(Y) = 1,864
>
> stimmt das bis hierher???
>
E(X) stimmt, aber bei E(Y)=0*0,064 + 1* 0,288 + 2*0,432 + 3*0,216=0,288 + 2*0,432 + 3*0,216=1,8
>
> und jetzt wollte ich die Kovarianz mit
>
> COV (XY) = E(X*Y) -E(X) * E(Y)
>
> errechnen
>
> COY(XY) = ? - 0,344 * 1,864
>
>
> was ist hier E(Y*X)
Du musst dir überlegen, wie die Dichte von X*Y aussieht. X*Y ist dabei einfach eine neue Zufallsvariable, die du erhältst, wenn du X und Y für jedes Ereignis multiplizierst.
z.B. Wenn du 2 rote und eine weiße Kugel ziehst, ist X=0, Y=1 und X*Y=0*1=0
Wir müssen uns jetzt eigentlich nur überlegen, wann [mm] X*Y\ne [/mm] 0 ist, die Wahrscheinlichkeit für X*Y=0 ergibt sich dann, wenn man die summe der restlichen Wahrscheinlichkeiten zu 1 ergänzt.
Also:
Wenn X=2, dann haben wir nur rote Kugeln gezogen [mm] \Rightarrow [/mm] Y=0 [mm] \Rightarrow [/mm] X*Y=0
Wenn X=0 [mm] \Rightarrow [/mm] X*Y=0
Wenn X=1, dann haben wir nur weiße Kugeln gezogen [mm] \Rightarrow [/mm] Y=3 [mm] \Rightarrow [/mm] X*Y=3, die Wahrscheinlichkeit hierfür ist 0,216 (hast du ja oben schon berechnet)
d.h. Dichte von X*Y : f(xy) = 0 (0,784) 3 (0,216)
Kommst du jetzt weiter?
Gruß,
VReni
>
> vielen Dank für die Hilfe.
>
> nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 So 25.05.2008 | | Autor: | Nadine23 |
Lieben Dank für deine Hilfe Vreni.
wie wäre dann das Ergebnis für die COV (XY) ??
3 * 0,216 - 1,8 * 0,344 = 0,0288
auf meiner Lösung steht aber 0,648 und das Ergebnis
wird aus einer (mir nicht verständlichen) Tabelle
abgelesen.
kannst DU mir noch weiterhelfen??
Vielen lieben Dank
P.S. Ich habe den ganzen Zusammenhang noch nicht richtig verstanden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 So 25.05.2008 | | Autor: | Vreni |
Hallo Nadine
Schaut die Tabelle ungefähr so aus?
[mm] \begin{matrix}
& y & 0 & 1 & 2 & 3\\
x & & & & &\\
0 & & 0 & 0,288 & 0,432 & 0\\
1 & & 0 & 0 & 0 & 0,216\\
2 & & 0,064 & 0 & 0& 0\\
\end{matrix}
[/mm]
Dann ist es einfach nur die Herleitung der Dichte von X*Y. Der Tabelleneintrag sagt aus, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass X und Y die entsprechenden Werte haben. Z.B. ist P(X=0, Y=1)=0,288, weil wenn Y=1 ist, dann ist automatisch X=0 (überleg dir das Anhand der Definitionen von X und Y). P(X=0, Y=0)=0, da wenn Y=0 automatisch X=2 gilt. Und so muss man alle Tabelleneinträge nacheinander ergänzen.
Und aus der Tabelle kann man dann die Dichte herleiten, die ich dir vorhin angegeben habe.
Die 0,648 sind laut meinen Überlegungen genau E(X*Y), könnte das in der Lösung auch gemeint sein?
Gruß,
Vreni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 So 25.05.2008 | | Autor: | Nadine23 |
sorry sorry sorry,
sind das jetzt zwei unterschiedliche Ansätze??
ich habe keine Durchblick mehr, deinen ersten Ansatz konnte ich verstehen.
Aber mit der Tabelle kann ich nichts anfangen. (Aber du hast recht
in der Lösung ist es genau so gemacht).
geht es aber auch über den ersten Weg, den du mir vorher erklärt hast und
kommt da das Gleiche raus???
scheinabr ja nicht
schnief :-(
liebe Grüße
Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 So 25.05.2008 | | Autor: | Vreni |
Hallo Nadine,
Also an sich sind es nicht zwei Wege, sondern nur unterschiedliche Betrachtungsweisen. Und bei mir kommt bei beiden dasselbe raus, nämlich [mm]cov(X*Y) = E(X*Y) - E(X)*E(Y) = 3*0,216 - 0,344*1,8 = 0,648 - 0,6192 = 0,0288[/mm]
Nun zu meiner Betrachtungsweise 1: Ich habe ja einfach überlegt, was könnte bei X*Y rauskommen (das ist 0, 1, 2, 3, 6).
Und für diese Zahlen: wie können sie zusammengesetzt sein?
X*Y=0
0=0*Y oder 0=X*0 (und weil das so viele sind, hab ichs erstmal weggelassen)
X*Y=1
1=1*1, aber gleichzeitig Y=1 und X=1 geht nicht [mm] \Rightarrow [/mm] P(X*Y=1)=0 (also die Wahrscheinlichkeit, dass X*Y=1 ist, ist 0)
X*Y=2
2=2*1 oder 2=1*2, aber gleichzeitg X=2 und Y=1, oder eben X=1 und Y=1, geht auch nicht [mm] \Rightarrow [/mm] P(X*Y=2)=0
X*Y=3
3=1*3 (X kann ja gar nicht 3 werden), X=1 und Y=3 hat die Wahrscheinlichkeit 0,216 [mm] \Rightarrow [/mm] P(X*Y=3)=0,216
X*Y=6
6=2*3, aber gleichzeitg X=2 und Y=3 geht auch nicht [mm] \Rightarrow [/mm] P(X*Y=6)=0
Und weil ja die Summe aller Wahrscheinlichkeit =1 sein soll, muss dann eben P(X*Y=0)=1-P(X*Y=3)=0,784 sein.
Jetzt zu Betrachtungsweise 2 (Tabelle): Eigentlich steckt dieselbe Überlegung dahinter, nur dass nicht vorher die Fälle, die das gleiche Ergebnis bringen (also z.B X=2, Y=1 und X=1, Y=2) zusammengefasst, sondern einzeln aufgeschrieben.
In meiner Tabelle habe ich drei Zeilen: in der ersten ist X=0, in der zweiten X=1, in der dritten X=2. Genauso mit den Spalten: In der ersten ist Y=0, in der zweiten Y=1, in der dritten Y=2 und in der vierten Y=3.
Stell dir mal vor, in der Tabelle würde noch nichts stehen, also so:
$ [mm] \begin{matrix} & Y & 0 & 1 & 2 & 3\\ X & & & & &\\ 0 & & & & & \\ 1 & & & & & \\ 2 & & & & & \\ \end{matrix} [/mm] $
Dann schauen uns mal den Einträge in der Y=0-Spalte an: erstes Feld ist Y=0, X=0. Also: keine weiße Kugel (Y=0) und gleichzeitig nicht nur rote oder nur weiße (X=0). Das geht nicht, also ist dieser Eintrag =0:
$ [mm] \begin{matrix} & Y & 0 & 1 & 2 & 3\\ X & & & & &\\ 0 & & \red{0} & & & \\ 1 & & & & & \\ 2 & & & & & \\ \end{matrix} [/mm] $
Also nächster Eintrag: Y=0, X=1: keine weiße Kugel (Y=0) und gleichzeitig nur weiße (X=1). Geht nicht, aslo wieder 0:
$ [mm] \begin{matrix} & Y & 0 & 1 & 2 & 3\\ X & & & & &\\ 0 & & 0 & & & \\ 1 & & \red{0}& & & \\ 2 & & & & & \\ \end{matrix} [/mm] $
Weiter: Y=0, X=2: keine weiße Kugel (Y=0) und gleichzeitig nur rote (X=2). Geht, beides bedeutet dasselbe, also Wahrscheinlichkeit 0,064:
$ [mm] \begin{matrix} & Y & 0 & 1 & 2 & 3\\ X & & & & &\\ 0 & & 0 & & & \\ 1 & & 0 & & & \\ 2 & & \red{0,064}& & & \\ \end{matrix} [/mm] $
Und so macht man ds mit allen Spalten, bis man die Matrix hat.
$ [mm] \begin{matrix} & Y & 0 & 1 & 2 & 3\\ X & & & & &\\ 0 & & 0 & 0,288 & 0,432 & 0\\ 1 & & 0 & 0 & 0 & 0,216\\ 2 & & 0,064 & 0 & 0& 0\\ \end{matrix} [/mm] $
Die Dichte bekommt man dann, wenn man sich überlegt, welche Werte X*Y denn Annehmen kann (hatten wir ja schon: 0,1,2,3,6) und für die Wahrscheinlichkeit dieser Werte die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Möglichkeiten addiert: z.B. P(X*Y=2)=P(X=1, Y=2) + P(X=2, Y=1).
Und so kommt man auf die gleichen Dichten.
$ [mm] \begin{matrix} X*Y & 0 & 1 & 2 & 3 & 6\\ Wahrsch. & 0,784 & 0 & 0 & 0,216 & 0\\ \end{matrix} [/mm] $
Und über diese Dichte kann man dann E(X*Y) ausrechnen. Und daraus dann cov(X*Y)=E(X*Y)-E(X)*E(Y).
Aber die Kovarianz kann man nicht direkt aus der Tabelle ablesen.
Gruß,
Vreni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:37 So 25.05.2008 | | Autor: | Nadine23 |
vielen liebe Dank.
jetzt habe ich erst mal den Sinn verstanden.
Ich muss mir das noch mal ansehen aber es ist eine Super Erklärung.
bist du überall so fit??
ich habe immer noch nicht verstanden wie
disjunkt kunjunkt abhängig unabhängig mit zurücklegen ohne zurücklegen zusammenhängt.
oder gibt es da gar keine verbindung??
Grüße
Nadine
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