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Hallo liebe Community  ,
ich komme in einem Paper nicht weiter. Ich würde gerne nachweisen, dass diese Abschätzungen gelten:
1) [mm] |e^{z}-1|\le e^{|z|}-1\le|z|*e^{|z|} [/mm] für [mm] z\in\IC
[/mm]
und dann würde ich exp(z)-1 gerne noch weiter durch folgendes abschätzen:
2) [mm] |e^{z}-1| \le2*|z| [/mm] für [mm] |z|\le1
[/mm]
Allerdings habe ich keine Idee wie ich da rangehen soll. bzw meine Idee zu 1) war:
[mm] |e^{z}-1|=|e^{x+iy}-1|=|e^{x}*e^{iy}-1|=|e^{x}*(cos(y)+i*sin(y))-1|\le|e^{x}(cos(y)+i*sin(y))|-|1|\le |e^{x}|*|cos(y)+i*sin(y)|-1=...?
[/mm]
und ab hier komme ich nicht weiter. Wie bekomme ich den Betrag in die Potenz? Oder bin ich schon völlig falsch ran gegangen?
Über Hilfe wäre ich euch dankbar :)
Liebe Grüße
Kano
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:24 Fr 24.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo liebe Community ,
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> ich komme in einem Paper nicht weiter. Ich würde gerne
> nachweisen, dass diese Abschätzungen gelten:
>
> 1) [mm]|e^{z}-1|\le e^{|z|}-1\le|z|*e^{|z|}[/mm] für [mm]z\in\IC[/mm]
>
> und dann würde ich exp(z)-1 gerne noch weiter durch
> folgendes abschätzen:
>
> 2) [mm]|e^{z}-1| \le2*|z|[/mm] für [mm]|z|\le1[/mm]
>
> Allerdings habe ich keine Idee wie ich da rangehen soll.
> bzw meine Idee zu 1) war:
>
> [mm]|e^{z}-1|=|e^{x+iy}-1|=|e^{x}*e^{iy}-1|=|e^{x}*(cos(y)+i*sin(y))-1|\le|e^{x}(cos(y)+i*sin(y))|-|1|\le |e^{x}|*|cos(y)+i*sin(y)|-1=...?[/mm]
Das erste " [mm] \le" [/mm] ist völliger Unsinn. Wäre das richtig , so hätten wir für y=0:
[mm] $|e^x-1| \le e^x-|1|=e^x-1.$
[/mm]
Daraus würde dann folgen:
[mm] e^x \ge [/mm] 2 für jedes x<0.
>
> und ab hier komme ich nicht weiter. Wie bekomme ich den
> Betrag in die Potenz? Oder bin ich schon völlig falsch ran
> gegangen?
> Über Hilfe wäre ich euch dankbar :)
>
> Liebe Grüße
> Kano
Verschaffe Dir die bekannte Reihenentwicklung von [mm] e^z [/mm] und ziehe 1 ab.
Dann lasse auf [mm] |e^z-1| [/mm] die Dreiecksungleichung für Reihen los. Du kekommst einen Ausdruck der Form
$blablablubber(|z|)$.
Überzeuge Dich von
[mm] $1+blablablubber(|z|)-1=e^{|z|}-1$.
[/mm]
Das liefert die erste Ungleichung von 1).
Weiter im Text: es ist $blablablubber(|z|)=|z|*bliiibberblabla(|z|)$
In $biiibberblabla(|z|)$ kommen Ausdrücke der Form
[mm] \bruch{|z|^k}{(k+1)!} [/mm] ($k [mm] \in \IN_0$)
[/mm]
vor. Es gilt
[mm] \bruch{|z|^k}{(k+1)!} \le \bruch{|z|^k}{k!}
[/mm]
Das liefert:
$bliiibberblabla(|z|) [mm] \le e^{|z|}$
[/mm]
und ,schwupp, die 2. Ungleichung in 1) steht da.
Zu 2) Dazu zeige für $|z| [mm] \le [/mm] 1$:
$bliiibberblabla(|z|) [mm] \le [/mm] bliiibberblabla(1)=e-1 [mm] \le [/mm] 2.$
Gruß FRED
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Hey,
danke für deine hilfreichen Ausführungen :) Ich glaube ich habe es jetzt:
[mm] |e^{z}-1|\le|\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{z^{j}}{j!}-1|=|\bruch{1}{1}+\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{z^{j}}{j!}-1|=|\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{z^{j}}{j!}|\le \summe_{j=1}^{\infty}\bruch{|z|^{j}}{j!}=\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{|z|^{j}}{j!}+1-1\le\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{|z|^{j}}{j!}-1=e^{|z|}-1
[/mm]
Ausgehend von [mm] e^{|z|}-1 [/mm] müsste ja jetzt gelten:
[mm] e^{|z|}-1\le e^{|z|}=1+|z|+\summe_{j=2}^{\infty}\bruch{|z|^{j}}{j!}=|z|*\vektor{\bruch{|z|^{-1}}{0!}+\bruch{1}{1!}+...}=|z|*\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{|z|^{j-1}}{j!}\underbrace{=}_{j=k+1}|z|*\summe_{k+1=0}^{\infty}\bruch{|z|^{k}}{(k+1)!}\le|z|*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{|z|^{k}}{(k)!}=|z|*e^{|z|}
[/mm]
Da es sich um Äquivalenzumformungen handelt müssten damit ja beide Richtungen gezeigt sein...?
zu 2)
aus 1) wissen wir, dass gilt:
[mm] |e^{z}-1|\le e^{|z|}-1\underbrace{\le}_{|z|\le1}e^{1}-1\le2
[/mm]
Müsste doch jetzt so stimmen, oder?
Beste Grüße+schönes Wochenende
Kano
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Fr 24.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hey,
>
> danke für deine hilfreichen Ausführungen :) Ich glaube
> ich habe es jetzt:
>
> [mm]|e^{z}-1|\le|\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{z^{j}}{j!}-1|=|\bruch{1}{1}+\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{z^{j}}{j!}-1|=|\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{z^{j}}{j!}|\le \summe_{j=1}^{\infty}\bruch{|z|^{j}}{j!}=\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{|z|^{j}}{j!}+1-1\le\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{|z|^{j}}{j!}-1=e^{|z|}-1[/mm]
>
> Ausgehend von [mm]e^{|z|}-1[/mm] müsste ja jetzt gelten:
> [mm]e^{|z|}-1\le e^{|z|}=1+|z|+\summe_{j=2}^{\infty}\bruch{|z|^{j}}{j!}=|z|*\vektor{\bruch{|z|^{-1}}{0!}+\bruch{1}{1!}+...}=|z|*\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{|z|^{j-1}}{j!}\underbrace{=}_{j=k+1}|z|*\summe_{k+1=0}^{\infty}\bruch{|z|^{k}}{(k+1)!}\le|z|*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{|z|^{k}}{(k)!}=|z|*e^{|z|}[/mm]
>
> Da es sich um Äquivalenzumformungen handelt müssten damit
> ja beide Richtungen gezeigt sein...?
>
> zu 2)
> aus 1) wissen wir, dass gilt:
> [mm]|e^{z}-1|\le e^{|z|}-1\underbrace{\le}_{|z|\le1}e^{1}-1\le2[/mm]
>
> Müsste doch jetzt so stimmen, oder?
Ja
FRED
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> Beste Grüße+schönes Wochenende
> Kano
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