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| Aufgabe | Beweisen Sie folgenden Satz:
Es sei eine Funktion F gegeben mit F: [mm] \IR^{+} \to \IR [/mm] und
- F(s+t)=F(s)*F(t)
- F ist auf jedem beschränkten Intervall beschränkt
- [mm] \exists [/mm] t>0: [mm] F(t)\not=0.
[/mm]
Dann folgt: [mm] \exists \alpha\in\IR: F(t)=F_{\alpha}(t):=e^{t*\alpha} \forall t\ge [/mm] 0.
Vorschlag für die Beweisstruktur:
a) F ist überall von Null verschieden.
b) F ist überall strikt positiv
c) F ist bei 0 (von rechts) stetig.
d) F ist bei jedem [mm] t\ge [/mm] 0 von rechts stetig.
e) Bestimme [mm] \alpha [/mm] so, dass [mm] F(1)=e^{\alpha}. [/mm] Dann ist [mm] F=F_{\alpha} [/mm] auf [mm] \IQ^{+}.
[/mm]
f) Kombiniere d) und e) um die Aussage zu folgern. |
Ich verstehe schon a) nicht. Wenn ich eine beschränkte Funktion habe, dann kann es doch durchaus Sprungstellen geben und egal wie klein ich mein Intervall wähle, dort kann doch eine Sprungstelle auf Null sein. Ich habe bereits gezeigt, dass F(0)=1 gelten muss, aber das hilft mir doch auch nicht, denn schon bei 1,000000000000001 kann die Funktion doch auf Null springen, oder?
Kann mir da jemand helfen? Dank euch schonmal im Voraus. Nora
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Hallo,
> Beweisen Sie folgenden Satz:
> Es sei eine Funktion F gegeben mit F: [mm]\IR^{+} \to \IR[/mm] und
> - F(s+t)=F(s)*F(t)
> - F ist auf jedem beschränkten Intervall beschränkt
> - [mm]\exists[/mm] t>0: [mm]F(t)\not=0.[/mm]
> Dann folgt: [mm]\exists \alpha\in\IR: F(t)=F_{\alpha}(t):=e^{t*\alpha} \forall t\ge[/mm]
> 0.
> Vorschlag für die Beweisstruktur:
> a) F ist überall von Null verschieden.
> b) F ist überall strikt positiv
> c) F ist bei 0 (von rechts) stetig.
> d) F ist bei jedem [mm]t\ge[/mm] 0 von rechts stetig.
> e) Bestimme [mm]\alpha[/mm] so, dass [mm]F(1)=e^{\alpha}.[/mm] Dann ist
> [mm]F=F_{\alpha}[/mm] auf [mm]\IQ^{+}.[/mm]
> f) Kombiniere d) und e) um die Aussage zu folgern.
Deine Vermutungen über die Sprungstellen treffen eben nicht zu, wenn du eine Funktion mit obigen Eigenschaften hast.
Hier ein Tipp erstmal zu a) und b):
Wenn du weißt, dass ein t > 0 existiert, für das [mm] F(t)\not= [/mm] 0, dann kannst du mit der ersten Eigenschaft folgern:
F(2*t) = F(t)*F(t) = [mm] (F(t))^{2} [/mm] > 0.
Und ähnlich zumindest erstmal F(n*t) [mm] \not= [/mm] 0 für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Nun haben wir praktisch die Eigenschaft benutzt, um über die "linke Seite" F(s+t) etwas auszusagen, jetzt versuchen wir dasselbe für die rechte Seite:
0 [mm] \not= [/mm] F(t) = F(1/2*t)*F(1/2*t),
Durch geschickte Aufteilung (zum Beispiel wähle [mm] q\in\IR_{+}, [/mm] q < 1 beliebig), kannst du somit für alle [mm] x\in(0,1) [/mm] mit Hilfe von [mm] 0\not= [/mm] F(t) = F(q*t)*F((1-q)*t) folgern, dass F dort [mm] \not= [/mm] 0 ist (wenn einer der Faktoren 0 wäre, könnte nichts rauskommen, was ungleich 0 ist).
Mit der obigen Folgerung für die natürlichen Zahlen hast du dann a) schon fertig.
Zu b):
Nun musst du damit arbeiten, dass du zum Beispiel für F(2*t) > 0 aussagen kannst. Außerdem (siehe F(t) = F(1/2*t)*F(1/2*t9) bekommst du die Aussage auch für F(t) > 0. Damit kannst du die Aussage für alle F(n*t) > 0 schon wieder beweisen.
Nun überlege selbst, was mit den Zahlen dazwischen ist!
Grüße,
Stefan
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