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Exponentialfamilien: geometrische Verteilung
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:22 Sa 04.02.2012
Autor: dennis2

Aufgabe
Zur Vorbereitung auf eine baldige Klausur möchte ich gerne für die geometrische Verteilung schauen, ob

[mm] $\left\{\operatorname{Geo}(p):p\in [0,1]\right\}$ [/mm]

eine Exponentialfamilie ist.

Für die geometrische Verteilung gilt:

[mm] $P(X=x)=p(1-p)^{x-1}$ [/mm]

Zunächst schaut man ja, ob der Träger unabhängig vom Parameter ist.

Hier ist der Träger [mm] $\left\{1,2,3,...\right\}$ [/mm] und der ist unabhängig vom Parameter, hier $p$.

Als nächstes logarithmiere ich dann, sprich

[mm] $\log\left(p(1-p)^{x-1}\right)=\log(p)+(x-1)\log(1-p)$ [/mm]

Gefragt war ja, ob man eine Darstellung der Form

[mm] $\exp\left\{a(p)b(x)+c(p)+d(x)\right\}$ [/mm] finden kann und diese hat man m.E. jetzt schon gefunden, nämlich

$ [mm] a(p)=\log(1-p)$ [/mm]
$ b(x)=x-1$
$ [mm] c(p)=\log(p) [/mm] $
$ d(x)=0 $

Demnach ist [mm] $\left\{\operatorname{Geo}(p):p\in [0,1]\right\}$ [/mm] eine (eindimensionale) einparametrige Exponentialfamilie.

-----

Dann kann man noch die kanonische Darstellung [mm] $\Psi b(x)-h(\Psi)+d(x)$ [/mm] bestimmen.

[mm] $\Psi=a(p)=\log(1-p)\Leftrightarrow p=a^{-1}(\Psi)=\exp(1-\Psi)$ [/mm]

[mm] $h(\Psi)=-c(p)=-\log(\exp(1-\Psi))=-(1-\Psi)=\Psi-1$ [/mm]

Ich wüsste gerne, ob das so stimmt.

Grüße

        
Bezug
Exponentialfamilien: Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:56 Sa 04.02.2012
Autor: dennis2

Bei der kanonischen Darstellung habe ich mich vertan.

[mm] $a^{-1}(\Psi)=1-e^{\Psi}$ [/mm]

Damit komme ich dann auf

[mm] $h(\Psi)=-\log(1-e^{\Psi})$ [/mm]

Bezug
        
Bezug
Exponentialfamilien: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Mo 06.02.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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