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Hi Leser,
für mich kleinen Schüler eine große - für manchen Matheinteressenten sicherlich eine ganz kleine Frage:
Kann ich eine Funktion f(x) bestimmen, wenn mir ein TEP (6/4), der x-Wert des MIN: 2 und ein dritter Punkt (0/7) gegeben ist?
Schonmal ein großes Dankeschön im vorraus 
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Was ist ein TEP? Meinst du Tiefpunkt?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathechobo,
auch Dir hier ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Um was für eine Art Funktion soll es sich denn bei $f(x)$ handeln?
Eine ganzrationale Funktion (= Polynom)?
Welchen Grades soll denn diese Funktion sein?
(Die quadratische Funktion [mm] $y=a*x^2+b*x+c$ [/mm] hat z.B. den Grad 2.)
Sieh' doch nochmal in Deiner Aufgabenstellung nach, ob dort derartiges steht ...
Grüße
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Mathechobo |
TEP = Terrassenpunkt
Hmm.... ich hab nur ne Zeichnung...müsste eine Funktion 3. Grades sein ^_^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathechobo!
Gar keine eigenen Ideen / Lösungsansätze?
Das gehört hier nämlich zu unseren Forenregeln ...
Hier mal einige Ansätze:
Wir haben also eine Funktion 3. Grades. Die hat folgende allgemeine Darstellung:
$f(x) = [mm] a*x^3\;+\;b*x^2\;+\;c*x\;+\;d$
[/mm]
Für die Berechnung benötigen wir noch die 1. Ableitung:
$f'(x) = [mm] 3*a*x^2\;+\;2*b*x\;+\;c$
[/mm]
Wir haben ja vorgegeben, daß z.B. der Punkt $P(0|7)$ auf der Kurve liegen soll. Es muß also gelten: $f(0) = [mm] a*0^3+b*0^2+c*0+d [/mm] = d = 7$
Genauso machen wir das mit dem Punkt $TEP(6|4)$ ...
Zudem wissen wir, daß ein Terrassenpunkt (ich interpretiere dies' mal als Sattelpunkt) eine horizontale Tangente hat. Es gilt also:
$f'(6) = [mm] 3*a*6^2 [/mm] + 2*b*6 +c = 108a + 12b + c = 0$
Ähnlich sieht es für die Stelle [mm] $x_{Min} [/mm] = 2$ aus, an der ebenfalls eine horizontale Tangente vorliegt: $f'(2) = 0 = ...$
Auf diese Weise erhalten wir ein (lineares) Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten.
Dies' mußt Du nun nach bekannten(?) Verfahren auflösen, um Deine gesuchten Größen $a$, $b$, $c$ und $d$ zu finden.
Kommst Du nun alleine weiter? Probier's mal und teile uns doch Deine (Zwischen-)Ergebnisse mit, wenn Du möchtest ...
Grüße
Loddar
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Hi Loddar,
ersteinmal sorry, dass ich keine Ansätze gemacht habe, aber ich stand anfangs vor der Aufgabe wie der Ochs vorm Berg...
Durch deine Hilfe gehts jetzt schon um einiges besser! Besten Dank !
Ein kleines Problem mit dem Auflösen des Gleichungssystem hätt ich jedoch noch:
1. 12a+4b+c=0
2. 108a+12b+c=4
3. 216a+36b+6c=0
Wenn ich jetzt die 2. Gleichung mal 3 nehme und diese dann von der 3. abziehe, um so das b rausfallen zu lassen, bekomme ich 3c=108a [mm] \gdw [/mm] c=36a
Das in die 1. Gleichung eingesetzt 12a+4b+36a=0 [mm] \gdw [/mm] b=-12a
b und c in der 3. Gleichung 216a+36*(-12a)+6*36a [mm] \gdw [/mm] 216a-432a+216a [mm] \gdw [/mm] 0 (a=0?)
Wenn a=0, dann wird b und c automatisch auch 0 und es würde im Endeffekt d=7 [mm] \gdw [/mm] f = 7 bleiben?, das haut doch nicht hin oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:00 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Youri |
N'Abend Mathechombo!
> ersteinmal sorry, dass ich keine Ansätze gemacht habe, aber
> ich stand anfangs vor der Aufgabe wie der Ochs vorm Berg...
Schön, dass Du Dir Mühe gibst
> Ein kleines Problem mit dem Auflösen des Gleichungssystem
> hätt ich jedoch noch:
>
> 1. 12a+4b+c=0
> 2. 108a+12b+c=4
> 3. 216a+36b+6c=0
Bist Du DIr denn wegen der Gleichungen sicher?
[mm]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/mm]
[mm]f'(x)=3ax^2+2bx+c[/mm]
[mm]f''(x)=6ax+2b[/mm]
>>Genauso machen wir das mit dem Punkt $ TEP(6|4) $ ...
I.[mm]f(6)=216a+36b+6c+d=4[/mm]
II.[mm]f'(6)= 108a + 12b + c = 0 [/mm]
III. [mm]f'(2)=12a+4b+c=0[/mm]
IV. [mm] d=7 [/mm]
Da habe ich doch ein paar kleine Abweichungen von Deinen Lösungen.
Wenn Du nun die Lösung für [mm]d [/mm] in die erste Gleichung einsetzt, erhälst Du folgendes System:
[mm]216a+36b+6c=-3[/mm]
[mm]\wedge 108a + 12b + c = 0 [/mm]
[mm]\wedge 12a+4b+c=0[/mm]
Zum Lösen eines solchen Systems, solltest Du am besten ganz systematisch vorgehen.
Ziel ist es, die Gleichungen so "zu addieren", dass Du eine Gleichung mit einer Unbekannten, eine mit zwei und eine mit drei Unbekannten hast - dann kannst Du nämlich die Werte dieser drei bestimmen.
Beispielsweise könntest Du in diesem Fall das [-1)fache der dritten Gleichung zur zweiten addieren, und das (-6)fache der Dritten zur Ersten - so dass in den ersten beiden Gleichungen die Variable [mm]c[/mm] entfällt.
[mm]134a+8b=-3[/mm]
[mm] \wedge[/mm] [mm]96a + 8b = 0 [/mm]
[mm] \wedge[/mm] [mm]12a+4b+c=0[/mm]
Wie praktisch - wenn Du nun das (-1)fache der 2. Gleichung zur 1. addierst, sollte auch noch [mm]b [/mm] wegfallen -
und dann kannst Du Deine Variablen bestimmen.
Das scheint aber eine recht "krumme" Angelegenheit zu werden.
Aber der Weg stimmt
Vorsicht mit Deinen Rückschlüssen -
> Wenn ich jetzt die 2. Gleichung mal 3 nehme und diese dann
> von der 3. abziehe, um so das b rausfallen zu lassen,
> bekomme ich 3c=108a [mm]\gdw[/mm] c=36a
>
> Das in die 1. Gleichung eingesetzt 12a+4b+36a=0 [mm]\gdw[/mm]
> b=-12a
>
> b und c in der 3. Gleichung 216a+36*(-12a)+6*36a [mm]\gdw[/mm]
> 216a-432a+216a [mm]\gdw[/mm] 0 (a=0?)
Du bekommst hier als Ergebnis [mm]0=0[/mm].
Das ist aber keineswegs gleichbedeutend mit der Aussage [mm]a=0[/mm] - [mm]a[/mm] könnte hiernach genausogut 5,10,1.000.000 sein, die Aussage [mm]0=0 [/mm] bleibt davon unberührt.
Dieses Ergebnis gibt keine Auskunft über Dein gesuchtes [mm]a[/mm] und ist "unbrauchbar".
Vermeiden kannst Du das bei eindeutig lösbaren Gleichungssystemen, wenn Du Dich wirklich um eine systematische Vorgehensweise bemühst - also Vielfache einer Gleichung zu den anderen beiden addieren, um die erste Variable verschwinden lassen. Dann die geschrumpften Gleichungen geschickt addieren - so, dass eine weitere Variable in einer Gleichung entfällt. Dann kann es Dir nicht passieren, dass Du im Kreis rechnest und zu der von Dir erzielten "Nullaussage" gelangst.
Hoffe, die Nacht hat meinen Blick nicht sehr getrübt -
Dir viel Erfolg weiterhin -
Andrea
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