Exponentialfunktion - Umrechnen der Exponenten < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:12 Fr 23.07.2004 | | Autor: | Marcin |
Hi!
Erstmal: das ist mein erster Beirag in diesem Forum, falls ich irgend etwas falsch gemacht oder nicht beachtet haben sollte, dann sagt es bitte. Obwohl das eine Frage aus dem Studium ist, stelle ich sie hier im Oberstufenforum, weil ich denke daß das Oberstufenmathematik ist.
Ich sitz grad bei den Vorbereitungen zu meiner Physikklausur. Ohne jetzt in die Physik einzutauchen, hier eine Formel, die ich da zu lösen habe:
[mm]W=\frac{C}{2}(1-e^\frac{-t}{RC})^2[/mm]
(Elektrische Feldenergie beim Aufladen eines Kondensators). Das Problem liegt in folgender Teilformel:
[mm]x=e^\frac{-t}{RC}[/mm]
t, R und C sind bekannt - also eigentlich kein Problem. Die Sache nun ist, daß R und C so klein sind, daß der gesamte Term [mm]\frac{-t}{RC}[/mm] am Ende so um -2000 beträgt - und mein Taschenrechner gibt bei [mm]e^{-2000}[/mm] einfach 0 aus, weil das seine Genauigkeit übersteigt. Ich suche nun nach einer Rechenregel, die mir das Umformen der e-Funktion erlaubt, so daß ich die Gleichung lösen kann. Oder kann die gesamte Gleichung irgendwie umgestellt werden?
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:48 Fr 23.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Marcin,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Erstmal: das ist mein erster Beirag in diesem Forum, falls
> ich irgend etwas falsch gemacht oder nicht beachtet haben
> sollte, dann sagt es bitte. Obwohl das eine Frage aus dem
> Studium ist, stelle ich sie hier im Oberstufenforum, weil
> ich denke daß das Oberstufenmathematik ist.
Alles perfekt! 
> Ich sitz grad bei den Vorbereitungen zu meiner
> Physikklausur. Ohne jetzt in die Physik einzutauchen, hier
> eine Formel, die ich da zu lösen habe:
>
> [mm]W=\frac{C}{2}(1-e^\frac{-t}{RC})^2[/mm]
>
> (Elektrische Feldenergie beim Aufladen eines Kondensators).
> Das Problem liegt in folgender Teilformel:
>
> [mm]x=e^\frac{-t}{RC}[/mm]
>
> t, R und C sind bekannt - also eigentlich kein Problem. Die
> Sache nun ist, daß R und C so klein sind, daß der gesamte
> Term [mm]\frac{-t}{RC}[/mm] am Ende so um -2000 beträgt - und mein
> Taschenrechner gibt bei [mm]e^{-2000}[/mm] einfach 0 aus, weil das
> seine Genauigkeit übersteigt. Ich suche nun nach einer
> Rechenregel, die mir das Umformen der e-Funktion erlaubt,
> so daß ich die Gleichung lösen kann. Oder kann die gesamte
> Gleichung irgendwie umgestellt werden?
Mich wundert, dass "Ihr" Physiker da nicht gleich schreibt: [mm] $W=\bruch{C}{2}$ [/mm] 
Ich denke, es kommt hier noch auf die Größenordnung von C an -- wenn $|C|$ sehr groß ist, ist es günstiger, diese Identitiät
[mm] $C=\operatorname{sgn}(C)*e^\ln|C|$
[/mm]
auszunutzen und den Term so zu vereinfachen:
[mm] $W=\frac{C}{2}(1-e^\frac{-t}{RC})^2$
[/mm]
[mm] $=\frac{C}{2}\left(1-2e^\frac{-t}{RC}+e^{2*\frac{-t}{RC}}\right)$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}*C*\left(1-2e^\frac{-t}{RC}+e^{2*\frac{-t}{RC}}\right)$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}*\operatorname{sgn}(C)*e^{\ln|C|}*\left(1-2e^\frac{-t}{RC}+e^{2*\frac{-t}{RC}}\right)$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}*\operatorname{sgn}(C)*\left(e^{\ln|C|}-2*e^{\ln|C|}*e^\frac{-t}{RC}+e^{\ln|C|}*e^{2*\frac{-t}{RC}}\right)$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}*\operatorname{sgn}(C)*\left(e^{\ln|C|}-2*e^{\ln|C|+\frac{-t}{RC}}+e^{\ln|C|+2*\frac{-t}{RC}}\right)$
[/mm]
So besteht wenigstens die "Chance", dass die Beträge der Exponenten etwas kleiner werden.
Ich befürchte allerdings, dass $|C|$ nahe bei Null liegt (das meinst du mit "klein", oder?). In diesem Fall kann man wirklich --meiner Meinung nach-- [mm] $W=\bruch{C}{2}$ [/mm] rechnen...
Wie du siehst, ich habe auch keine Ahnung. Aber es würden mich mal konkrete Beispielwerte für t, R und C interessieren...
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:00 Fr 23.07.2004 | | Autor: | Marcin |
Danke!
Also ich hab die von dir empfohlene Näherung W=C/2 benutzt (hätt ich ja als Physiker echt mal drauf kommen können..) und es kommt auch genau das Ergebnis raus, das im Lösungsteil meiner Übung angegeben war. Ich weiß nicht, ob diese Näherung auch erlaubt ist, aber sie erscheint mir auch sehr angebracht, da [mm]e^{-2000}[/mm] laut meinem PC erst 850 Stellen nach dem Komma von Null abweicht - und ich glaube kaum, daß sich jemand außer einem Mathematiker darum schert ;)
Danke für die Hilfe mitten in der Nacht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:38 Fr 23.07.2004 | | Autor: | Andi |
> Danke!
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> Also ich hab die von dir empfohlene Näherung W=C/2 benutzt
> (hätt ich ja als Physiker echt mal drauf kommen können..)
> und es kommt auch genau das Ergebnis raus, das im
> Lösungsteil meiner Übung angegeben war. Ich weiß nicht, ob
> diese Näherung auch erlaubt ist, aber sie erscheint mir
> auch sehr angebracht, da [mm]e^{-2000}[/mm] laut meinem PC erst 850
> Stellen nach dem Komma von Null abweicht - und ich glaube
> kaum, daß sich jemand außer einem Mathematiker darum schert
> ;)
außerdem musst du ja deine werte für t, R und C irgendwie gemessen haben, und ich denke der Fehler den du bei der Messung gemacht hast, ist sehr sehr ... sehr extrem viel Größer als der, den du bei der Näherung gemacht hast.
mit freundlichen Grüßen Andi
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