Exponentielle Form des tanh < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Mo 12.11.2012 | | Autor: | mrdoc |
| Aufgabe | Hallo,
Die eigendliche Aufgabe habe ich bereits Richtig gelöst nur steht im Lösungsbuch noch ein weiterer Schritt und ich habe keine Ahnung wie der Autor des Buches darauf gekommen ist. Was mich gestern schon um den Schlaf gebracht hat.... Ich hoffe ihr könnt mir diesen Schritt erklären. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Von
[mm] x = 2*\bruch{e^y-1}{e^y+1}[/mm]
nach
[mm] x = 2*tanh(\bruch{y}{2})[/mm]
Was wurde gemacht? Wie wurde es gemacht ?
Die Nächste Aufgabe hat einen ähnlichen zwischen schritt bei welchen ich auch nicht drauf komme.
Von
[mm] x = \bruch{e^2^y+1}{2e^y}[/mm]
nach
[mm] x = \bruch {e^y+e^-y}{2} [/mm]
das, dass dann sinh(y) ist, ist mir wiederrum klar....
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Hallo mrdoc,
> Von
>
> [mm]x = 2*\bruch{e^y-1}{e^y+1}[/mm]
>
> nach
>
> [mm]x = 2*tanh(\bruch{y}{2})[/mm]
>
> Was wurde gemacht? Wie wurde es gemacht ?
Ich nehme mal an, Du kennst nur die Darstellung [mm] \tanh{(x)}=\bruch{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} [/mm] ?
Dann ist hier einfach der Bruch mit [mm] \bruch{e^{-y/2}}{e^{-y/2}} [/mm] erweitert worden:
[mm] x=2*\bruch{e^y-1}{e^y+1}\blue{*\bruch{e^{-y/2}}{e^{-y/2}}}=2*\bruch{e^{y/2}-e^{-y/2}}{e^{y/2}+e^{-y/2}}=2*\tanh{\left(\bruch{y}{2}\right)}
[/mm]
> Die Nächste Aufgabe hat einen ähnlichen zwischen schritt
> bei welchen ich auch nicht drauf komme.
>
> Von
>
> [mm]x = \bruch{e^2^y+1}{2e^y}[/mm]
>
> nach
>
> [mm]x = \bruch {e^y+e^-y}{2}[/mm]
Auch hier: erweitern, diesmal mit [mm] \bruch{e^{-y}}{e^{-y}}.
[/mm]
> das, dass dann sinh(y) ist, ist mir wiederrum klar....
Hm. Das müsste heißen:
dass das dann [mm] \sinh{(y)} [/mm] ist, ist mir wiederum klar.
Aber wir sind hier ja kein Deutschforum. Wir haben nur eins.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Mo 12.11.2012 | | Autor: | mrdoc |
Danke für deine Schnelle Antwort.
Aber eins ist mir noch unklar.
Wieso wurde mit
$ [mm] \bruch{e^{-y/2}}{e^{-y/2}} [/mm] $
ginge das nicht auch mit:
$ [mm] \bruch{e^{-y}}{e^{-y}} [/mm] $
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Hallo nochmal,
> Danke für deine Schnelle Antwort.
> Aber eins ist mir noch unklar.
>
> Wieso wurde mit
>
> [mm]\bruch{e^{-y/2}}{e^{-y/2}}[/mm]
>
> ginge das nicht auch mit:
>
> [mm]\bruch{e^{-y}}{e^{-y}}[/mm]
Du kannst einen Bruch mit allem möglichen erweitern, nur wozu?
Aus dem Ergebnis [mm] 2*\bruch{(e^y-1)}{(e^y+1)}*\bruch{e^{-y}}{e^{-y}}=2*\bruch{1-e^{-y}}{1+e^{-y}} [/mm] kann man doch auch nicht mehr ablesen als vorher.
Grüße
reverend
PS: Es lohnt sich bei den hyperbolischen Funktionen, mindestens eine Alternativdarstellung zu kennen bzw. zu lernen. Das hilft einem recht oft, sie überhaupt zu erkennen bzw. in eine gewohntere Darstellung zu bringen, eigentlich immer durch eine geeignete Erweiterung.
Schau mal z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier.
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