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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 Do 06.01.2011 | | Autor: | Palme |
| Aufgabe | Lösen Sie die Gleichung
[mm] 2*0,25^x=4^x [/mm] |
Ist die folgende Schreibweise richtig ?
Gibt es noch eine andere Weise, zum Beispiel ohne Taschenrechner diese Art von Gleichung zu lösen?
[mm] 2*0,25^x=4^x
[/mm]
[mm] 16^x=2
[/mm]
[mm] a^x=b
[/mm]
x=[mm] \left( \bruch{lnb}{lna} \right) [/mm]
x=0,25
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Hallo Palme,
> Lösen Sie die Gleichung
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> [mm]2*0,25^x=4^x[/mm]
> Ist die folgende Schreibweise richtig ?
>
> Gibt es noch eine andere Weise, zum Beispiel ohne
> Taschenrechner diese Art von Gleichung zu lösen?
>
> [mm]2*0,25^x=4^x[/mm]
> [mm]16^x=2[/mm]
Hier kannst Du 16 als [mm]2^{4}[/mm] schreiben.
Dann muss gelten:
[mm]\left(2^{4}\right)^{x}=2^{4x}=2[/mm]
> [mm]a^x=b[/mm]
> x=[mm] \left( \bruch{lnb}{lna} \right)[/mm]
> x=0,25
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Do 06.01.2011 | | Autor: | Palme |
Hallo, danke für die Hilfe verstehe jedoch die folgendes nicht...
>
> > Lösen Sie die Gleichung
> >
> > [mm]2*0,25^x=4^x[/mm]
> > Ist die folgende Schreibweise richtig ?
> >
> > Gibt es noch eine andere Weise, zum Beispiel ohne
> > Taschenrechner diese Art von Gleichung zu lösen?
> >
> > [mm]2*0,25^x=4^x[/mm]
> > [mm]16^x=2[/mm]
>
>
> Hier kannst Du 16 als [mm]2^{4}[/mm] schreiben.
>
> Dann muss gelten:
>
> [mm]\left(2^{4}\right)^{x}=2^{4x}=2[/mm]
Wieso ist [mm]2^{4x}=2[/mm]?
Kann ich leider nicht nachvollziehen.
>
>
> > [mm]a^x=b[/mm]
> > x=[mm] \left( \bruch{lnb}{lna} \right)[/mm]
> > x=0,25
>
Gruß Palme
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Do 06.01.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo, danke für die Hilfe verstehe jedoch die folgendes
> nicht...
> >
> > > Lösen Sie die Gleichung
> > >
> > > [mm]2*0,25^x=4^x[/mm]
> > > Ist die folgende Schreibweise richtig ?
> > >
> > > Gibt es noch eine andere Weise, zum Beispiel ohne
> > > Taschenrechner diese Art von Gleichung zu lösen?
> > >
> > > [mm]2*0,25^x=4^x[/mm]
> > > [mm]16^x=2[/mm]
> >
> >
> > Hier kannst Du 16 als [mm]2^{4}[/mm] schreiben.
> >
> > Dann muss gelten:
> >
> > [mm]\left(2^{4}\right)^{x}=2^{4x}=2[/mm]
> Wieso ist [mm]2^{4x}=2[/mm]?
> Kann ich leider nicht nachvollziehen.
Du bist gekommen auf [mm] 16^x=2.
[/mm]
Und [mm] 16^x [/mm] lässt sich schreiben als [mm] 2^{4x}.
[/mm]
Gruß Abakus
> >
> >
> > > [mm]a^x=b[/mm]
> > > x=[mm] \left( \bruch{lnb}{lna} \right)[/mm]
> > > x=0,25
> >
> Gruß Palme
>
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Hallo Palme,
es gibt mehrere Möglichkeiten, die Aufgabe ohne TR zu lösen. Mich würde sogar interessieren, wie Du Deine Umformungen denn überhaupt mit Taschenrechner hinbekommen hast.
> Lösen Sie die Gleichung
>
> [mm]2*0,25^x=4^x[/mm]
>
> Ist die folgende Schreibweise richtig ?
>
> Gibt es noch eine andere Weise, zum Beispiel ohne
> Taschenrechner diese Art von Gleichung zu lösen?
>
> [mm]2*0,25^x=4^x[/mm]
Wenn man [mm] 0,25=\tfrac{1}{4} [/mm] erkennt, dann gibt es außer dem x in dieser Gleichung ja nur Zweierpotenzen:
[mm] 2*0,25^x=2*\left(\bruch{1}{4}\right)^x=2*\left(\bruch{1}{2^2}\right)^x=\left(2^2\right)^x
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2=\left(2^2\right)^x*\left(2^2\right)^x=\left(2^4\right)^x
[/mm]
So, jetzt logarithmieren wir mal im binären Logarithmus, also zur Basis 2, meist notiert als [mm] \mathrm{lb} [/mm] :
[mm] \mathrm{lb}\,{2}=1=x*\mathrm{lb}\,{2^4}=4x\mathrm{lb}\,{2}\quad\Rightarrow\quad [/mm] 1=4x
...und ab da gehts doch. 
Je nachdem, welche Ersetzung man wann vornimmt, bzw. wann man Zweierpotenzen einführt, wann die Rechenregeln der Potenzrechnung und wann die der Logarithmen- und Exponentialrechnung anwendet (wobei die drei letzteren natürlich eng verwandt sind), ergeben sich andere Rechenwege.
Das Ergebnis bleibt das gleiche, und eigentlich ist ein Taschenrechner dafür gar nicht so recht hilfreich.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Fr 07.01.2011 | | Autor: | Palme |
Ich habe die vorangegangene Eklärung durch reverend gut verstanden. Nun hat sich meiner Meinung das viel extremere Probllem herausgestellt.
Ich habe große Schwierigkeiten gleiche Basen zu erkennen.
Kann mir bitte jemand einen Tipp geben? Ich habe das Gefühl, dass drei Jahre Abendgymnasium dahin sind.
Hier nocheinmal eine Beispielaufgabe:
[mm] 2^{X+1} [/mm][mm] =0,5^x
[/mm]
Ich habe vollgendes überlegt:
[mm] 4* \left( \bruch{1}{2} \right)^X*\left( \bruch{1}{2} \right)=\left( \bruch{1}{2} \right)^X[/mm]
[mm] 4* \left( \bruch{1}{2} \right)=1^X[/mm]
So komme ich jedoch nicht auf die Lösung?
gruß Palme
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> Ich habe die vorangegangene Eklärung durch reverend gut
> verstanden. Nun hat sich meiner Meinung das viel extremere
> Probllem herausgestellt.
>
> Ich habe große Schwierigkeiten gleiche Basen zu erkennen.
>
> Kann mir bitte jemand einen Tipp geben? Ich habe das
> Gefühl, dass drei Jahre Abendgymnasium dahin sind.
>
>
> Hier nocheinmal eine Beispielaufgabe:
> [mm]2^{X+1}[/mm][mm] =0,5^x[/mm]
>
> Ich habe vollgendes überlegt:
Beim folgenden hast du ein bisschen zu viel des guten gemacht, denn auf der linken Seite steht doch einfach 2 hoch irgendwas, da brauchst du keine Brüche.
>
> [mm]4* \left( \bruch{1}{2} \right)^X*\left( \bruch{1}{2} \right)=\left( \bruch{1}{2} \right)^X[/mm]
>
> [mm]4* \left( \bruch{1}{2} \right)=1^X[/mm]
>
> So komme ich jedoch nicht auf die Lösung?
>
> gruß Palme
>
Grundlegende Idee bei diesen Gleichungen: Überall die gleiche Basis bekommen.
Das ist hier einfach, denn links steht die 2, rechts steht noch ein bisschen versteckt auch die 2, denn dort gilt:
[mm] $\left( \bruch{1}{2} \right)^{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2^{x}}$
[/mm]
Dann sieht die Gleichung wie folgt aus:
[mm] $2^{x+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2^{x}}$ [/mm] | Multiplikation mit [mm] $2^{x}$
[/mm]
[mm] $2^{x+1}*2^{x}=1$ [/mm] | Potenzgesetz für gleiche Basis anwenden [mm] $b^{x}*b^{y}=b^{x+y}$.
[/mm]
[mm] $2^{2x+1} [/mm] = 1$
In der anderen Lösung wurde jetzt der Logarithmus benutzt - ich finde es immer ganz nett, wenn tatsächlich überall die gleiche Basis steht und man dann sagen kann, dass die Potenzen genau dann gleich sind, wenn auch die Exponenten gleich sind. Dazu muss aber jetzt (in meiner Version) rechts noch eine Zweierpotenz hin.
Zur Übung schadet das aber sicher nicht, auch wenn du lieber den Logarithmus-Weg gehst, denn 1 = [mm] 2^{0}
[/mm]
Also: [mm] $2^{2x+1} [/mm] = [mm] 2^{0}$ [/mm] und damit muss $2x + 1 = 0$ sein und $x = [mm] -\bruch{1}{2}$
[/mm]
So viel zur Aufgabe.
Gute Tipps dazu sind rar.... ich schätze, dass viel Übung und Umgang mit Zahlen hilft, d.h. am besten so viel wie möglich mal ohne Taschenrechner machen. Ansonsten halt immer nach gemeinsamen Faktoren schauen, aber das ist ja eh klar, denke ich.
lg weightgainer
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