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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Di 25.11.2008 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Berechnen Sie alle Werte x, die die Gleichungen erfüllen.
$\ [mm] 10^{5x} [/mm] = [mm] 3^{10} [/mm] $ |
Hi,
ich kann diese Gleichung einfach nicht auflösen, auf den ersten Blick wirkt sie für mich total einfach, doch ich kriegs nicht hin. Habs mir logarithmieren probiert doch am Ende bin ich bei der Ausgangsgleichung gelandet usw.
Würde mich über eine ausführliche Hilfestellung freuen, damit ich die anderen Aufgaben selbstständig bearbeiten kann.
Vielen Dank
Grüße
ChopSuey
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Hallo ChopSuey,
> Berechnen Sie alle Werte x, die die Gleichungen erfüllen.
>
> [mm]\ 10^{5x} = 3^{10}[/mm]
> Hi,
>
> ich kann diese Gleichung einfach nicht auflösen, auf den
> ersten Blick wirkt sie für mich total einfach, doch ich
> kriegs nicht hin. Habs mir logarithmieren probiert doch am
> Ende bin ich bei der Ausgangsgleichung gelandet usw.
>
> Würde mich über eine ausführliche Hilfestellung freuen,
> damit ich die anderen Aufgaben selbstständig bearbeiten
> kann.
erstmal Potenzgesetze benutzen, dann mit dem Logarithmus zuschlagen:
[mm] $10^{5x}=3^{10}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow 10^{x\cdot{}5}=3^{2\cdot{}5}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \left(10^x\right)^5=\left(3^2\right)^5$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \left(\red{10^x}\right)^5=\left(\red{9}\right)^5$
[/mm]
Da die Potenzfunktion injektiv ist, muss also [mm] $10^x=9$ [/mm] sein.
Das kannst du lösen ...
>
> Vielen Dank
> Grüße
> ChopSuey
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Di 25.11.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Guten Abend schachuzipus,
vielen Dank für die schnelle und ausführliche Hilfe.
> Hallo ChopSuey,
>
> > Berechnen Sie alle Werte x, die die Gleichungen erfüllen.
> >
> > [mm]\ 10^{5x} = 3^{10}[/mm]
> > Hi,
> >
> > ich kann diese Gleichung einfach nicht auflösen, auf den
> > ersten Blick wirkt sie für mich total einfach, doch ich
> > kriegs nicht hin. Habs mir logarithmieren probiert doch am
> > Ende bin ich bei der Ausgangsgleichung gelandet usw.
> >
> > Würde mich über eine ausführliche Hilfestellung freuen,
> > damit ich die anderen Aufgaben selbstständig bearbeiten
> > kann.
>
> erstmal Potenzgesetze benutzen, dann mit dem Logarithmus
> zuschlagen:
>
> [mm]10^{5x}=3^{10}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 10^{x\cdot{}5}=3^{2\cdot{}5}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \left(10^x\right)^5=\left(3^2\right)^5[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \left(\red{10^x}\right)^5=\left(\red{9}\right)^5[/mm]
>
> Da die Potenzfunktion injektiv ist, muss also [mm]10^x=9[/mm] sein.
>
> Das kannst du lösen ...
>
Ich hab das folgendermaßen gelöst:
$\ [mm] 10^x [/mm] = 9 $
$\ [mm] \log_{10} [/mm] 9 = x $
$\ [mm] \Rightarrow \lg [/mm] 9 = x$
$\ [mm] \bruch [/mm] {lg 9}{lg 10} = 1,047951637 $
Ich musste für die Bruchrechnung allerdings den Taschenrechner zur Hilfe nehmen.
Hätte ich es auch anders Lösen können? Ohne den Taschenrechner zu nutzen?
Was ich ebenfalls gerne wüsste ist, wieso im Nenner einfach mit $\ lg 10 $ gerechnet werden darf.
Die $\ lg 9 $ haben wir ja hergeleitet doch die 10 rührt nur daher, dass sie die Basis unseres Logarithmus' ist.
Gilt für $\ log_ab $ allgemein der Lösungsansatz $\ [mm] \bruch{lg\ b}{lg\ a} [/mm] $?
> >
> > Vielen Dank
> > Grüße
> > ChopSuey
>
>
> LG
>
> schachuzipus
Würde mich über eine Antwort sehr freuen,
Vielen Dank
ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 Di 25.11.2008 | | Autor: | ChopSuey |
>
> Gilt für [mm]\ log_ab[/mm] allgemein der Lösungsansatz [mm]\ \bruch{lg\ b}{lg\ a} [/mm]?
>
>
Ah, ich seh gerade, dass das hier dem Basiswechsel sehr nahe kommt.
Dann würde mich trozdem interessieren weshalb
$\ log_ax = [mm] \bruch{lgx}{lga} [/mm] = [mm] \bruch{lnx}{lna} [/mm] $
Das kann ich nicht ganz deuten, die Gleichung.
> > >
> > > Vielen Dank
> > > Grüße
> > > ChopSuey
> >
> >
> > LG
> >
> > schachuzipus
>
> Würde mich über eine Antwort sehr freuen,
> Vielen Dank
>
> ChopSuey
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Di 25.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo ChopSuey!
> Ich hab das folgendermaßen gelöst:
>
> [mm]\ 10^x = 9[/mm]
>
> [mm]\ \log_{10} 9 = x[/mm]
>
> [mm]\ \Rightarrow \lg 9 = x[/mm]
Bis hierher alles chic!
Das kann man nun auch aus Tabellen ablesen mit [mm] $\lg [/mm] 9 \ [mm] \approx [/mm] \ 0.95424$ .
> [mm]\ \bruch {lg 9}{lg 10} = 1,047951637[/mm]
Aber was machst Du hier? Welche Basis hat denn hier Dein [mm] $\lg$ [/mm] ?
Üblicherweise ist nämlich [mm] $\lg(x) [/mm] \ = \ [mm] \log_{\red{10}}(x)$ [/mm] (also eine abkürzende Schreibweise des dekadischen Logarithmus zur Basis 10).
> Ich musste für die Bruchrechnung allerdings den
> Taschenrechner zur Hilfe nehmen.
> Hätte ich es auch anders Lösen können? Ohne den
> Taschenrechner zu nutzen?
Wie gesagt: es gibt Tabellen.
> Gilt für [mm]\ log_ab[/mm] allgemein der Lösungsansatz [mm]\ \bruch{lg\ b}{lg\ a} [/mm]?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Di 25.11.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Schönen Abend auch Loddar,
vielen Dank schonmal für die Hilfe
> Hallo ChopSuey!
>
>
>
> > Ich hab das folgendermaßen gelöst:
> >
> > [mm]\ 10^x = 9[/mm]
> >
> > [mm]\ \log_{10} 9 = x[/mm]
> >
> > [mm]\ \Rightarrow \lg 9 = x[/mm]
>
> Bis hierher alles chic!
>
> Das kann man nun auch aus Tabellen ablesen mit [mm]\lg 9 \ \approx \ 0.95424[/mm]
> .
>
>
> > [mm]\ \bruch {lg 9}{lg 10} = 1,047951637[/mm]
>
> Aber was machst Du hier? Welche Basis hat denn hier Dein
> [mm]\lg[/mm] ?
>
> Üblicherweise ist nämlich [mm]\log(x) \ = \ \log_{\red{10}}(x)[/mm]
> (also eine abkürzende Schreibweise des dekadischen
> Logarithmus zur Basis 10).
>
Meinst Du vielleicht [mm]\ {\red{{lg}}(x) \ = \ \log_{\red{10}}(x)[/mm] oder gilt die Basis 10 auch für den Logarithmus allgemein, wenn keine feste Basis zugeordnet ist?
>
> > Ich musste für die Bruchrechnung allerdings den
> > Taschenrechner zur Hilfe nehmen.
> > Hätte ich es auch anders Lösen können? Ohne den
> > Taschenrechner zu nutzen?
>
> Wie gesagt: es gibt Tabellen.
>
>
Vielen Dank für die Info, wusste ich bisher nicht.
>
> > Gilt für [mm]\ log_ab[/mm] allgemein der Lösungsansatz [mm]\ \bruch{lg\ b}{lg\ a} [/mm]?
>
>
>
Falls meine obige Frage zur Basis10 bejaht wird, hätte sich diese hier auch erledigt, aber wie gesagt, ich versteh nicht, wieso ich bei
[mm]\ \bruch{lg\ b}{lg\ a} [/mm] einfach mit dem dekadischen Logarithmus lg rechnen darf.
Ich kann den Basiswechsel der Form $ \ log_ax = [mm] \bruch{lgx}{lga} [/mm] = [mm] \bruch{lnx}{lna} [/mm] $ irgendwie nicht ganz nachvollziehen.
>
> Gruß
> Loddar
>
Viele Grüße,
ChopSuey
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Hallo!
Allgemein gilt:
[mm] \log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}
[/mm]
Soll heißen: Du kannst einen Logarithmus zu einer beliebigen Basis a in einen Ausdruck mit beliebiger Basis c umrechnen.
Der Grund ist recht einfach:
Die Gleichung
[mm] p^x=q
[/mm]
hat offensichtlich die Lösung
[mm] x=\log_pq
[/mm]
ABER wir können zunächst auch mal den logarithmus zu einer anderen Basis anwenden:
[mm] \log_rp^x=\log_rq
[/mm]
Nu noch ein Log-Gesetz:
[mm] x*\log_rp=\log_rq
[/mm]
[mm] x=\frac{\log_rq}{\log_rp}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Di 25.11.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Klasse!! Vielen herzlichen Dank!
Grüße,
ChopSuey
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Nein.
