Exponentialgleichung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Mo 10.09.2012 | | Autor: | Angloe |
| Aufgabe | Lösen Sie die Gleichung, geben Sie die Lösung mithilfe des ln an und bestimmen Sie einen Näherungswert für die Lösung.
d) [mm] 0,5^{x}-2,5=0,5^{x+2} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Halihallo :)
Wir beschäftigen uns gerade mal wieder mit Exponentialfunktionen und Logarithmen und haben einige Übungsaufgaben dazu bekommen.
So, jetzt sitz ich hier und habe diese Aufgabe hoch und runtergerechnet, komme aber einfach auf kein Ergebnis. Mein GTR sagt mir zwar, das x ungefähr -1,737 ist, ich habe allerdings keinen blassen Schimmer, wie man zu dem Ergebnis kommt.
Also gut, hier mein Ansatz:
[mm] \gdw 0,5^{x} [/mm] - 2,5 = [mm] 0,5^{x+2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] -2,5 = [mm] 0,5^{x+2} [/mm] - [mm] 0,5^{x}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] -2,5 = [mm] e^{ln0,5*(x+2)} [/mm] - [mm] e^{ln0,5*x} [/mm]
So weit so gut. Jetzt steh ich nur vor dem Problem, dass es von einer negativen Zahl keinen Logarithmus gibt oder? Korrigiert mich, wenn ich mich irre.
Selbst, wenn ich so weiterrechnen würde:
-ln2,5 = (ln0,5x + ln0,5*2) - ln0,5x
[mm] \gdw [/mm] -ln2,5 = ln0,5x - ln0,5x + 2ln0,5
[mm] \gdw [/mm] -ln2,5 = 2ln0,5
Heitata, ich habe somit bewiesen dass -0,917 gleich -1,386 ist. Mein Lehrer wird stolz auf mich sein :D Und dem x habe ich mich auch geschickt entledigt.
Ihr würdet einer armen Schülerin ein ganzes Kilo Steine vom Herzen nehmen, wenn ihr mir meinen - wahrscheinlich überaus banalen - Fehler vor Augen führt. Danke schonmal im Voraus :)
LG
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Hallo Angloe,
> Lösen Sie die Gleichung, geben Sie die Lösung mithilfe
> des ln an und bestimmen Sie einen Näherungswert für die
> Lösung.
>
> d) [mm]0,5^{x}-2,5=0,5^{x+2}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Halihallo :)
>
> Wir beschäftigen uns gerade mal wieder mit
> Exponentialfunktionen und Logarithmen und haben einige
> Übungsaufgaben dazu bekommen.
> So, jetzt sitz ich hier und habe diese Aufgabe hoch und
> runtergerechnet, komme aber einfach auf kein Ergebnis. Mein
> GTR sagt mir zwar, das x ungefähr -1,737 ist, ich habe
> allerdings keinen blassen Schimmer, wie man zu dem Ergebnis
> kommt.
> Also gut, hier mein Ansatz:
>
> [mm]\gdw 0,5^{x}[/mm] - 2,5 = [mm]0,5^{x+2}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] -2,5 = [mm]0,5^{x+2}[/mm] - [mm]0,5^{x}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\gdw[/mm] -2,5 = [mm]e^{ln0,5*(x+2)}[/mm] - [mm]e^{ln0,5*x}[/mm]
>
> So weit so gut. Jetzt steh ich nur vor dem Problem, dass es
> von einer negativen Zahl keinen Logarithmus gibt oder?
> Korrigiert mich, wenn ich mich irre.
> Selbst, wenn ich so weiterrechnen würde:
>
> -ln2,5 = (ln0,5x + ln0,5*2) - ln0,5x
Das stimmt nicht ...
Linkerhand kannst du schlecht den [mm]\ln[/mm] anwenden, außerdem müsste es [mm]\ln(-2,5)[/mm] heißen, was nicht geht.
Außerdem ist i.A. [mm] $\ln(a-b)\neq \ln(a)-\ln(b)$
[/mm]
Die Umschreibung in die E-Funktion ist nicht so sehr zielführend und verkompliziert die Sache nur.
Besser: Klammere in der obigen Gleichung [mm]0,5^x[/mm] aus:
[mm]-2,5=0,5^{x+2}-0,5^{x}[/mm]
[mm]\gdw -2,5=0,5^x\cdot{}\left(0,5^2-1\right)[/mm]
Damit kommst du sicher weiter ...
> [mm]\gdw[/mm] -ln2,5 = ln0,5x - ln0,5x + 2ln0,5
> [mm]\gdw[/mm] -ln2,5 = 2ln0,5
>
> Heitata, ich habe somit bewiesen dass -0,917 gleich -1,386
> ist. Mein Lehrer wird stolz auf mich sein :D Und dem x habe
> ich mich auch geschickt entledigt.
> Ihr würdet einer armen Schülerin ein ganzes Kilo Steine
> vom Herzen nehmen, wenn ihr mir meinen - wahrscheinlich
> überaus banalen - Fehler vor Augen führt. Danke schonmal
> im Voraus :)
> LG
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Mo 10.09.2012 | | Autor: | Angloe |
Ja, jetzt hat's geklappt. Vielen dank :)
Mich hatte nur verwirrt, dass in der Aufgabenstellung steht, dass man das ganze mit ln machen soll, aber Lösungsweg ist Lösungsweg, danke ;)
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Hallo nochmal,
> Ja, jetzt hat's geklappt. Vielen dank :)
> Mich hatte nur verwirrt, dass in der Aufgabenstellung
> steht, dass man das ganze mit ln machen soll, aber
> Lösungsweg ist Lösungsweg, danke ;)
Ja, der [mm]\ln[/mm] kommt ja auch noch, du bekommst doch
[mm]\frac{10}{3}=\left(\frac{1}{2}\right)^x[/mm]
(bzw. [mm]\frac{3}{10}=2^x[/mm])
Dann kannst du das wie oben umschreiben und den [mm]\ln[/mm] draufschmeißen.
Wie bist du denn zum Ergebnis gekommen?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Mo 10.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ja, jetzt hat's geklappt. Vielen dank :)
> Mich hatte nur verwirrt, dass in der Aufgabenstellung
> steht, dass man das ganze mit ln machen soll, aber
> Lösungsweg ist Lösungsweg,
?????
[mm] -2,5=0,5^x\cdot{}\left(0,5^2-1\right) \gdw \bruch{10}{3}=0,5^x.
[/mm]
Für die letzte Gleichung benötigst Du den Logarithmus. Oder wie sonst hast Du Dir das vorgestellt ?
FRED
> danke ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Mo 10.09.2012 | | Autor: | Angloe |
> ?????
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> [mm]-2,5=0,5^x\cdot{}\left(0,5^2-1\right) \gdw \bruch{10}{3}=0,5^x.[/mm]
>
> Für die letzte Gleichung benötigst Du den Logarithmus.
> Oder wie sonst hast Du Dir das vorgestellt ?
>
> FRED
Ja klar brauch ich den Logarthmus, aber nicht unbedingt den Logarithmus zur Basis e.
Ich habe jetzt einfach den Logarithmus von [mm] \bruch{10}{3} [/mm] zur Basis 0,5 genommen ;)
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