Expfkt - Untersuchung < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Di 23.01.2007 | | Autor: | Tharsis |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f durch f(x) = (2x + 3) [mm]*[/mm] [mm]e^-^x[/mm] ; [mm] x\in \IR.
[/mm]
Ihr Schaubild sei [mm] K_{f}.
[/mm]
Die Funktion g ist gegeben durch g(x) = [mm]e^-^x[/mm] ; [mm] x\in \IR.
[/mm]
Ihr Schaubild sei [mm] K_{g}.
[/mm]
Untersuchen Sie [mm] K_{f} [/mm] auf Schnittpunkte mit den Koordinaten, Hoch-, Tief- und Wendepunkte sowie Asymptoten.
Zeichnen Sie [mm] K_{f} [/mm] und [mm] K_{g} [/mm] für [mm] -2\le [/mm] x [mm] \le4.
[/mm]
Zeigen Sie, dass F(x) = - (2x+5) [mm]*[/mm] [mm]e^-^x[/mm] eine Stammfunktion von f ist. |
Habe bereits angefangen, mir Gedanken zu machen:
Schnittpunkte mit y-Achse:
f(0) = (2[mm]*[/mm] 0+3) [mm]*[/mm] [mm]e^-^x[/mm]
= 3
--> [mm] S_{y} [/mm] = (0/3)
mit der x-Achse:
f(x) = 0
(2x+3)[mm]*[/mm] [mm]e^-^x[/mm] = 0
2x+3 = 0
x= 1,5
--> [mm] S_{x} [/mm] (-1,5/0)
So, jetzt müssten wir an die Extrema gehen, doch irgendwie scheiterts schon bei der Ableitung (und allem was dann folgt)...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:54 Di 23.01.2007 | | Autor: | Mary15 |
> So, jetzt müssten wir an die Extrema gehen, doch irgendwie
> scheiterts schon bei der Ableitung (und allem was dann
> folgt)...
Versuch mal die Ableitung mit Produktregel zu finden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Di 23.01.2007 | | Autor: | Tharsis |
Ja, ist mir klar.
Vorschlag:
u= (2x+3) v= [mm]e^-^x[/mm]
u'= 2 v'= [mm]-e^-^x[/mm]
[mm]u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)[/mm]
-->
[mm]2 * e^-^x + (2x+3) * -e^-^x [/mm]
Wie könnt ich da jetzt vereinfachen und wie bekomme ich die Extrema bzw. Wendestellen (da war doch was mit zweiter Ableitung = 0, oder?)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Di 23.01.2007 | | Autor: | Mary15 |
> Ja, ist mir klar.
>
> Vorschlag:
>
> u= (2x+3) v= [mm]e^-^x[/mm]
> u'= 2 v'= [mm]-e^-^x[/mm]
>
> [mm]u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)[/mm]
>
> -->
>
> [mm]2 * e^-^x + (2x+3) * -e^-^x[/mm]
richtig!
> Wie könnt ich da jetzt vereinfachen und wie bekomme ich die
> Extrema bzw. Wendestellen (da war doch was mit zweiter
> Ableitung = 0, oder?)
Nun, kanns du [mm] e^-^x [/mm] ausklammern und dann das ganze gleich 0 setzen. Kennst du die Bedingungen für Extrema?
Um Wendepunkte zu bestimmen solltest du dann die zweite Ableitung finden, gleich 0 setzen und dann auch die Bedingungen für Wendepunkt überprüfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Di 23.01.2007 | | Autor: | Tharsis |
$ 2 [mm] \cdot{} [/mm] e^-^x + (2x+3) [mm] \cdot{} [/mm] -e^-^x $
$ e^-^x (2x+5) $
x= 2,5
et maintenaint?
(Notwendige Bedingung ist doch f'(x)=0, oder?)
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Hi, Tharsis,
> [mm]2 \cdot{} e^-^x + (2x+3) \cdot{} -e^-^x[/mm]
So darfst Du das aber AUF GAR KEINEN FALL schreiben!
Merke: Niemals zwei Rechenzeichen unmittelbar nebeneinander!
Richtige Schreibweise:
f'(x) = [mm] 2*e^{-x} [/mm] + [mm] (2x+3)*(-e^{-x})
[/mm]
= [mm] 2*e^{-x} [/mm] - [mm] (2x+3)*e^{-x}
[/mm]
= (-2x - [mm] 1)*e^{-x}
[/mm]
> [mm]e^-^x (2x+5)[/mm]
Falsch! (siehe oben!)
> x= 2,5
Wäre auch falsch; KEIN Folgefehler, weil aus Deinem (falschen) Ergebnis folgen würde: x= -2,5.
> et maintenaint?
Un petit moment, s'il te plait!
> (Notwendige Bedingung ist doch f'(x)=0, oder?)
Richtig! Und nun einsetzen in die 2. Ableitung!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Di 23.01.2007 | | Autor: | Tharsis |
Aus dieser Ausklammerung folgt dann also:
= (-2x - $ [mm] 1)\cdot{}e^{-x} [/mm] $
x = 2,5 oder? (denn [mm] e^{-x} [/mm] kann doch nicht null sein, also muss (-2x - $ 1) = 0 sein?
----
2. Ableitung:
f''(x) = $ [mm] (-2)\cdot{}-e^{-1} [/mm] $
f''(0) = ??
Wenn > dann lok Min, sonst lok Max
----
Wendepunkte: Zweite Ableitung = 0
dann in dritte einsetzen (schreibe das jetzt nur allgemein, weil ich glaube das ich bereits eben einen Fehler gemacht habe).
----
Was ist überhaupt mit den Asymptoten? Was heißt das genau? Und was ist gemeint, wenn man etwas "für $ [mm] -2\le [/mm] $ x $ [mm] \le4. [/mm] $" zeichnen soll mit einer Längeneinheit von 2cm?
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Hi, Tharsis,
> Aus dieser Ausklammerung folgt dann also:
>
> = (-2x - [mm]1)\cdot{}e^{-x}[/mm]
>
> x = 2,5 oder?
Zum 2. Mal: NEIN!
> (denn [mm]e^{-x}[/mm] kann doch nicht null sein, also
> muss (-2x - 1) = 0 sein?
Eben! Und daraus ergibt sich nach Adam Riese: x = -0,5
> ----
>
> 2. Ableitung:
>
> f''(x) = [mm](-2)\cdot{}-e^{-1}[/mm]
f''(x) = (2x - [mm] 1)*e^{-x}
[/mm]
f''(-0,5) = (-1 - [mm] 1)*e^{0,5} [/mm] = [mm] -2*e^{0,5} [/mm] < 0 => Hochpunkt
> f''(0) = ??
Wofür willst Du f'' an der Stelle x=0 berechnen? Für die vorliegende Aufgabe ist das sinnlos!
> Wenn > dann lok Min, sonst lok Max
>
> ----
>
> Wendepunkte: Zweite Ableitung = 0
Genau!
f''(x) = (2x - [mm] 1)*e^{-x} [/mm] = 0 ergibt: x=0,5
> dann in dritte einsetzen (schreibe das jetzt nur allgemein,
> weil ich glaube das ich bereits eben einen Fehler gemacht
> habe).
>
> ----
>
> Was ist überhaupt mit den Asymptoten?
Grenzwertrechnung ergibt: x-Achse (Gleichung: y=0) ist waagrechte Asymptote für x [mm] \to +\infty.
[/mm]
Weitere Asymptoten gibt's nicht!
> Was heißt das genau?
Das sich der Funktionsgraph im rechten Teil der x-Achse nähert.
> Und was ist gemeint, wenn man etwas "für [mm]-2\le[/mm] x [mm]\le4. [/mm]"
> zeichnen soll mit einer Längeneinheit von 2cm?
Dass man von x=-2 bis x=4 zeichnen soll, am besten mit Wertetabelle.
Und dass man die Einheiten "verdoppeln" soll (1 LE = 2cm), damit der Graph nicht gar so klein ausfällt.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Di 23.01.2007 | | Autor: | Tharsis |
Vielen Dank erst einmal.
Doch ich hab noch ein paar Fragen:
> Genau!
> f''(x) = (2x - [mm]1)*e^{-x}[/mm] = 0 ergibt: x=0,5
Muss ich an dieser Stelle nicht noch die 0,5 in die dritte Ableitung setzten um zu prüfen, ob das überhaupt ein Wendepunkt ist? Und brauche ich nicht auch noch die y-Koordinate?
> Grenzwertrechnung ergibt: x-Achse (Gleichung: y=0) ist
> waagrechte Asymptote für x [mm]\to +\infty.[/mm]
> Weitere Asymptoten
> gibt's nicht!
Wie hast du denn diese "Grenzwertrechnung" gemacht?
> Dass man von x=-2 bis x=4 zeichnen soll, am besten mit
> Wertetabelle.
> Und dass man die Einheiten "verdoppeln" soll (1 LE = 2cm),
> damit der Graph nicht gar so klein ausfällt.
D.h. ich soll jetzt für x jeweils Werte einsetzten um den Graphen dann mittels des WP und der Extrema zeichnen, oder? (Zusätzlich soll ich noch die Funktion $ g(x) = [mm] e^{-x} [/mm] $ dazu zeichnen. Mache ich das da auch mit Wertetabelle? Und welche Werte setzte ich ein?)
Danke! 
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Hi, Tharsis,
> > f''(x) = (2x - [mm]1)*e^{-x}[/mm] = 0 ergibt: x=0,5
>
> Muss ich an dieser Stelle nicht noch die 0,5 in die dritte
> Ableitung setzten um zu prüfen, ob das überhaupt ein
> Wendepunkt ist?
Ja!
> Und brauche ich nicht auch noch die y-Koordinate?
Ja!
(Beim Hochpunkt natürlich auch!)
> > Grenzwertrechnung ergibt: x-Achse (Gleichung: y=0) ist
> > waagrechte Asymptote für x [mm]\to +\infty.[/mm]
> > Weitere Asymptoten gibt's nicht!
>
> Wie hast du denn diese "Grenzwertrechnung" gemacht?
Im einen Fall (links) direkt: [mm] -\infty*\infty [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
im andern Fall (rechts) mit der Regel von de L'Hospital.
> > Dass man von x=-2 bis x=4 zeichnen soll, am besten mit
> > Wertetabelle.
> > Und dass man die Einheiten "verdoppeln" soll (1 LE = 2cm),
> > damit der Graph nicht gar so klein ausfällt.
>
> D.h. ich soll jetzt für x jeweils Werte einsetzten um den
> Graphen dann mittels des WP und der Extrema zeichnen, oder?
Ja!
> (Zusätzlich soll ich noch die Funktion [mm]g(x) = e^{-x}[/mm] dazu
> zeichnen. Mache ich das da auch mit Wertetabelle?
Ja!
> Und welche Werte setzte ich ein?)
Die gleichen x-Werte wie für den Graphen von f:
x [mm] \in \{-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 \}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Di 23.01.2007 | | Autor: | Tharsis |
Wieder einmal danke für die schnelle Antwort.
> Im einen Fall (links) direkt: [mm]-\infty*\infty[/mm] = [mm]-\infty[/mm]
> im andern Fall (rechts) mit der Regel von de L'Hospital.
Geht das auch irgendwie anders? Habe noch nie (auch im Unterricht nicht) davon gehört.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 Di 23.01.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Tharsis,
> > Im einen Fall (links) direkt: [mm]-\infty*\infty[/mm] = [mm]-\infty[/mm]
> > im andern Fall (rechts) mit der Regel von de
> L'Hospital.
>
> Geht das auch irgendwie anders? Habe noch nie (auch im
> Unterricht nicht) davon gehört.
Und wie habt Ihr bisher Grenzwerte bestimmt, bei denen die Exponentialfunktion beteiligt ist?
Vielleicht mit der Faustregel
"e gewinnt" ?
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Di 23.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Wieder einmal danke für die schnelle Antwort.
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> > Im einen Fall (links) direkt: [mm]-\infty*\infty[/mm] = [mm]-\infty[/mm]
> > im andern Fall (rechts) mit der Regel von de
> L'Hospital.
>
> Geht das auch irgendwie anders? Habe noch nie (auch im
> Unterricht nicht) davon gehört.
Hmm, eigentlich geht es nicht anders.
Es gibt eine Möglichkeit, die Zwerglein schon andeutete, mit "e schlät alles".
Diese besagt, dass die Exponentialfunktionen "am stärksten" zum Grenzwert streben, also dass man die Betrachtung auf den teil reduzieren kann. Aber das ist nicht wirklich mathematisch, da bleibt nur das ganze passend umzuformen, und evtl. dann (mehrfach) de L'Hospital anzuwenden.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Di 23.01.2007 | | Autor: | Tharsis |
Zum Vergleich:
- Ist der Hochpunkt also H (-0,5/3,29)?
- Ist die dritte Ableitung [mm]f'''(x) = 2 * e^-{x}[/mm]?
- Beträgt der Wendepunkt WP (0,5/3,29)?
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Hi, Tharsis,
> Zum Vergleich:
> - Ist der Hochpunkt also H (-0,5/3,29)?
Fast! Wenn Du auf 2 Nachkommastellen rundest, muss 3,30 als y-Koordinate rauskommen.
> - Ist die dritte Ableitung [mm]f'''(x) = 2 * e^-{x}[/mm]?
Nein! Richtig wäre: f'''(x) = [mm] (-2x+3)*e^{-x}
[/mm]
> Beträgt der Wendepunkt WP (0,5/3,29)?
Nein! Der Wendepunkt kann doch nicht dieselbe y-Koordinate haben wie der Hochpunkt!
Die richtige y-Koordinate ist (auf 2 Nachkommastellen gerundet): 2,43
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Di 23.01.2007 | | Autor: | Tharsis |
Jep, habe jetzt dieselben Ergebnisse raus.
Das
(> Nein! Der Wendepunkt kann doch nicht dieselbe y-Koordinate
> haben wie der Hochpunkt!
> Die richtige y-Koordinate ist (auf 2 Nachkommastellen
> gerundet): 2,43)
war ja "nur" ein Folgefehler aufgrund der falschen dritten Ableitung. Jetzt muss ich nur noch irgendwie das "Asymptoten-Problem" lösen...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Di 23.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich zeige dir dass F die Stammfunktion ist, dazu muss man ja F ableiten und sollte auf f kommen.
[mm] F'(x)=\underbrace{-(2x+5)}_{u}\underbrace{e^{-x}}_{v}
[/mm]
Also [mm] f'(x)=\underbrace{-2}_{u'}\underbrace{e^{-x}}_{v}+\underbrace{-(2x+5)}_{u}\underbrace{-e^{-x}}_{v'}
[/mm]
[mm] =e^{-x}(-2+(2x+5))
[/mm]
[mm] =e^{x}(2x+3)
[/mm]
Die Ableitungen funktionieren ja nach dem selben Schema.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 Di 23.01.2007 | | Autor: | Tharsis |
Danke für die Antwort, obwohl ich gestehen muss, dass ich das selber hinbekommen hätte, hab gar nicht gemerkt, dass ich diesen Zusatz noch in die Aufgabenstellung geschrieben habe. Aber nichts desto trotz: Vielen Dank.
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