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| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Funktion auf Extrem- und Wendestellen:
[mm] f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2 [/mm] |
!Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.!
Ich hab leider nicht die geringste Ahnung, wie ich damit umgehen soll. Gibts ne kleine Hilfestellung von Euch. Ich komm immer durcheinander mit Ableitungen und wann ich was Null setzen muß etc. Sozusagen eine Betriebsanleitung für das Beispiel wäre spitze!
mfg Capricorn
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Hallo,
das ist eigentlich recht einfach:
Extremstellen:
Notwendiges Kriterium:
f'(x) = 0
Hinreichendes Kriterium:
[mm] f''(x_{0}) [/mm] < 0 Hochpunkt
[mm] f''(x_{0}) [/mm] > 0 Tiefpunkt
Wendestellen:
Notwendiges Kriterium:
f''(x) = 0
Hinreichendes Kriterium:
[mm] f'''(x_{0}) \not= [/mm] 0
Gruß Patrick
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:34 Di 28.03.2006 | | Autor: | Capricorn |
| Aufgabe | | Ermitteln Sie Nullstellen, sowie Extrem- und Wendepunkte der folgenden Funktion: [mm] Y = \bruch {1}{20} x^5 + \bruch {1}{6} x^4 - \bruch {3}{2} x^2 [/mm] |
Die vorige Antwort war mir leider noch nicht ausführlich genug. Die Regeln kenn ich dafür bereits, ich bräuchte einfach mal ein ausführliches Beispiel wie das hier genannte, damit ich Schritt für Schritt nachvollziehen kann, wie ich vorzugehen habe. Wann muß ich zum Beispiel die ermittelten Nullstellen aus der Ausgangsfunktion "wo" einsetzen, wie oft mache ich das etc.
Kann einer von Euch mal versuchen diese Aufgabe so ausführlich als möglich zu lösen? gern auch mit Kommentaren, wäre sehr nett...(blond! ;))
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Hallo!
> Ermitteln Sie Nullstellen, sowie Extrem- und Wendepunkte
> der folgenden Funktion: [mm]Y = \bruch {1}{20} x^5 + \bruch {1}{6} x^4 - \bruch {3}{2} x^2[/mm]
Also erstmal ist das eindeutig keine Uni-Frage! Sei froh, dass ich hier überhaupt reingeschaut habe - in letzter Zeit beantworte ich nämlich nur recht wenige Uni-Fragen. Also werde ich deine Frage gleich mal in die Schul-Analysis verschieben! (Erspare uns das bitte das nächste Mal...)
> Die vorige Antwort war mir leider noch nicht ausführlich
> genug. Die Regeln kenn ich dafür bereits, ich bräuchte
> einfach mal ein ausführliches Beispiel wie das hier
> genannte, damit ich Schritt für Schritt nachvollziehen
> kann, wie ich vorzugehen habe. Wann muß ich zum Beispiel
> die ermittelten Nullstellen aus der Ausgangsfunktion "wo"
> einsetzen, wie oft mache ich das etc.
> Kann einer von Euch mal versuchen diese Aufgabe so
> ausführlich als möglich zu lösen? gern auch mit
> Kommentaren, wäre sehr nett...(blond! ;))
Und zweitens ist das wirklich ganz einfach! Du hättest wenigstens mal ein paar Ansätze geben können!
Nullstellen: f(x)=0
[mm] \gdw \bruch{1}{20}x^5+\bruch{1}{6}x^4-\bruch{3}{2}x^2=0
[/mm]
[mm] \gdw x^2(\bruch{1}{20}x^3+\bruch{1}{6}x^2-\bruch{3}{2})=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x=0 [mm] \vee \bruch{1}{20}x^3+\bruch{1}{6}x^2-\bruch{3}{2}=0
[/mm]
die zweite Nullstelle liegt in der Nähe von 2,3, wobei ich hier keine Möglichkeit sehe, dass elementar zu berechnen. Wo hast du diese Aufgabe denn her? Doch nicht etwa selbst ausgedacht? 
Ach ja, und der y-Wert ist natürlich der Funktionswert von unserem x, also f(x)=f(x)=0. Somit wäre eine der beiden Nullstellen (0/0).
So, nun zu den Extremstellen. Wie schon erwähnt wurde, muss dafür die erste Ableitung =0 sein und die zweite [mm] \not=0. [/mm] Die erste Ableitung ist:
[mm] f'(x)=5*\bruch{1}{20}x^4+4*\bruch{1}{6}x^3-2*\bruch{3}{2}x^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}x^4+\bruch{2}{3}x^3-3x
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4}x^4+\bruch{2}{3}x^3-3x=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ...
Auch hier ist wieder eine der beiden Nullstellen x=0 und die andere recht seltsam...
Nun müssen wir überprüfen, ob die zweite Ableitun an diesen beiden Nullstellen <0 oder >0 ist. Dafür setzen wir unsere Nullstellen natürlich einfach in die zweite Ableitung ein:
[mm] f''(x)=x^3+2x^2-3
[/mm]
$f''(0)=-3$
Somit wissen wir, dass an der Stelle x=0 ein Hochpunkt vorlieg (da f''(x)<0). Nun wollen wir noch den y-Wert des Hochpunktes berechnen, also setzen wir den x-Wert des Hochpunktes einfach in die Funktion ein:
f(0)=0
Somit ist (0/0) ein Hochpunkt.
Und bei den Wendepunkten geht das ganz ähnlich, vielleicht versuchst du das jetzt mal selber und postest deine Ansätze und ggf. Probleme hier.
Viele Grüße
Bastiane
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