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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Extrema
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Extrema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Do 14.08.2008
Autor: meep

Aufgabe
Sei f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] definiert durch f(x,y) = [mm] x^3 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - 6xy +6x +3y. Bestimmen Sie die Extrema und Sattelpunkte von f.

hi,

ich habe dass nun so gelöst:

1. Bilden der partiellen Ableitungen:

[mm] f_{x} [/mm] = [mm] 3x^2-6y+6 [/mm]

[mm] f_{y} [/mm] = 2y - 6x +3

diese dann 0 setzen ergibt:

[mm] 3x^2 [/mm] - 6y+6 = 0

2y - 6x +3 = 0

dann habe ich durch lösen des LGS

[mm] x_{1} [/mm] = 5 und [mm] x_{1} [/mm] = 1 herausbekommen

und für die y-Werte dann

[mm] y_{1} [/mm] = 13,5 und [mm] y_{2} [/mm] = 1,5

Also: (5;13,5) und (1;1,5)

Nun habe ich zur Bestimmung der Art des Extrema nochmals differenziert:

[mm] f_{xx} [/mm] = 6x und [mm] f_{yy} [/mm] = 2

[mm] f_{xx} [/mm] * [mm] f_{yy} [/mm] = [mm] f_{xx}(5;13,5) [/mm] * [mm] f_{yy}(5;13,5) [/mm] = 60

und das war größer als [mm] [f_{xy}]^2 [/mm] , da [mm] f_{xy}(5;13,5) [/mm] = -6 und [mm] [f_{xy}(5;13,5)]^2 [/mm] = 36

Also habe ich an dieser Stelle ein Minimum oder ?

beim 2ten Punkt bin ich analog vorgegangen und habe da

[mm] f_{xx}(1;1,5) [/mm] * [mm] f_{yy}(1;1,5) [/mm] = 12 < 36 = [mm] [f_{xy}(1;1,5)]^2 [/mm]

Also habe ich an der Stelle (1;1,5) einen Sattelpunkt ?

Wäre nett wenn einer drüberschauen könnte und mir sagt obs richtig oder falsch ist.

mfg

meep



        
Bezug
Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:58 Do 14.08.2008
Autor: XPatrickX


> Sei f: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] definiert durch f(x,y) = [mm]x^3[/mm] + [mm]y^2[/mm] -
> 6xy +6x +3y. Bestimmen Sie die Extrema und Sattelpunkte von
> f.
>  hi,

hey

>  
> ich habe dass nun so gelöst:
>  
> 1. Bilden der partiellen Ableitungen:
>  
> [mm]f_{x}[/mm] = [mm]3x^2-6y+6[/mm]
>  
> [mm]f_{y}[/mm] = 2y - 6x +3
>  

[ok]

> diese dann 0 setzen ergibt:
>  
> [mm]3x^2[/mm] - 6y+6 = 0
>  
> 2y - 6x +3 = 0
>  
> dann habe ich durch lösen des LGS
>
> [mm]x_{1}[/mm] = 5 und [mm]x_{1}[/mm] = 1 herausbekommen
>
> und für die y-Werte dann
>
> [mm]y_{1}[/mm] = 13,5 und [mm]y_{2}[/mm] = 1,5
>  
> Also: (5;13,5) und (1;1,5)
>  

[ok]

> Nun habe ich zur Bestimmung der Art des Extrema nochmals
> differenziert:
>  
> [mm]f_{xx}[/mm] = 6x und [mm]f_{yy}[/mm] = 2
>  

[ok]

> [mm]f_{xx}[/mm] * [mm]f_{yy}[/mm] = [mm]f_{xx}(5;13,5)[/mm] * [mm]f_{yy}(5;13,5)[/mm] = 60
>  
> und das war größer als [mm][f_{xy}]^2[/mm] , da [mm]f_{xy}(5;13,5)[/mm] = -6
> und [mm][f_{xy}(5;13,5)]^2[/mm] = 36
>  

Ok, also du überprüfst die Hesse-Matrix auf ihre Definitheit. Es ist detHess(5|13,5) >0, das stimmt. Das reicht aber noch nicht zu sagen, dass die Matrix positiv definit ist. Zusätzlich muss noch der Eintrag oben links, also [mm] a_{11} [/mm] >0 sein. Da dies hier der Fall ist liegt dort ein Minimum vor.


> Also habe ich an dieser Stelle ein Minimum oder ?
>  
> beim 2ten Punkt bin ich analog vorgegangen und habe da
>
> [mm]f_{xx}(1;1,5)[/mm] * [mm]f_{yy}(1;1,5)[/mm] = 12 < 36 =
> [mm][f_{xy}(1;1,5)]^2[/mm]
>  
> Also habe ich an der Stelle (1;1,5) einen Sattelpunkt ?
>  

Ein Sattelpunkt liegt vor, falls die Hessematrix indefinit ist. Das ist sie hier auch. Aber es reicht hier m.E. nicht zu zeigen, dass die Determinante kleiner 0 ist.


> Wäre nett wenn einer drüberschauen könnte und mir sagt obs
> richtig oder falsch ist.
>  
> mfg
>  

> meep
>  
>  

Grüße Patrick

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