Exponentialverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Mi 01.12.2004 | | Autor: | Phlipper |
Verstehe die Aufgabenstellung nicht ! Es wäre nett,wenn mir einer einen
kleinen Tipp geben könnte. Danke
Die zufällige Größe Z sei exponentialverteilt mit Parameter e > 0. Wir betrachten
X := [Z] und Y := Z - [Z], wobei [] die entier-Funktion (ganzer Teil) bezeichnet.
(a) Bestimmen Sie die gemeinsame Verteilung von (X; Y ) sowie die Randverteilungen von X und Y .
Hinweis: Berechnen Sie P(X = n; Y <= y). Überlegen Sie sich vorher, welche
Werte X und Y annehmen können.
(b) Sind X und Y unabhängig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Do 02.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Phlipper!
Es gilt für alle $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] und $y [mm] \in [/mm] [0,1)$:
$P(X=n,Y [mm] \le [/mm] y) = P(n [mm] \le [/mm] Z [mm] \le [/mm] n+y)$.
Versuche dir das erst einmal klar zu machen. Anschließend kannst du dann ja einfach mit der (Exponential-)Verteilung von $Z$ weiterrechnen.
Tipp: Wann ist denn $X=n$?
Wenn $Z$ irgendeinen Wert in $[n,n+1)$ annimmt.
Wir haben also: $Z=n,...$. Der Teil hinter dem Komma ist aber gerade das $Y$, nämlich $Z-[Z]$.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:13 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Phlipper |
Danke für den Tipp,habe das soweit hinbekommen. X und Y sind auch unabhängig,
aber ich weiß nicht wie ich es mathematisch korrekt aufschreibe, meine die Verteilung. Also,dass X den Wert n annimmt ist das Integral von n bis n+1 für die Exponentialfunktion oder ? Und für das Y ? Verstehe die Aufgabe, aber ich kann es nicht aufschreibe. Wäre nett,wenn sich noch einmal jemand opfern würde,ein paar Zeilen zu schreiben !
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:08 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Phlipper!
Ich nenne der Parameter der Exponentialverteilung jetzt mal [mm] $\lambda$.
[/mm]
Also, wie gesagt, rechnet man mit der Exponentialverteilung aus:
$P(X=n,Y [mm] \le [/mm] y) = [mm] e^{-\lambda n} [/mm] - [mm] e^{-\lambda (n+y)}$.
[/mm]
Weiter erhält man für die Randverteilungen:
$P(X=n) = P(X=n, [mm] Y\le [/mm] 1) = [mm] e^{-\lambda n} [/mm] - [mm] e^{-\lambda (n+1)}$
[/mm]
und
[mm] $F_Y(y) [/mm] = P(Y [mm] \le [/mm] y) = [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} [/mm] P(X=n,Y [mm] \le [/mm] y) = (1 - [mm] e^{-\lambda y}) \sum\limits_{n=0}^{\infty} e^{-\lambda n} [/mm] = [mm] \frac{1 - e^{-\lambda y}}{1 - e^{-\lambda}}$.
[/mm]
Die Dichte erhältst du durch Ableiten.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Phlipper |
Ah jetzt habe ich es,die Dichten habe ich auch ermittelt. Nochmal danke, Julius !
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