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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 So 07.12.2008 | | Autor: | abakus86 |
Hallo!
Habe mal eine Frage zur Exponentialmatrix. Habe hier folgende Matrix: [mm] A=\pmat{ 0 & -\bruch{1}{3} & 1 \\ -6 & 1 & 3 \\ -5 & -\bruch{4}{3} & 5 } [/mm]
Ich soll [mm] e^{A} [/mm] ausrechnen. Hinweis: Berechne [mm] S^{-1}AS [/mm] mit [mm] S=\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 2 }
[/mm]
Was genau ist [mm] S^{-1}AS? [/mm] Ist das das Produkt dieser drei Matrizen, wobei [mm] S^{-1} [/mm] die inverse von S ist? Ich verstehs nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 So 07.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> Was genau ist [mm]S^{-1}AS?[/mm] Ist das das Produkt dieser drei
> Matrizen, wobei [mm]S^{-1}[/mm] die inverse von S ist?
Es ist genau das 
Vermutlich hat [mm] $SAS^{-1}$ [/mm] eine sehr einfache Form (z.B. Diagonalgestalt), deren Potenzen du sehr leicht ausrechnen kannst. Dann ist [mm] $$e^{SAS^{-1}}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(SAS^{-1})^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty\frac{SA^kS^{-1}}{k!}=Se^AS^{-1}$$ [/mm] Also [mm] $e^A=S^{-1}e^{SAS^{-1}}S$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 So 07.12.2008 | | Autor: | abakus86 |
Okay vielen Dank!
Kannst du mir vielleicht noch sagen was [mm] e^{SAS^{-1}} [/mm] ist? Wie rechne ich das aus? Stehe praktisch wieder vor dem selben Problem, dass ich mit der Exponentialmatrix noch nichts anfangen kann. 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 So 07.12.2008 | | Autor: | pelzig |
[mm] $e^A$ [/mm] ist einfach [mm] $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac{A^k}{k!}$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:29 Mo 08.12.2008 | | Autor: | abakus86 |
Ich meine nur, wenn ich mein [mm] SAS^{-1} [/mm] habe, wie gehts dann weiter? Wie komme ich dann auf mein [mm] e^{A}? [/mm] Und wie berechne ich e hoch ne Matrix? Das verstehe ich nicht mit der Reihe. Es muss ja wieder eine Matrix rauskommen...
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> Ich meine nur, wenn ich mein [mm]SAS^{-1}[/mm] habe, wie gehts dann
> weiter? Wie komme ich dann auf mein [mm]e^{A}?[/mm] Und wie berechne
> ich e hoch ne Matrix? Das verstehe ich nicht mit der Reihe.
> Es muss ja wieder eine Matrix rauskommen...
Hallo,
eigentlich ist dazu alles gesagt worden.
>> $ [mm] e^A [/mm] $ ist einfach $ [mm] \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac{A^k}{k!} [/mm] $,
und da hier Matrizen addiert werden, wird wohl auch 'ne Matrix herauskommen. Und Matrizen addieren kannst Du.
Hast Du jetzt inzwischen eigentlich la [mm] S^{-1}AS [/mm] ausgerechnet?
Es hat Dir pelzig ja schon mitgeteilt, daß
>>>> $ [mm] e^{SAS^{-1}}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(SAS^{-1})^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty\frac{SA^kS^{-1}}{k!}=Se^AS^{-1} [/mm] $,
wenn Du [mm] e^{SAS^{-1}} [/mm] berechnet hast, bist Du der Lösung nahe.
Fang doch jetzt endlich mal an, daß man ein bißchen was sieht.
Rechne doch [mm] (SAS^{-1})^k [/mm] mal für k=0, 1,2,...,10 aus, und dann
[mm] \sum_{k=0}^{10}\frac{(SAS^{-1})^k}{k!},
[/mm]
so sieht man nämlich wie die Sache läuft.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Di 09.12.2008 | | Autor: | zipp |
ich denke du wartest auf die Formel aus der Vorlesung: [mm] e^{A}=S^{-1}*diag(e^{\lambda_1},\ldots,e^{\lambda_n})*(I+N+\bruch{1}{2!}N^{2}+...+\bruch{1}{(k-1)!}N^{k-1})*S
[/mm]
also musst zuerst die [mm] SAS^{-1} [/mm] finden. das ist dann die Matrix in Jordanischer Form. Die wieder in Diagonalmatrix (diag)+nilpotente Matrix zerlegt werden kann.
Die Formel sieht einfacher aus als die mit limes der Summe und gilt für beliebige komplexe Matrix.
Beispiel (auch aus der Vorlesung):
[mm] e^{\pmat{ ln3 & 1 \\ 0 & ln5 }} [/mm] = [mm] e^{\pmat{ ln3 & 0 \\ 0 & ln5 }}*e^{\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }} [/mm] = [mm] \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 5 }*(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }) [/mm] = [mm] \ldots
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Di 09.12.2008 | | Autor: | zipp |
ich habe nur eins nicht verstanden, warum wir bei dem Beispiel die S und [mm] S^{-1} [/mm] weggelassen haben. Kürzen die sich weg oder was ?
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