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hi, ich soll die exponentialmatrix [mm] e^{A} [/mm] berechnen und habe dafür eine gewisse matrix A bekommen, zudem noch eine Matrix S, sodas ich [mm] SAS^{-1} [/mm] berechnen kann. [mm] SAS^{-1} [/mm] ist als tipp angegeben.
gibt es einen bestimmten weg zu berechnung der exponentialmatrizen?
im fischer konnte ich nichts darüber finden.
kann ich sagen, dass [mm] e^{A} [/mm] dasselbe ist wie [mm] \pmat{e^{a_{11}}&...&e^{a_{1n}}\\ ......\\e^{a_{n1}}&...&e^{a_{nn}}} [/mm] ?
oder kann ich von der [mm] SAS^{-1} [/mm] diagonalmatrix auf die exponentialmatrix kommen?
danke
gruß
stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Wenn $A$ diagonalisierbar ist, dann gibt es ja eine Diagonalmatrix [mm] $D=\pmat{d_{11} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & d_{22} & 0 & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & 0 & d_{nn}}$ [/mm] und eine invertierbare Matrix $S$ mit
[mm] $SAS^{-1} [/mm] = D$.
Nun gilt (mache dir das bitte klar):
[mm] $S\exp(A)S^{-1} [/mm] = [mm] \exp(D) [/mm] = [mm] \pmat{e^{d_{11}} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & e^{d_{22}} & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & 0 & e^{d_{nn}}}$,
[/mm]
und das kann man nach [mm] $\exp(A)$ [/mm] umstellen.
> kann ich sagen, dass [mm]e^{A}[/mm] dasselbe ist wie
> [mm]\pmat{e^{a_{11}}&...&e^{a_{1n}}\\ ......\\e^{a_{n1}}&...&e^{a_{nn}}}[/mm]
> ?
Nein.
Viele Grüße
Julius
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