Exponentielles Wachstum < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Mo 03.12.2012 | | Autor: | TioZ |
| Aufgabe | Die folgende Tabelle zeigt die Entwicklung einer Mäusepopoulation in einem Lagerhaus für 200 Tage:
Zeit in Tagen: 0 10 20 30 40 50 100 150 160
Anz.d.Mäuse: 50 80 132 215 350 540 2990 4740 4840
Zeit in Tagen: 170 180 190 200
Anz.d.Mäuse:4900 4940 4960 4980
a) Für die ersten 50 Tage soll exponentielles Wachstum mit der Funktion f(x)= a * e ^ k *x angenommen werden.; x in Tagen und f(x) in Anzahl der Mäuse zum Zeitpunkt x.
Bestimmen sie die Parameter a und k mithilfe der Daten für x=40 und x=0
(Konbtrollergebnis: a = 50 und k=0,04865)
Berechnen Sie, wie viele Mäuse nach 47 Tagen im Lagerhaus leben.
Bestimmen sie den Tag, in dessen Verlauf die Anzahl von 400 Mäusen überschritten wird.
Ermitteln Sie den Tag, an dem die momentane Zuwachsrate erstmaliug größer als 10 Mäuse pro Tag ist. |
Also ich habe als erstes die Formel nach a und k umgestellt:
a=f(x) / (e^kx) und k= (ln f(x) - ln a) / x
Mir fehlt jetzt aber im ersten Fall das k und im zweiten Fall das a.
Mit meinen Werten, die ich jetzt habe kann ich es ja nicht ausrechnen oder?
Ja zu den anderen Aufgaben bin ich noch nicht gekommen, da ich hier nicht weiter komme. Ich hoffe ihr könntet mir helfen
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> Also ich habe als erstes die Formel nach a und k
> umgestellt:
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> a=f(x) / (e^kx) und k= (ln f(x) - ln a) / x
>
> Mir fehlt jetzt aber im ersten Fall das k und im zweiten
> Fall das a.
Das ist erstmal richtig, dass dir beide Sachen fehlen.Da steht ja so ein Tip in der Aufgabenstellung, dass du aus den Werten für x=40 und x=0 die Konstanten a und k ausrechnen sollst. Betrachte mal deine erste Gleichung und setze x=0 und f(0) ein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Mo 03.12.2012 | | Autor: | TioZ |
Aber dann habe ich doch a = f(o)/e^ k*0 ?
f(x) ist doch eigentlich f(50) oder?
Und dann fehlt mir ja immer noch k ?
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> Aber dann habe ich doch a = f(o)/e^ k*0 ?
Das ist richtig, das ist auch sehr gut so.Überleg dir mal: Was ist k*0? Und welche Möglichkeit bleibt dann nurnoch für [mm] e^{k*0} [/mm]?
> f(x) ist doch eigentlich f(50) oder?
Nein! f(x) ist nicht f(50)!! Bei Funktionen setzt du einen x Wert ein, und bekommst einen zweiten Wert durch f. Das heißt einem x wird ein neuer Wert f(x) zugeordnet.In deinem Beispiel ist etwa für x=0 der zugeordnete Wert 50. Das heißt in dem Kontext,den wir hier betrachten. Am nullten Tag haben wir 50 Mäuse. In der Tabelle steht auch, wieviel Mäuse du am 50. Tag hast. Also überleg dir:Was ist f(0)? Was ist f(50)? Und wo ist der Unterschied zwischen diesen beiden?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Mo 03.12.2012 | | Autor: | TioZ |
f(0) ist der 0. Tag und f(50) der 50.
Oh man, ich versteh es einfach nicht:D
Ich hätte jetzt für x = 0 bzw 40 eingesetzt
und für f(x)=50 bzw 350
Weil dort ja steht x sind die Tage und f(x) die Anzah l der Mäuse.
Aber dann felht mir ja eine variabel
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Hallo
x ist die Anzahl der Tage
am Tag 0 sind es 50 Mäuse, also f(0)=50, für x die Zahl 0 einsetzen
am Tag 40 sind es 350 Mäuse, also f(40)=350, für x die Zahl 40 einsetzen
[mm] f(x)=a*e^{k*x}
[/mm]
[mm] 50=a*e^{k*0}
[/mm]
[mm] 350=a*e^{k*40}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Mo 03.12.2012 | | Autor: | TioZ |
So hatte ich es auch.
Aber jetzt fehlt mir ja noch eine Variabel. k oder a.
Sonst kann ich es ja nicht ausrechnen
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Hallo TioZ,
> So hatte ich es auch.
> Aber jetzt fehlt mir ja noch eine Variabel. k oder a.
> Sonst kann ich es ja nicht ausrechnen
Aus der Gleichung
[mm]50=a\cdot{}e^{k\cdot{}0}[/mm]
kannst Du das a ermitteln, da [mm]e^{k*0}=e^{0}=1[/mm]
Aus der zweiten Gleichung
[mm]350=a\cdot{}e^{k\cdot{}40}[/mm]
ermittelst Du schliesslich das "k".
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Mo 03.12.2012 | | Autor: | TioZ |
Danke für eure Hilfe.
die nächsten beiden Aufgaben konnte ich dann auch so lösen;)
Nur komm ich bei der letzten Aufgabe nicht weiter.
Ermitteln Sie den Tag, an dem die momentane Zuwachsrate erstmalig größer als 10 Mäuse pro Tag ist.
Ich weiß nicht wie ich das berechnen soll
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Hallo,
> Danke für eure Hilfe.
> die nächsten beiden Aufgaben konnte ich dann auch so
> lösen;)
> Nur komm ich bei der letzten Aufgabe nicht weiter.
> Ermitteln Sie den Tag, an dem die momentane Zuwachsrate
> erstmalig größer als 10 Mäuse pro Tag ist.
> Ich weiß nicht wie ich das berechnen soll
Die momentane Zuwachsrate ist nichts anderes als die erste Ableitung. Streng genommen müsstest du hier mit einer Ungleichung
f'(x)>10
arbeiten, aber nur streng genommen. Wenn du mal bedenkst, dass Exponentialfunktionen grundsätzlich streng monoton sind, dann kannst du vielleicht auch nachvollziehen, dass die Gleichung
f'(x)=10
genau eine Lösung besitzt, und die gilt es zu bestimmen. Ich habe jetzt nicht alles mitverfolgt, aber wenn es ohne GTR gehen soll, dann musst du halt auf dem üblichen Weg per Logarithmus noch nach x auflösen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mo 03.12.2012 | | Autor: | TioZ |
Ok, danke!
Und wie könnte man das mit dem GTR lösen?
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Hallo
die 1. Ableitung
[mm] f'(x)=2,4325*e^{0,04865*x}
[/mm]
[mm] 10=2,4325*e^{0,04865*x}
[/mm]
[mm] 4,111=e^{0,04865*x}
[/mm]
ln4,111=0,04865*x
[mm] x=\bruch{ln4,111}{0,04865} [/mm] das macht der Taschenrechner
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Mo 03.12.2012 | | Autor: | TioZ |
Danke, eine letzte Rückfrage noch, unzwar wie bist du auf die 4,111 gekommen?
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Hallo TioZ,
> Danke, eine letzte Rückfrage noch, unzwar wie bist du auf
> die 4,111 gekommen?
[mm]\bruch{10}{2,4325} = 4,11099... \approx 4,111[/mm]
Gruss
MathePower
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