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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Mi 10.09.2014 | | Autor: | Alexsi |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x)= 4 + 5e^-2x - 4e^-0,5x.
Die Funktion beschreibt den Bestand von Bergziegen in einer Alpenregion.
x: Zeit in Jahren, f(x): Ziegenbestand in Tausend.
a.) Wie groß ist der Anfangsbestand und wie entwickelt er sich?
b.) Berechnen Sie den Extremalpunkt und den Wendepunkt von f. Erläutern Sie die Bedeutung dieser Werte für den Tierbestand.
c.) Welchen Inhalt hat die Fläche A unter dem Graphen von f über dem Intervall I=[0; 10]? Welche Bedeutung hat der Term [mm] \bruch{1}{10}\integral_{0}^{10}{f(x) dx}? [/mm] |
Hallo!
Bei meiner Frage geht es um die Teilaufgabe b.
Ich habe die Ableitungen bereits gebildet:
f'(x)= -10e^-2x + 2e^-0,5x
f''(x)= 20e^-2x - e^-0,5x
f'''(x)= -40e^-2x + 0,5e^-0,5x
Wenn ich den Extremalpunkt berechne, muss ich (1) die erste Ableitung gleich 0 setzen und (2) den errechneten Wert einsetzen, um die y-Koordinate zu erhalten. Anschließend (3) setze ich den x-Wert in f'' ein, um zu überprüfen, ob es sich um ein Minimum oder Maximum handelt. Schritt (1) und (2) wiederhole ich für den Wendepunkt mit der zweiten Ableitung, wobei wie in (3) den Wert in f''' einsetze, um festzustellen, um welche Art von Wendepunkt es sich handelt.
Soweit die Theorie. Leider habe ich große Probleme mit der Umstellung von Gleichungen.
Meine Frage ist, ob jemand die Gleichung 0= -10e^-2x + 2e^-0,5x für mich mit allen Rechenschritten auflösen könnte? Dann müsste ich mit den anderen analog verfahren können?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Danke vorab und liebe Grüße :)!
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Hallo Alexsi und erst einmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Gegeben ist die Funktion f(x)= 4 + 5e^-2x - 4e^-0,5x.
Setze besser Klammern um die Exponenten, am besten geschweifte, also etwa
e^{2x} für [mm]e^{2x}[/mm]
> Die Funktion beschreibt den Bestand von Bergziegen in einer
> Alpenregion.
> x: Zeit in Jahren, f(x): Ziegenbestand in Tausend.
>
> a.) Wie groß ist der Anfangsbestand und wie entwickelt er
> sich?
> b.) Berechnen Sie den Extremalpunkt und den Wendepunkt von
> f. Erläutern Sie die Bedeutung dieser Werte für den
> Tierbestand.
> c.) Welchen Inhalt hat die Fläche A unter dem Graphen von
> f über dem Intervall I=[0; 10]? Welche Bedeutung hat der
> Term [mm]\bruch{1}{10}\integral_{0}^{10}{f(x) dx}?[/mm]
> Hallo!
>
> Bei meiner Frage geht es um die Teilaufgabe b.
>
> Ich habe die Ableitungen bereits gebildet:
> f'(x)= -10e^-2x + 2e^-0,5x ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> f''(x)= 20e^-2x - e^-0,5x
> f'''(x)= -40e^-2x + 0,5e^-0,5x
>
> Wenn ich den Extremalpunkt berechne, muss ich (1) die erste
> Ableitung gleich 0 setzen und (2) den errechneten Wert
> einsetzen, um die y-Koordinate zu erhalten. Anschließend
> (3) setze ich den x-Wert in f'' ein, um zu überprüfen, ob
> es sich um ein Minimum oder Maximum handelt. Schritt (1)
> und (2) wiederhole ich für den Wendepunkt mit der zweiten
> Ableitung, wobei wie in (3) den Wert in f''' einsetze, um
> festzustellen, um welche Art von Wendepunkt es sich
> handelt.
>
> Soweit die Theorie. Leider habe ich große Probleme mit der
> Umstellung von Gleichungen.
> Meine Frage ist, ob jemand die Gleichung 0= -10e^-2x +
> 2e^-0,5x für mich mit allen Rechenschritten auflösen
> könnte? Dann müsste ich mit den anderen analog verfahren
> können?
Na, ich mache zumindest mal einen Anfang, den du sicher zuende rechnen kannst ...
Der "Zaubertrick" heißt hier "Ausklammern"
[mm]-10e^{-2x}+2e^{-0,5x}=0[/mm]
Klammere zB. [mm]2e^{-0,5x}[/mm] aus ...
[mm]\gdw 2e^{-0,5x}\cdot{}\left[-5e^{-1,5x}+1\right]=0[/mm]
Nun ist ein Produkt genau dann =0, wenn (mindestens) einer der Faktoren =0 ist
Also [mm]2e^{-0,5x}=0 \ \ \text{oder} \ -5e^{-1,5x}+1=0[/mm]
Nun ist [mm]2e^{-0,5x}[/mm] sicher [mm]\neq 0[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm], bleibt:
[mm]-5e^{-1,5x}+1=0[/mm]
Und das kriegst du bestimmt hin ...
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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> Danke vorab und liebe Grüße :)!
Zurück und sorry, dass es etwas gedauert hat, aber meine Frau hat eben angerufen. Unsere Kleine hat heute das erste Mal in der KiTa über Mittag geschlafen ...
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Mi 10.09.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Alexsi und !
Ausklammern ist hier nicht notwendig. Ich schlage folgendes vor:
[mm] -10*e^{-2x}+2*e^{-\frac{1}{2}x}\overset{!}{=}0
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2*e^{-\frac{1}{2}x}=10*e^{-2x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \ln(2*e^{-\frac{1}{2}x})=\ln(10*e^{-2x})
[/mm]
[mm] \overset{\text{Log.-gesetze}}{\Rightarrow}\ln(2)+\ln(e^{-\frac{1}{2}x})=\ln(10)+\ln(e^{-2x})
[/mm]
[mm] \Rightarrow \ln(2)-\frac{1}{2}x=\ln(10)-2x
[/mm]
[mm] \Rightarrow\ldots
[/mm]
Den Rest schaffst du sicher selber. Zur Vereinfachung verwende
[mm] \ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b).
[/mm]
Gruß
DieAcht
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Hallo nochmal,
in der Tat geht es mit Umstellen noch schneller.
Wenn du in der Antwort von dieAcht noch vor der Anwendung des [mm]\ln[/mm] die [mm]e[/mm]-Terme auf die eine und die "nackten" Terme auf die andere Seite bringst, bist du noch schneller und fehlerunanfälliger am Ziel:
[mm]2\cdot{}e^{-\frac{1}{2}x}=10\cdot{}e^{-2x} \ \mid :2 \ \text{und} \ \cdot{}e^{2x}[/mm]
[mm]\gdw e^{1,5x}=5[/mm]
Nun [mm] $\ln$ [/mm] auf die Gleichung loslassen
...
Gruß
schachuzipus
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