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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Exponentialfunktion
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Exponentialfunktion: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:20 Do 20.05.2010
Autor: manolya

Aufgabe
Wie hilft mir diese Formel weiter?

Hallo alle zusammen,

Also mit dieser Formel [mm] f(x)=a*e^{kt} [/mm] kann ich exponentiellen Wachstum berechnen, z.B. : Die Vervielfachung von Viren binnen Stunden.

Der rechnerische Weg: n(t)= n0 * [mm] 10^{(t/5h)} [/mm]
                      n(t)= n0 [mm] *(e^{ln(10)})^{(t/5h)} [/mm]
                      n(t)= n0 * [mm] e^{ln(10)*(t/5h)} [/mm]
                      n(t)= n0 * [mm] e^{ln(10)/5h)*t)} [/mm]
                  
k = ln(10)/5=0,4605
                
[mm] n(t)=500*e^{0,4605t} [/mm]


So, ich verstehe die aufeinanderfolgenden Schritte, aber ich kann die Stelle ,wo das "e" eingesetzt wird , nicht nachvollziehen.

Wäre wirklich dringend auf Eure Hilfe angewiesen.

LG

        
Bezug
Exponentialfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:37 Do 20.05.2010
Autor: manolya

Vielleicht wäre es hilfreicht wenn ich noch folgende Angaben gebe:

Alle 5 STunden verzehnfacht sich die Zahl von anfänglich 500 Viren.
Das exponentielle Wachstum sooll mit Hilfe der e-Funktion dargestellt werden.

n(t)= die Anzahl der Viren
t   = gemessen in Stunden

Bezug
        
Bezug
Exponentialfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 Do 20.05.2010
Autor: leduart

Hallo
eigentlich kann man Wachstumsprozesse oder Zerfallsgesetze mit jeder Grundzahl a beschreiben.
also etwa, wenn sich etwas in der zeit td verdoppelt :
n(t)=n(0)*2^|t/td)
wenn es sich in der Zeit tv vervierfacht,
[mm] n(t)=n(0)*4^{t/tv} [/mm] usw, bei dir hat es sich in 5h verzehnfacht, also [mm] n(t)=n(0)*10^{t/5h} [/mm]

nun sind aber die funktionen [mm] 2^x, 4^x [/mm] usw nicht so gut vertafelt, bzw im Computer, ausserdem ist ihre Ableitung nicht so einfach. Deshalb nimmt man üblicherweise die Grundzahl e, und will [mm] n(t)=n(0)*e^{t/\tau} [/mm]
dann ist [mm] \tau [/mm] die Zeit, in dem es e mal soviel geworden ist, also ungefähr 2,718 mal so viel.
so jetz muss man [mm] 2^x [/mm] oder [mm] 10^x [/mm] oder allgemein [mm] a^x [/mm] umschreiben.
Dazu benutzt man dass [mm] e^{lna}=a [/mm]  wobei lna die Kurzform von
$_eloga$ ist.
dann hat man [mm] 10=e^{ln10} [/mm]   und [mm] 10^r=(e^{ln10})^r=e^{(ln10)*r} [/mm]
jetzt für r dein t/5h eingesetzt, und du hast es hoffentlich verstanden.
dann nennt man den Faktor bei t noch k und hat
[mm] n(t)=n(0)*e^{k*t} [/mm]

damit kannst du k jederzeit ausrechnen, zur Sicherheit noch für die Verdopplung. Die Viren verdoppeln sich in 3Min
also [mm] n(t)=n(0)*2^{t/3min} [/mm]
[mm] 2=e^{ln2} [/mm]
[mm] 2^{t/3min}=e^{ln2*(t/3min)} [/mm]
k=ln2/3min=0.23/min
und damit [mm] n(t)=n(09*e^{0.23/min*t} [/mm]
jetzt klar?
Gruss leduart

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Exponentialfunktion: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:28 Do 20.05.2010
Autor: manolya

Dies habe ich jetzt einigermaßen (hoffentlich) verstanden.

Wie muss ich dann bei deiser aufgabe vorangehen:

Die Bevölkerung wächst exponentiell. IIM Jahre 2000 gab es 4.000.000.000 Menschen,im Jahre 2010 gab es 4.100.000.000.
Wie viele Menschen wird es im Jahr 3000 gebe,wie viele gab es bei der Geburt Jesu und wann gab es genau 2 Menschen?  :(

Bezug
                        
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Exponentialfunktion: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:34 Do 20.05.2010
Autor: Loddar

Hallo manolya!


Es ist wieder "nur" die Wachstumsformel:
$$N(t) \ = \ [mm] N_0*e^{k*t}$$ [/mm]
Wählen wir uns ein Bezugsjahr, z.B. 2000, dann ergibt sich:
[mm] $$N(t_0=0) [/mm] \ = \ [mm] N_0*e^{k*0} [/mm] \ = \ 4.000.000.000$$

Nun setzen wir auch das andere Wertepaar ein:
[mm] $$N(t_1=10) [/mm] \ = [mm] N_0*e^{k*10} [/mm] \ = \ 4.100.000.000$$
Daraus lassen sich nun [mm] $N_0$ [/mm] und $k_$ ermitteln.


Gruß
Loddar


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Exponentialfunktion: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 Do 20.05.2010
Autor: manolya

und wie:(:(

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Exponentialfunktion: mitmachen!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:04 Do 20.05.2010
Autor: Loddar

Hallo manolya!


Ein bisschen mitmachen musst Du schon hier ...


Aus der ersten Gleichung lässt sich [mm] $N_0$ [/mm] doch quasi ablesen. Setze dies in die 2. Gleichung ein und stelle nach $k \ = \ ...$ um (Stichwort: MBLogarithmus).


Gruß
Loddar


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Exponentialfunktion: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:16 Do 20.05.2010
Autor: manolya

[mm] f(x)=N0*e^{k*10} [/mm]  |ln ?

aber was brigt mir das

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Exponentialfunktion: Tipps befolgen und rechnen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:26 Do 20.05.2010
Autor: Loddar

Hallo manolya!


Du musst aber auch gegebene Tipps befolgen!

Ist dies die korrekte zweite Gleichung? Nein, denn da fehlt das bekannte Ergebnis.

Und den Wert für [mm] $N_0$ [/mm] hast Du auch nicht eingesetzt.


Gruß
Loddar


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