Exponentialfunktion - Wachstum < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Heißer Kaffe in einer Tasse kühlt sich langsam auf Zimmertemperatur ab. Untersuchungen haben ergeben, dass die Änderungsrate der Kaffeetemperatur zu der jeweils noch vorhandenen Temperaturdifferenz zwischen Kaffe und Zimmer proportional ist.
Eine Tasse Kaffe mit 60°C wird um 7.00 Uhr in ein Zimmer mit 20°C Zimmertemperatur gestellt. Nach einer Viertelstunde ist die Kaffeetemperatur auf 32°C abgesunken.
a) Berechne die Differenz d(t) zwischen Kaffee- und Zimmertemperatur, wenn seit 7.00 Uhr t min vergangen sind.
b) Welche Temperatur f(t) hat der Kaffee nach einer halben Stunde?
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Mir ist nicht genau klar, um welches Wachstum es sich handelt (eigentlich ja expon., aber dort heißt es ja Änderungsfaktor und nicht -rate).
Mir fehlt irgendwie der Ansatz
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
es ist bedauerlich, dass Du keine Angaben über deinen mathematischen Background gemacht hast (Schulklasse, Schultyp etc.). Dann könnte man die Antwort darauf abstimmen.
Es handelt sich bei deiner Funktion um eine Abklingfunktion, die man über eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung ermitteln kann (ähnlich dem radioaktiven Zerfall). Du kannst ja mal unter Newton'scher Abkühlungsgleichung googlen.
[mm] T_{Z} \hat= [/mm] Zimmertemperatur
[mm] T_{K} \hat= [/mm] Kaffetemperatur
Also, die Abkühlungsrate ist proportional der momentanen Temperaturdifferenz zwischen Kaffetasse und Zimmer:
[mm] $\bruch{dT}{dt} \sim -(T_{K}-T_{Z}) [/mm] $
[mm] $\bruch{dT}{dt} [/mm] = [mm] -f*(T_{K}-T_{Z}) [/mm] $
Jetzt die Variablen separieren
[mm] $\bruch{1}{(T_{K}-T_{Z})}*dT [/mm] = -f*dt$
und integrieren:
[mm] $\integral \bruch{1}{(T_{K}-T_{Z})}\, [/mm] dT = [mm] \integral -f\, [/mm] dt $
[mm] $ln|(T_{K}-T_{Z})| [/mm] = -f*t + ln|C|$
[mm] $T_{K}-T_{Z} [/mm] = [mm] C*e^{-f*t}$
[/mm]
[mm] $T_{K} [/mm] = [mm] C*e^{-f*t}+T_{Z}$
[/mm]
Jetzt noch die Konstante C bestimmen:
[mm] $T_{K}(t=0) [/mm] = [mm] C*e^{-f*0}+ [/mm] 20°C = 60°C$
C = 40°C
[mm] $T_{K} [/mm] = [mm] 40°C*e^{-f*t}+ [/mm] 20°C $
Und dann noch den Abklingkoeffizienten f bestimmen:
[mm] $T_{K}(t=15min) [/mm] = [mm] 40°C*e^{-f*15min}+ [/mm] 20°C = 32°C$
$ [mm] 40°C*e^{-f*15min} [/mm] = 12°C$
f = 0,080265 1/min
Also heißt deine gesuchte Funktion:
[mm] $T_{K} [/mm] = [mm] 40°C*e^{-0,080265 min^{-1}*t}+ [/mm] 20°C $
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG, Martinius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: WMF) [nicht öffentlich]
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Sorry, ich hab keine Angaben gemacht, weil es nicht direkt für mich ist.
Es ist aber Klasse 10 Gymnasium, also man muss es wahrscheinlich mit hilfe von exponentiellem wachstum berechnen.
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 Di 27.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Sorry, ich hab keine Angaben gemacht, weil es nicht direkt
> für mich ist.
>
> Es ist aber Klasse 10 Gymnasium, also man muss es
> wahrscheinlich mit hilfe von exponentiellem wachstum
> berechnen.
> Danke
Das kann man tun.
Die Allgemeie Formel für eine Exponentialfunktion ist ja:
[mm] d(t)=a*b^{t}
[/mm]
Jetzt brauchst du zwei Bedingungen, un a und b zu bestimmen.
Eine ist die Starttemperatur zum Zeitpunkt t=0
Also:
d(0)=60
[mm] d(0)=a*b^{0}=a*1=a=60
[/mm]
Und jetzt weisst du, dass d(0,25)=12
Also:
[mm] 12=60*b^{0,25}
[/mm]
Daraus kannst du jetzt das b berechnen.
Zu Aufgabe b
Du kannst auch hier wieder die Funktion aufstellen, wie oben,nur, dass du jetzt die konkrete Kaffeetempereatur nehmen musst.
Also f(0)=60 und f(0,25)=32
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:11 Di 27.11.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
damit die Temperatur der Kaffeetasse nicht auf 0°C absinkt, sondern auf Zimmertemperatur, müsste man als Exponentialfunktion ansetzen:
$f(t) = [mm] a*b^{t}+20°C$
[/mm]
Den Faktor a bestimmt man dann, wie gehabt, aus der Anfangsbedingung
$f(t=0) = [mm] a*b^{0}+20°C [/mm] = a+20°C = 60°C$
a = 40°C
$f(t) = [mm] 40°C*b^{t}+20°C$
[/mm]
Die Basis b aus der Temperatur nach 15 min:
$f(t=15min) = [mm] 40°C*b^{15}+20°C [/mm] = 32°C$
b = 0,9229
$f(t) = [mm] 40°C*0,9229^{t*min^{-1}}+20°C$
[/mm]
LG, Martinius
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Mo 26.11.2007 | | Autor: | metter |
Den Graph den du da unten hin"geschrieben" hast der ist so viel ich weiß antiproportional! oder?
metter
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Genau so ist es, da hast du Recht 
!
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]"){kind=small}
