Exponentialverteilte Zufallsgr < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Dauer der störungsfreien Arbeitszeit eines lokalen Computernetzes sei eine exponentialverteilte Zufallsgröße mit einem Erwartungswert von 3h.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten, dass die Zeitdauer zwischen 2 aufeinanderfolgenden törungen höchstens 2 Stunden beträgt.
b)Mit welcher Wahrscheinlichkeit übersteigt die Zeitdauer zwischen zwei aufeinanderfolgenden Störungen ihre Erwartungsdauer? |
Mir fehlt hier der Ansatz zum Lösen der Aufgabe.
[mm]E(X) = 3 [/mm]
Formel für Exponentialverteilung:
[mm]P(x)=e^{-\lambda * x}[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
OK:
[mm]P(x)= \lambda*e^{-\lambda * x}[/mm]
Aber wie gehts weiter?
[mm] \lambda [/mm] = 1/3
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Die Dauer der störungsfreien Arbeitszeit eines lokalen Computernetzes sei eine exponentialverteilte Zufallsgröße mit einem Erwartungswert von 3h.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zeitdauer zwischen 2 aufeinanderfolgenden Störungen höchstens 2 Stunden beträgt.
b)Mit welcher Wahrscheinlichkeit übersteigt die Zeitdauer zwischen zwei aufeinanderfolgenden Störungen ihre Erwartungsdauer? |
> OK:
>
> [mm]P(x)= \lambda*e^{-\lambda * x}[/mm]
nennen wir das lieber [mm] f_\lambda(x) [/mm] !
(Wahrscheinlichkeitsdichte, keine Wahrscheinlichkeit)
> Aber wie gehts weiter?
>
> [mm]\lambda[/mm] = 1/3
Hallo petrus_86 ,
um den Zusammenhang zwischen [mm] \lambda [/mm] und dem Erwartungswert
für die störungsfreie Arbeitszeit zu durchschauen, würde
ich dir empfehlen, zunächst den Erwartungswert der
Zufallsgröße durch Integration zu bestimmen.
Auch für die Aufgaben (a) und (b) ist dann jeweils ein
bestimmtes Integral auszuwerten. Hinweis: Die Wahr-
scheinlichkeit dafür, dass die Zeitdauer zwischen zwei
aufeinanderfolgenden Störungen in einem Intervall [a,b]
liegt, entspricht dem Flächeninhalt unter der Dichtekurve
über diesem Intervall.
Übrigens: Um zu zeigen, dass die Funktion [mm] f_\lambda(x) [/mm] tatsächlich
eine Wahrscheinlichkeitsdichte darstellt, wäre ein weiteres
Integral zu bestimmen.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Ich habe den Erwartungswert der Zufallsgröße durch Integration bestimmt.
a)
Jetzt würde ich die Dichtefunktion der Exponentialverteilung nehmen.
[mm]\integral_{a}^{b}{\lambda * e^{-\lambda * x} dx} [/mm]
Welche Grenzen müsste ich für [a,b] einsetzen?
|
|
|
| |
|
> Ich habe den Erwartungswert der Zufallsgröße durch
> Integration bestimmt.
>
> a)
> Jetzt würde ich die Dichtefunktion der
> Exponentialverteilung nehmen.
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\lambda * e^{-\lambda * x} dx}[/mm]
>
> Welche Grenzen müsste ich für [a,b] einsetzen?
Für Aufgabe (a):
"höchstens 2 Stunden" bedeutet natürlich "zwischen 0 und 2 Stunden" ...
LG
|
|
|
| |
|
[mm]\integral_{0}^{2}{\lambda*e^{-\lambda*x}dx} = -e^{-\bruch{2}{3}}+-e^{-\bruch{1}{3}*0} = 0,4866[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Mo 14.02.2011 | | Autor: | petrus_86 |
Analoger Vorgang zu b)
[mm]E(X)>3[/mm]
[mm]P(X>3) = 1 - P(X<=3) = 1 - \integral_{0}^{3}{\lambda * e ^{-\lambda * x} dx} = 1- 0,6379 = 0,3679[/mm]
|
|
|
| |
|
> Analoger Vorgang zu b)
>
> [mm]E(X)>3[/mm]
>
> [mm]P(X>3) = 1 - P(X<=3) = 1 - \integral_{0}^{3}{\lambda * e ^{-\lambda * x} dx} = 1- 0,6379 = 0,3679[/mm]
Analog: ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
|
|
|
| |
|
> [mm]\integral_{0}^{2}{\lambda*e^{-\lambda*x}dx} = -e^{-\bruch{2}{3}}+-e^{-\bruch{1}{3}*0} = 0,4866[/mm]
Richtig.
LG Al-Chw.
|
|
|
|
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Was soll das sein? Die Dichte? Die Verteilungsfunktion? ![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Da