Exponentialverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Zerfallszeit T für Polonium ist eine exponentialverteilte Zufallsgröße. Mittels der Halbwertseit, die für dieses radioaktive Element 140 Tage beträgt, bestimme man
a) den Parameter [mm] \lambda [/mm] der Exponentialverteilung,
b) die Zeitdauer [mm] t_0, [/mm] so dass mit einer Wahrscheinlichkeit p=0,95 ein Zerfall erfolgt.
Bemerkung: Unter der Halbwertszeit versteht man diejenige Zeit, in deren Verlauf die Wahrscheinlichkeit eines Zerfalls gleich 1/2 ist. |
Hallo Leute,
ich habe Probleme mit einer Aufgabe und würde mich sehr über Hilfe freuen.
Ich habe herausgefunden, dass die Exponentialverteilung folgenderweise definiert ist: [mm] f_{\lambda}(x)= \begin{cases}\displaystyle \lambda{\rm e}^{-\lambda x} & x\geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases} [/mm] Des Weiteren weiß ich, dass die Wahrscheinlichkeit nach den 140 Tagen 1/2 betragen soll.
Also würde ich sagen
[mm] f_{\lambda}(140)=1/2
[/mm]
[mm] <=>\lambda{\rm e}^{-\lambda* 140}=1/2
[/mm]
[mm] <=>ln(\lambda{\rm e}^{-\lambda *140})=ln(1/2)
[/mm]
[mm] <=>ln(\lambda)-\lambda*140=ln(1/2)
[/mm]
Ab hier komme ich nicht mehr weiter und vermute auch, dass da irgendwas nicht stimmt. Wie kann ich das nach [mm] \lambda [/mm] auflösen?
Bei der b) habe ich jetzt noch nichts, weil ich denke die wird man nicht ohne die a) lösen können.
Vielen Dank im Voraus!
Ich habe die Frage noch auf einer anderen Seite gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1985261#post1985261
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 So 03.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Die Zerfallszeit T für Polonium ist eine
> exponentialverteilte Zufallsgröße. Mittels der
> Halbwertseit, die für dieses radioaktive Element 140 Tage
> beträgt, bestimme man
>
> a) den Parameter [mm]\lambda[/mm] der Exponentialverteilung,
>
> b) die Zeitdauer [mm]t_0,[/mm] so dass mit einer Wahrscheinlichkeit
> p=0,95 ein Zerfall erfolgt.
>
> Bemerkung: Unter der Halbwertszeit versteht man diejenige
> Zeit, in deren Verlauf die Wahrscheinlichkeit eines
> Zerfalls gleich 1/2 ist.
> Hallo Leute,
>
> ich habe Probleme mit einer Aufgabe und würde mich sehr
> über Hilfe freuen.
>
> Ich habe herausgefunden, dass die Exponentialverteilung
> folgenderweise definiert ist: [mm]f_{\lambda}(x)= \begin{cases}\displaystyle \lambda{\rm e}^{-\lambda x} & x\geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}[/mm]
Das ist die Dichte der Exponentialverteilung !
> Des Weiteren weiß ich, dass die Wahrscheinlichkeit nach
> den 140 Tagen 1/2 betragen soll.
>
> Also würde ich sagen
> [mm]f_{\lambda}(140)=1/2[/mm]
> [mm]<=>\lambda{\rm e}^{-\lambda* 140}=1/2[/mm]
> [mm]<=>ln(\lambda{\rm e}^{-\lambda *140})=ln(1/2)[/mm]
>
> [mm]<=>ln(\lambda)-\lambda*140=ln(1/2)[/mm]
>
> Ab hier komme ich nicht mehr weiter und vermute auch, dass
> da irgendwas nicht stimmt.
So ist es. Wie gesagt: [mm] f_{\lambda} [/mm] ist die Dichte der Expo-verteilung
Wie lautet die Verteilungsfunktion ???
FRED
> Wie kann ich das nach [mm]\lambda[/mm]
> auflösen?
>
> Bei der b) habe ich jetzt noch nichts, weil ich denke die
> wird man nicht ohne die a) lösen können.
>
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
>
> Ich habe die Frage noch auf einer anderen Seite gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1985261#post1985261
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Ich kenne mich da leider nicht so gut aus, weil ich auch nie Stochastik vorher hatte, aber ich vermute es wird
F(x)= [mm] \int\limits_{0}^x f_\lambda\left(t\right)\ {\rm d}t [/mm] = [mm] \begin{cases} 1-\mathrm{e}^{-\lambda x}& x\geq 0, \\ 0 & x < 0. \end{cases} [/mm] sein?
Muss ich diese Funktion dann wieder mit meinem 140 und 1/2 berechnen?
Würde ich dann das Integral der Dichtefunktion von [mm] -\infty [/mm] bis 140 lösen oder kann ich einfach sagen [mm] 1-e^{-\lambda*140}=1/2
[/mm]
Da würde ich dann auf [mm] \lambda=-\frac{1}{280} [/mm] kommen?
Vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:36 So 03.05.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo mtr-studi!
> Ich kenne mich da leider nicht so gut aus, weil ich auch
> nie Stochastik vorher hatte, aber ich vermute es wird
>
> F(x)= [mm]\int\limits_{0}^x f_\lambda\left(t\right)\ {\rm d}t[/mm] =
> [mm]\begin{cases} 1-\mathrm{e}^{-\lambda x}& x\geq 0, \\ 0 & x < 0. \end{cases}[/mm]
> sein?
Ja.
> Muss ich diese Funktion dann wieder mit meinem 140 und 1/2
> berechnen?
Ja.
> Würde ich dann das Integral der Dichtefunktion von [mm]-\infty[/mm]
> bis 140 lösen oder kann ich einfach sagen
> [mm]1-e^{-\lambda*140}=1/2[/mm]
*Ich* sehe keinen Unterschied. Es ist
[mm] F(140)=\int_{-\infty}^{140}f_{\lambda}(t)\mathrm{dt}=\int_{0}^{140}f_{\lambda}(t)\mathrm{dt}=1-e^{-\lambda*140}\overset{!}{=}\frac{1}{2}.
[/mm]
> Da würde ich dann auf [mm]\lambda=-\frac{1}{280}[/mm] kommen?
Der Parameter [mm] \lambda [/mm] ist immer positiv! Am Besten du rechnest
hier vor und wir suchen gemeinsam nach dem Fehler.
Gruß
DieAcht
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Hallo,
danke für die Antwort. Leider antwortet Fred immer nur 1x. :-(
$ [mm] 1-e^{-\lambda\cdot{}140}=\frac{1}{2} [/mm] $
$ [mm] -e^{-\lambda\cdot{}140}=-\frac{1}{2} [/mm] $
$ [mm] e^{-\lambda\cdot{}140}=\frac{1}{2} [/mm] $
$ [mm] -\lambda\cdot{}140=ln(\frac{1}{2}) [/mm] $
$ [mm] \lambda=-\frac{ln(\frac{1}{2})}{140} [/mm] $
$ [mm] \lambda=\frac{ln(2)}{140} [/mm] $
Vielleicht eher so?
Vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 Mo 04.05.2015 | | Autor: | DieAcht |
> danke für die Antwort. Leider antwortet Fred immer nur 1x. :-(
Das stimmt auf keinen Fall! Ich habe zwar den Eindruck, dass er
eher auf die offenen neuen Fragen eingeht und etwas (zeitlich)
ältere nach "hinten verschobene", offenen Fragen "vergisst" oder
nicht "durchsucht", aber ihm zu unterstellen, dass er nicht mehr
als 1 mal antwortet finde ich nicht in Ordnung. Das hier ist ein
kostenfreies Forum und wir machen das hier alle freiwillig.
Übrigens: Ich bin gerade deine Fragen durchgegangen und es gibt
keine einzigen Thread von dir, in denen Fred geantwortet hat und
du noch offene Fragen hattest. Es wurden immer alle deine Fragen
in den Threads von ihm oder anderen Personen beantwortet. 
> [mm]1-e^{-\lambda\cdot{}140}=\frac{1}{2}[/mm]
>
> [mm]-e^{-\lambda\cdot{}140}=-\frac{1}{2}[/mm]
>
> [mm]e^{-\lambda\cdot{}140}=\frac{1}{2}[/mm]
>
> [mm]-\lambda\cdot{}140=ln(\frac{1}{2})[/mm]
>
> [mm]\lambda=-\frac{ln(\frac{1}{2})}{140}[/mm]
>
> [mm]\lambda=\frac{ln(2)}{140}[/mm]
>
> Vielleicht eher so?
Ja, wobei *ich* zwischen den Gleichungen etwas hinzufügen würde,
da ansonsten nur Gleichungen untereinander stehen und zwar ohne
Zusammenhang.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Die Unterstellung tut mir sehr leid und ich habe mich auch schon näher dazu bei der Antwort auf Freds Beitrag geäußert. Anscheinend kommen ich aber mit ihm auf keinen gemeinsamen Nenner, also belasse ich es dabei.
_____
Bei dem Aufgabenteil b) kann ich dann also gefundene \lambda einfach verwenden und sagen
$ 1-e^{-\frac{ln(2)}{140} \cdot{}x}=0,95$
$<=> -e^{-\frac{ln(2)}{140} \cdot{}x}=-0,05$
$<=> e^{-\frac{ln(2)}{140} \cdot{}x}=0,05$
$<=> -\frac{ln(2)}{140} \cdot{}x}=ln(0,05)$
$<=> x=-140*\frac{ln(0,05)}{ln(2)}=605,07$
?
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Mo 04.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Die Unterstellung tut mir sehr leid und ich habe mich auch
> schon näher dazu bei der Antwort auf Freds Beitrag
> geäußert. Anscheinend kommen ich aber mit ihm auf keinen
> gemeinsamen Nenner, also belasse ich es dabei.
Fred: " Mr. studi ist grün und kommt vom Mars"
Mr. Studi: " Nein, das ist Unfug".
Fred: " Ts,ts, ich komme mit Mr Studi auf keinen gemeinsamen Nenner".
> _____
>
> Bei dem Aufgabenteil b) kann ich dann also gefundene
> [mm]\lambda[/mm] einfach verwenden und sagen
>
> [mm]1-e^{-\frac{ln(2)}{140} \cdot{}x}=0,95[/mm]
> [mm]<=> -e^{-\frac{ln(2)}{140} \cdot{}x}=-0,05[/mm]
>
> [mm]<=> e^{-\frac{ln(2)}{140} \cdot{}x}=0,05[/mm]
> [mm]<=> -\frac{ln(2)}{140} \cdot{}x}=ln(0,05)[/mm]
>
> [mm]<=> x=-140*\frac{ln(0,05)}{ln(2)}=605,07[/mm]
>
> ?
Ist O.K.
FRED
>
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Mo 04.05.2015 | | Autor: | mtr-studi |
Vielen Dank für die schnelle Antwort. 
EDIT:
> > Die Unterstellung tut mir sehr leid und ich habe mich auch
> > schon näher dazu bei der Antwort auf Freds Beitrag
> > geäußert. Anscheinend kommen ich aber mit ihm auf keinen
> > gemeinsamen Nenner, also belasse ich es dabei.
>
>
> Fred: " Mr. studi ist grün und kommt vom Mars"
>
> Mr. Studi: " Nein, das ist Unfug".
>
> Fred: " Ts,ts, ich komme mit Mr Studi auf keinen
> gemeinsamen Nenner".
>
Das habe ich leider vorher übersehen. Dazu äußere ich mich aber sehr gerne nochmal:
Ich habe mich ausführlich zu meinem Standpunkt geäußert und du hast mir in zwei Sätzen darauf geantwortet. Es war mein subjektiver Eindruck und du sagst es sei Unfug. Wir könnten jetzt eine endlose Diskussion darüber führen, aber am Ende würden wir doch wieder am Anfang stehen. Parallelen zu deinem Beispiel sehe ich wenige, denn dein Beispiel kann man sehr leicht objektiv widerlegen. Hier hingegen werde ich wohl kaum jeden einzelnen Beitrag in den vergangenen Jahren prüfen können, dass mein vermutetes Vorgehen mal vorgekommen ist. Deine Statistik mit 13779 Erstantworten und 24019 Beiträgen spricht aber stark dafür, denn in der Regel werden Themen nicht mit nur 2 Antworten gelöst.
Meinetwegen können wir es jetzt gerne dabei belassen oder ich akzeptiere jetzt einfach formal, dass ich falsch lag, um die Sache langsam aus der Welt zu schaffen.
Alternativ bin ich auch gerne (wenn du es wünscht) für eine umfangreichere Diskussion offen, aber dann lieber in einem Offtopic.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:43 Di 05.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die schnelle Antwort.
>
> EDIT:
>
> > > Die Unterstellung tut mir sehr leid und ich habe mich auch
> > > schon näher dazu bei der Antwort auf Freds Beitrag
> > > geäußert. Anscheinend kommen ich aber mit ihm auf keinen
> > > gemeinsamen Nenner, also belasse ich es dabei.
> >
> >
> > Fred: " Mr. studi ist grün und kommt vom Mars"
> >
> > Mr. Studi: " Nein, das ist Unfug".
> >
> > Fred: " Ts,ts, ich komme mit Mr Studi auf keinen
> > gemeinsamen Nenner".
> >
>
> Das habe ich leider vorher übersehen. Dazu äußere ich
> mich aber sehr gerne nochmal:
> Ich habe mich ausführlich zu meinem Standpunkt geäußert
> und du hast mir in zwei Sätzen darauf geantwortet. Es war
> mein subjektiver Eindruck und du sagst es sei Unfug. Wir
> könnten jetzt eine endlose Diskussion darüber führen,
> aber am Ende würden wir doch wieder am Anfang stehen.
> Parallelen zu deinem Beispiel sehe ich wenige, denn dein
> Beispiel kann man sehr leicht objektiv widerlegen. Hier
> hingegen werde ich wohl kaum jeden einzelnen Beitrag in den
> vergangenen Jahren prüfen können, dass mein vermutetes
> Vorgehen mal vorgekommen ist. Deine Statistik mit 13779
> Erstantworten und 24019 Beiträgen spricht aber stark
> dafür, denn in der Regel werden Themen nicht mit nur 2
> Antworten gelöst.
> Meinetwegen können wir es jetzt gerne dabei belassen
Gerne
> oder
> ich akzeptiere jetzt einfach formal, dass ich falsch lag,
Was heißt "oder" ? Du lagst falsch.
> um die Sache langsam aus der Welt zu schaffen.
So sei es.
>
> Alternativ bin ich auch gerne (wenn du es wünscht) für
> eine umfangreichere Diskussion offen,
Wünsche ich nicht.
FRED
> aber dann lieber in
> einem Offtopic.
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:28 Mo 04.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> danke für die Antwort. Leider antwortet Fred immer nur
> 1x. :-(
>
Dieser grobe Unfug lässt sich statistisch ganz einfach widerlegen:
Bis heute, 4.5. 2015:
Erstantworten von FRED: 13779
Forenbeiträge von FRED 24019
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:22 Mo 04.05.2015 | | Autor: | mtr-studi |
Die Unterstellung tut mir sehr leid, Fred.
Ich hatte nur beim Durchsuchen anderer Forenbeiträge den Eindruck gewonnen, dass ein paar nur eine Antwort von dir hatten und dann später die Fälligkeit abgelaufen ist, aber viele neue Beiträge bereits bearbeitet wurden.
Du bist gewiss eines der aktivsten und auch schnellsten Forenmitglieder in Bezug auf die Antwortzeit. Ich habe nur den Eindruck, dass du auf (in deinen Augen wahrscheinlich) dumme oder einfache Nachfragen ungern antwortest, was auch völlig in Ordnung ist.
Dieses Forum basiert selbstverständlich auf Freiwilligkeit und ich bin auch sehr dankbar für die ganze Hilfe, die ich hier erhalten habe.
Es ist nur so, dass ich es immer etwas schade finde, wenn man sich an die Bearbeitung einer Aufgabe setzt und man einen guten Hinweis von einem netten Helfer bekommt, aber bei einer Nachfrage dann vielleicht erstmal Stunden oder Tage keine weitere Antwort bekommt (war in diesem Fall nicht so), aber viele weitere Fragen bearbeitet werden. Es bleibt natürlich jedem Mitglied des Forum völlig selbst überlassen auf welche Beiträge man antwortet und ob man sich nach einem Beitrag aus einem Thema raushält. Für mich persönlich ist es nur immer so, dass wenn ich z.B. im Matheboard im Schulbereich auf Fragen antworte, ich es vermeide in Themen von anderen Leuten zu schreiben. Falls diese Praxis hier auch normalerweise hier angewendet werden sollte, kann das natürlich dann zu sehr hohen Wartezeiten führen (die ich bis jetzt aber noch nicht erlebt habe).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 Mo 04.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Die Unterstellung tut mir sehr leid, Fred.
> Ich hatte nur beim Durchsuchen anderer Forenbeiträge den
> Eindruck gewonnen, dass ein paar nur eine Antwort von dir
> hatten und dann später die Fälligkeit abgelaufen ist,
> aber viele neue Beiträge bereits bearbeitet wurden.
> Du bist gewiss eines der aktivsten und auch schnellsten
> Forenmitglieder in Bezug auf die Antwortzeit.
> Ich habe nur
> den Eindruck, dass du auf (in deinen Augen wahrscheinlich)
> dumme oder einfache Nachfragen ungern antwortest,
Das ist wieder grober Unfug !
> was auch
> völlig in Ordnung ist.
Nein, ist es nicht.
FRED
>
> Dieses Forum basiert selbstverständlich auf Freiwilligkeit
> und ich bin auch sehr dankbar für die ganze Hilfe, die ich
> hier erhalten habe.
> Es ist nur so, dass ich es immer etwas schade finde, wenn
> man sich an die Bearbeitung einer Aufgabe setzt und man
> einen guten Hinweis von einem netten Helfer bekommt, aber
> bei einer Nachfrage dann vielleicht erstmal Stunden oder
> Tage keine weitere Antwort bekommt (war in diesem Fall
> nicht so), aber viele weitere Fragen bearbeitet werden. Es
> bleibt natürlich jedem Mitglied des Forum völlig selbst
> überlassen auf welche Beiträge man antwortet und ob man
> sich nach einem Beitrag aus einem Thema raushält. Für
> mich persönlich ist es nur immer so, dass wenn ich z.B. im
> Matheboard im Schulbereich auf Fragen antworte, ich es
> vermeide in Themen von anderen Leuten zu schreiben. Falls
> diese Praxis hier auch normalerweise hier angewendet werden
> sollte, kann das natürlich dann zu sehr hohen Wartezeiten
> führen (die ich bis jetzt aber noch nicht erlebt habe).
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