Exponentialverteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Di 22.01.2008 | | Autor: | iMeN |
| Aufgabe | Die Lebensdauer X (in Zeiteineinheiten) einer Sorte von elektronischen Bauelementen sei durch die folgende Dichtefunktion gegeben
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ <=0} \\ 0,06x^{2}e^{-0,02x^{3}}, & \mbox{für } x \mbox{ > 0} \end{cases}
[/mm]
1) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F(t).
2) Wie groß ist Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein solches Bauelement mind. 2 Zeiteinheiten ausfallfrei arbeitet?
3) Welche Zeit überleben 90% der Bauelemente |
Ich gehe davon aus dass es eine Exponentialverteilung ist, auch wenn [mm] \lambda [/mm] verschieden sind 0,06 und 0,02.
Mein Ansatz
1)
F(t) = [mm] \integral_{}^{}{f(x) dx}
[/mm]
ich substituiere t = [mm] -0,02x^{3} [/mm] , dann folgt [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] = [mm] -0,06x^{2} [/mm] , und somit d(x) = [mm] \bruch{dt}{-0,06x^{2}}
[/mm]
und mein Integral ist dann:
F(t) = [mm] \integral_{}^{}{0,06x^{2}e^{t}} \bruch{dt}{-0,06x^{2}} [/mm]
F(t) = [mm] \integral_{}^{}{-e^{t}} [/mm] dt , also ->
F(t) = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ <=0} \\ -e^{-0,02x^{3}}, & \mbox{für } x \mbox{ > 0} \end{cases}
[/mm]
2)
gesucht ist: P(x>=2)
P(x>=2) [mm] \gdw [/mm] P(x>1) , und P(x>1) = 1 - F(1)
für F(1) = [mm] -e^{-0,02} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{e^{0,02}} [/mm] -> ein negativer Wert, d.h. die Wahrscheinlichkeit ist dann negativ, d.h. ich habe falsch gerechnet oder mein Ansatz ist ganz Falsch 
wie wäre es dann richtig?
3)
gesucht ist F(X<=x) = 0,9 -> Hier finde ich garkeinen Ansatz
Bin fürjeden Tipp dankbar
|
|
| |
|
Hallo,
> Die Lebensdauer X (in Zeiteineinheiten) einer Sorte von
> elektronischen Bauelementen sei durch die folgende
> Dichtefunktion gegeben
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ <=0} \\ 0,06x^{2}e^{-0,02x^{3}}, & \mbox{für } x \mbox{ > 0} \end{cases}[/mm]
>
> 1) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F(t).
>
> 2) Wie groß ist Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein
> solches Bauelement mind. 2 Zeiteinheiten ausfallfrei
> arbeitet?
>
> 3) Welche Zeit überleben 90% der Bauelemente
> Ich gehe davon aus dass es eine Exponentialverteilung ist,
> auch wenn [mm]\lambda[/mm] verschieden sind 0,06 und 0,02.
>
> Mein Ansatz
>
> 1)
>
> F(t) = [mm]\integral_{}^{}{f(x) dx}[/mm]
>
> ich substituiere t = [mm]-0,02x^{3}[/mm] , dann folgt [mm]\bruch{dt}{dx}[/mm]
> = [mm]-0,06x^{2}[/mm] , und somit d(x) = [mm]\bruch{dt}{-0,06x^{2}}[/mm]
>
> und mein Integral ist dann:
>
> F(t) = [mm]\integral_{}^{}{0,06x^{2}e^{t}} \bruch{dt}{-0,06x^{2}}[/mm]
>
> F(t) = [mm]\integral_{}^{}{-e^{t}}[/mm] dt , also ->
>
> F(t) = [mm]\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ <=0} \\ -e^{-0,02x^{3}}, & \mbox{für } x \mbox{ > 0} \end{cases}[/mm]
Das ist zwar das Integral deiner Wahrscheinlichkeitsdichte, aber noch nicht die Verteilungsfunktion. Diese muss die folgenden Bedingungen erfüllen:
[mm] $\limes_{t \to -\infty} [/mm] F(t) = 0$ und [mm] $\limes_{t \to \infty} [/mm] F(t) = 1$
Also ist deine Verteilungsfunktion:
F(t) = [mm]\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ <= 0} \\ 1-e^{-0,02x^{3}}, & \mbox{für } x \mbox{ > 0} \end{cases}[/mm]
> 2)
>
> gesucht ist: P(x>=2)
Nein. Gesucht ist P(x [mm] \le [/mm] 2).
> P(x>=2) [mm]\gdw[/mm] P(x>1) , und P(x>1) = 1 - F(1)
>
> für F(1) = [mm]-e^{-0,02}[/mm] = [mm]\bruch{-1}{e^{0,02}}[/mm] -> ein
> negativer Wert, d.h. die Wahrscheinlichkeit ist dann
> negativ, d.h. ich habe falsch gerechnet oder mein Ansatz
> ist ganz Falsch
>
> wie wäre es dann richtig?
P(x [mm] \le [/mm] 2) = F(2) = [mm] 1-e^{-0,02*2^{3}} [/mm] = 14,79 %
> 3)
>
> gesucht ist F(X<=x) = 0,9 -> Hier finde ich garkeinen
> Ansatz
P(x [mm] \le [/mm] t) = F(t) = [mm] 1-e^{-0,02t^{3}} [/mm] = 0,9
Nur mal so gefragt: gibt es so eine Wahrscheinlichkeitsdichte wirklich (bzw. solche elektronischen Bauelemente), die am Anfang nicht ihr Maximum hat ? Sehr eigentümlich.
LG, Martinius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:05 Mi 23.01.2008 | | Autor: | iMeN |
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Hilfe, die Erklärung ist nachvolziehbar :)
> > 2)
> >
> > gesucht ist: P(x>=2)
>
> Nein. Gesucht ist P(x [mm]\le[/mm] 2).
Die Aufgabenstellung ist doch:
> > 2) Wie groß ist Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein
> > solches Bauelement mind. 2 Zeiteinheiten ausfallfrei
> > arbeitet?
d.h. für mich 2 und mehr Zeiteinheiten, und nicht höchstens 2 ?
> Nur mal so gefragt: gibt es so eine
> Wahrscheinlichkeitsdichte wirklich (bzw. solche
> elektronischen Bauelemente), die am Anfang nicht ihr
> Maximum hat ? Sehr eigentümlich.
Wahrscheinlich wurde die nur erfunden um meinereiner zu mit der Aufgabenstellung zu Ärgern
|
|
|
| |
|
Hallo iMeN,
Du hast recht. ich habe mich bei Aufgabe 2) vertan. Es muss heißen
P(X [mm] \ge [/mm] 2) = 1 - F(2).
LG, Martinius
|
|
|
|
