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Hallo,
Ich komme mit folgender Aufgabe (auch wenn sie eigentlich gernicht so schwierig sein dürft ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") ) überhauptnicht zurecht:
Man bilde die Folge [mm] $(x_n)$, [/mm] deren Glieder für [mm] $n\ge1$ [/mm] durch die Formel [mm]x_{n+1}=ax_n+bx_{n-1}[/mm] geliefert werden, in welcher a und b gegebene positive Zahlen und die Anfangsglieder [mm]x_0,x_1=0,1;=1,0;=1,\alpha;=1,\beta[/mm] oder beliebig sind [mm] (\alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] sollen hierbei die positive und die negative Wurzel der Gleichung [mm]x^2=ax+b[/mm] bedeuten). Man gebe für jeden der Fälle eine explizite Formel für [mm] $x_n$.
[/mm]
Ich hab den allgemeinen Fall von Mapel durchrechnen lassen und kam dann auf:
[mm]x_n=\frac{\left(2bx_0-x_1a-x_1\wurzel{a^2+4b}+a^2x_0+ax_0\wurzel{a^2+4b}\right)*\left(-\frac{2b}{a+\wurzel{a^2+4b}}\right)^n}{\wurzel{a^2+4b}\left(a+\wurzel{a^2+4b}\right)}+\frac{\left(-2bx_0+x_1a-x_1\wurzel{a^2+4b}-a^2x_0+ax_0\wurzel{a^2+4b}\right)*\left(-\frac{2b}{a-\wurzel{a^2+4b}}\right)^n}{\wurzel{a^2+4b}\left(a-\wurzel{a^2+4b}\right)}[/mm]
Meine einzigen Gedanken bei der Aufgabe waren, dass [mm] $(x_n)$ [/mm] irgendwie der Fabonacci Folge (mit a=b=1) ähnelt. Ansonsten hab ich aber keine Idee wie ich die Aufgabe auf normelem Weg - (und nicht mit Mapel und ggf. Vollständiger Induktion) lösen kann. Insbesondere frag ich mich wiso die Diskriminante [mm] $\wurzel{a^2+4b}$ [/mm] so of auftaucht
Es würd mir vermutlich schon reichen, wenn mir jemand einen Tipp für [mm] x_0=0, x_1=1 [/mm] gibt, da der Rest weitestgehend analog gehen dürfte?!?
Gruß Samuel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Fr 12.08.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Samuel!
Du hast doch das Buch "Problem Solving Strategies" von Engel. Im Kapitel über Folgen wird als allerstes gezeigt, wie man homogene Rekursionen zweiten Grades löst. Die paar Seiten solltest du einfach nachlesen; die von Maple ausgegebene Formel scheint mir genau das zu sein, was man erhält, wenn man in der im Buch und allgemein bekannten Formel zwei Variablen durch Ausdrücke in $a,b$ ersetzt.
Liebe Grüße,
Hanno
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![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
steht genauso in dem Buch drin!!
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