Exponentialfunktionen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 Mi 23.01.2008 | | Autor: | patsch |
| Aufgabe | a) Wird ein Kondensator mit der Kapzität C über einen ohmschen Widerstand R entladen, so nimmt seine Ladung Q exponentiell mit der Zeit ab:
[mm]Q[/mm] = [mm] Q_0 e^{{\bruch{-1}{RC}}t}.
[/mm]
Zu welchem Zeitpunkt sinkt die Ladung unter die Hälfte ihres Anfangswertes [mm] Q_0 [/mm] (dies ist die Halbwertzeit)?
b) Radioaktive Abfälle werden in Behältern aus rostfreiem Stahl oder Beton unter der Erde gelagert. Der radioaktive Zerfall vollzieht sich nach dem Gesetz:
[mm]u(t)[/mm] = [mm] u_0e^{-\alpha*t}.
[/mm]
Hier ist [mm] u_0 [/mm] die Ausgangsmenge radioaktiven Materials, u(t) das zur Zeit t vorhandene Radioaktive Material. Nach Meinung der Experten sollen die Behälter intakt bleiben, bis 99,99% des Abfalls zerstrahlt sind. Wie lange muss der Behälter mindestens halten, wenn in ihm Strontium 90 (Halbwertzeit 28 Jahre) oder Radium 226 (Halbwertzeit 1620 Jahre) gelagert wird. |
Hallo!
zu a)
Hier habe ich [mm] Q [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}Q_0 [/mm] gesetzt und dann die Gleichung folgendermaßen umgestellt.
[mm]\bruch{1}{2}Q_0 [/mm] = [mm] Q_0 e^{{\bruch{-1}{RC}}t} [/mm] /ln
[mm]ln\bruch{1}{2}+ln Q_0 [/mm] = ln [mm] Q_0 [/mm] - [mm] {{\bruch{1}{RC}}t} [/mm] /*RC /:(-1)
t = -RC * ln [mm] {\bruch{1}{2}}
[/mm]
zu b)
Diese Aufgabe habe ich ebenso gelöst.
u(t) = [mm] \bruch{1}{10000}u_0 [/mm] , da 100% - 99,99% = 0,01% [mm] \Rightarrow \bruch{1}{10000}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{10000}u_0 [/mm] = [mm] u_0e^{-\alpha*t} [/mm] /ln
[mm] ln\bruch{1}{10000} [/mm] + ln [mm] u_0 [/mm] = ln [mm] u_0 -\alpha*t /:(-\alpha)
[/mm]
t = [mm] \bruch{ln\bruch{1}{10000}}{-\alpha}
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{ln2}{T_\bruch{1}{2}}
[/mm]
Oder muss ich [mm] \alpha [/mm] ableiten, da es ja nicht gegeben ist?
Vielen Dank schon mal vorab, weil ihr immer meine Aufgaben kontrolliert und mir auch Tipps gebt.
mfg patsch
|
|
| |
|
> a) Wird ein Kondensator mit der Kapzität C über einen
> ohmschen Widerstand R entladen, so nimmt seine Ladung Q
> exponentiell mit der Zeit ab:
> [mm]Q[/mm] = [mm]Q_0 e^{{\bruch{-1}{RC}}t}.[/mm]
> Zu welchem Zeitpunkt sinkt
> die Ladung unter die Hälfte ihres Anfangswertes [mm]Q_0[/mm] (dies
> ist die Halbwertzeit)?
>
> b) Radioaktive Abfälle werden in Behältern aus rostfreiem
> Stahl oder Beton unter der Erde gelagert. Der radioaktive
> Zerfall vollzieht sich nach dem Gesetz:
> [mm]u(t)[/mm] = [mm]u_0e^{-\alpha*t}.[/mm]
> Hier ist [mm]u_0[/mm] die Ausgangsmenge radioaktiven Materials,
> u(t) das zur Zeit t vorhandene Radioaktive Material. Nach
> Meinung der Experten sollen die Behälter intakt bleiben,
> bis 99,99% des Abfalls zerstrahlt sind. Wie lange muss der
> Behälter mindestens halten, wenn in ihm Strontium 90
> (Halbwertzeit 28 Jahre) oder Radium 226 (Halbwertzeit 1620
> Jahre) gelagert wird.
> Hallo!
>
> zu a)
> Hier habe ich [mm]Q[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}Q_0[/mm] gesetzt und dann die
> Gleichung folgendermaßen umgestellt.
> [mm]\bruch{1}{2}Q_0[/mm] = [mm]Q_0 e^{{\bruch{-1}{RC}}t}[/mm] /ln
Drollig, dass Du die ganze Gleichung nicht sogleich durch [mm] $Q_0$ [/mm] dividierst, sondern erst logarithmierst bevor Du dann schliesslich [mm] $\ln Q_0$ [/mm] doch wegwirfst...
> [mm]ln\bruch{1}{2}+ln Q_0[/mm] = ln [mm]Q_0[/mm] - [mm]{{\bruch{1}{RC}}t}[/mm]
> /*RC /:(-1)
> t = -RC * ln [mm]{\bruch{1}{2}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") [mm] $t=\ln(2)RC$, [/mm] da [mm] $\ln\frac{1}{2}=\ln(0)-\ln(2)=-\ln(2)$
[/mm]
>
> zu b)
> Diese Aufgabe habe ich ebenso gelöst.
> u(t) = [mm]\bruch{1}{10000}u_0[/mm] , da 100% - 99,99% = 0,01%
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{10000}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{10000}u_0[/mm] =
> [mm]u_0e^{-\alpha*t}[/mm] /ln
>
> [mm]ln\bruch{1}{10000}[/mm] + ln [mm]u_0[/mm] = ln [mm]u_0 -\alpha*t /:(-\alpha)[/mm]
>
> t = [mm]\bruch{ln\bruch{1}{10000}}{-\alpha}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Stop: Nun musst Du eben die beiden Werte für $\alpha$ bestimmen. Für Strontium erhalten wir, wegen der Halbewertzeit $28$ (Zeit in Jahren), dass der exponentielle Faktor $e^{-\alpha t}$ im Zerfallsgesetz $e^{-\alpha} t}=2^{\frac{t}{28}}=e^{-\frac{\ln(2)}{28}t}$ sein muss, also ist in diesem Falle $\alpha=\frac{\ln(2)}{28}$ (pro Jahr).
Entsprechend findet man beim Radium 226, dass $\alpha=\frac{\ln(2)}{1620}$ (pro Jahr) sein muss.
Diese Werte von $\alpha$ kannst Du nun in Deine Formel für die gesuchte Zeit $t$ einsetzen.
|
|
|
|
