Exponentialverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Mo 09.11.2009 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei [mm] (\Omega,\mathcal{A},P) [/mm] ein W-Raum, sowie
[mm] X:(\Omega,\mathcal{A},P) \to (\IR,\mathcal{B}) [/mm] eine ZV mit [mm] P_X=Exp(\alpha) [/mm]
Berechnen Sie [mm] P(\{X < \alpha \}) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich weiss nicht genau, was ich bei dieser Aufgabe rechnen soll:
Für die Verteilungsfunktion gilt
[mm] P_X(A)=F_{\alpha}(x)=1-e^{-\alpha x} [/mm] für x [mm] \ge [/mm] 0 (0 für x<0) und x [mm] \in [/mm] X.
Dann ist [mm] P(\{X < \alpha \}) [/mm] die Wahrscheinlichkeit für X < [mm] \alpha, [/mm] also z.B für [mm] \alpha [/mm] = 5:
[mm] P(\{X < 5\})=1-e^{-5x} [/mm]
Aber ich kann doch jetzt nicht ein paar Werte für [mm] \alpha [/mm] einsetzen ?
Und ausserdem, wofür brauche ich den Borel-Raum ? Ist A ein Element aus dem Borel-Raum, also ein rechts-offenes Intervall ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 Mo 09.11.2009 | | Autor: | DesterX |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Susanne.
Ist das $\alpha$ der Parameter der Exponentialverteilung?
Ich nehme das nun einfach mal an, dann musst du
$P(\{X < \alpha \}) = \integral_{0}^{\alpha}{\alpha*e^{-\alpha*x }dx $
betrachten.
Liebe Grüße,
Dester
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Di 10.11.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Dester,
vielen Dank für deine Hilfe !
Da wir aber in WT bisher nichts mit Integralen gemacht haben, denke ich, dass deine Lösung schon ein Schritt voraus ist.
Kann es sein, dass da einfach nur dies als Lösung angegeben werden muss?:
[mm] P(\{X < \alpha \}) = 1-e^{-\alpha x} [/mm] für alle [mm] x \in \Omega [/mm] für die gilt [mm] X(x) \in \mathcal{B}, x < \alpha [/mm]
Liebe Grüsse und danke, Susanne.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:58 Mi 11.11.2009 | | Autor: | SusanneK |
Sorry, ich wollte meine Mitteilung als Frage haben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Do 12.11.2009 | | Autor: | DesterX |
Hallo Susanne.
Es stellt sich die Frage, wie genau ihr das W'maß der Exp.-Vtlg definiert habt.
Für mich ergeben sich zwei Möglichkeiten:
1.$ [mm] P(\{X < \alpha\})=1-e^{-\alpha*x} [/mm] $ oder, falls [mm] $\alpha$ [/mm] der Parameter der Verteilung ist:
2.$ [mm] P(\{X < x \})=1-e^{-\alpha*x} [/mm] $, dann wäre deine Lösung: $ [mm] P(\{X < \alpha\})=1-e^{-\alpha^{2}} [/mm] $.
Viele Grüße, Dester
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 Fr 13.11.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Dester,
vielen Dank für deine Antwort und Hilfe.
> Exp.-Vtlg definiert habt.
> Für mich ergeben sich zwei Möglichkeiten:
> 1.[mm] P(\{X < \alpha\})=1-e^{-\alpha*x}[/mm] oder, falls [mm]\alpha[/mm]
> der Parameter der Verteilung ist:
> 2.[mm] P(\{X < x \})=1-e^{-\alpha*x} [/mm], dann wäre deine
> Lösung: [mm]P(\{X < \alpha\})=1-e^{-\alpha^{2}} [/mm].
Ich habe jetzt lange über deiner Antwort gebrütet und denke, [mm] \alpha [/mm] ist der Parameter der Verteilung und damit ist deine Lösung 2 die Lösung.
Vielen vielen Dank für deine Hilfe und einen lieben Gruss, Susanne.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Mo 16.11.2009 | | Autor: | iks |
Hallo!
Habe probleme damit die entsprechende Lösung nachvollziehbar zu formulieren. Also:
gegeben ist eine ZV [mm] $X:(\Omega,\mathcal{A},P)\to(\IR,\mathcal{B})$ [/mm] und [mm] $P_X=Exp(a)$.
[/mm]
Da $P$ ein W-Maß auf [mm] $(\Omega,\mathcal{A},P)$ [/mm] ist, ist durch [mm] $P_X$ [/mm] ebenso ein W_Maß auf [mm] $(\IR,\mathcal{B})$ [/mm] gegeben - das Bildmaß von $P$ bei $X$ und es gilt:
[mm] $P_X(B)=P(X^{-1}(B))=P(\{\omega\in\Omega|X(\omega)\in B\})=P(\{X\in B\})\quad(B\in\mathcal{B})$
[/mm]
Das umschreiben auf [mm] $P(\{X
[mm] $P(\{X
Ist das so ok?
noch zu $Exp(a)$:
Sei $a>0$ und [mm] $F_a:\IR\to\IR$ [/mm] mit:
[mm] $F_a(x)=\begin{cases}1-e^{-ax}\quad &(x\ge0)\\0\quad & (x<0)\end{cases}$.
[/mm]
Das durch [mm] $F_a$ [/mm] festgelegte W-Maß heißt Exponentialverteilung mit Parameter $a$. Schreibe: $Exp(a)$
mFg iks
Edit: oder sollte es besser so heißen
[mm] $P(\{X
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 Mo 16.11.2009 | | Autor: | iks |
Hmm! Mitteilung wurde gepostet um den Thread wieder nach oben zu wühlen. Sry wegen dieser Unverschämtheit.
Mfg iks
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Mo 16.11.2009 | | Autor: | DesterX |
Da sind beide Versionen nicht korrekt.
Beachte, dass für eine Verteilungsfunktion eines W-maßes gilt:
[mm] $F_p [/mm] (x)= [mm] P(]-\infty,x]).$
[/mm]
Mit dem zweiten Ansatz solltest du nun weiterkommen.
Gruß, Dester
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Mo 16.11.2009 | | Autor: | iks |
Dank für die noch erfolgte Korrektur!
mFg iks
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