Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Fr 07.10.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | | Extrema im [mm] \IR^n [/mm] |
Hi Leute, rechne n paar Aufgaben für die Klausur durch und ich weiß nicht so ganz ob ich das mit den Extremstellen verstanden hab. Korrigiert mich wenn ich falsch liege:)
Wenn man ganz normale Funktionen hat, z.b. [mm] f(x,y)=x^2+(2-x)^3y^2 [/mm] und es sind die lokalen Extrema gesucht, dann bildet man den Gradienten und setzt diesen gleich null. Dann löst man das Gleichungssystem und erhält dann kritische Stellen. Dann bildet man die Hessematrix (2.Ableitung) und setzt da die kritischen Punkte ein. Dann berechnet man die Determinante, um herauszufinden ob sie positiv, oder negativ definit ist oder semidefinit oder indefinit...dann weiß man, dass die Funktion an den kritischen Stellen ein lokales Max. oder Min. hat. Soweit müsste das richtig sein...
Und wie berechnet man globale Extrema? Braucht man dazu eine Menge bzw. einen Definitionsbereich?
Gruß David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Fr 07.10.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Extrema im [mm]\IR^n[/mm]
> Hi Leute, rechne n paar Aufgaben für die Klausur durch
> und ich weiß nicht so ganz ob ich das mit den
> Extremstellen verstanden hab. Korrigiert mich wenn ich
> falsch liege:)
> Wenn man ganz normale Funktionen hat, z.b.
> [mm]f(x,y)=x^2+(2-x)^3y^2[/mm] und es sind die lokalen Extrema
> gesucht, dann bildet man den Gradienten und setzt diesen
> gleich null.
ja.
> Dann löst man das Gleichungssystem und
> erhält dann kritische Stellen.
ja.
> Dann bildet man die
> Hessematrix (2.Ableitung) und setzt da die kritischen
> Punkte ein. Dann berechnet man die Determinante, um
> herauszufinden ob sie positiv, oder negativ definit ist
> oder semidefinit oder indefinit...dann weiß man, dass die
> Funktion an den kritischen Stellen ein lokales Max. oder
> Min. hat. Soweit müsste das richtig sein...
Nur die Determinante der Hessematrix zu bestimmen, genügt nicht. Du kannst das Hauptminorenkriterium anwenden; dann musst du aber alle Hauptunterdeterminanten berechnen.
> Und wie berechnet man globale Extrema? Braucht man dazu eine Menge bzw. einen Definitionsbereich?
In der Optimierung ist es einfacher lokale Extrema zu finden.
Ist f zum Beispiel konvex, dann ist jedes lokale Minimum ein globales Minimum.
f ist konvex, wenn die Hessematrix positiv semidefinit ist.
Ein lokales Maximum einer konkaven Funktion ist ein globales Maximum
> Gruß David
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Fr 07.10.2011 | | Autor: | David90 |
ok ein paar Fragen: 1. Was ist das Hauptminorenkriterium? Diesen Begriff hab ich noch nie gehört :O
2. Es leuchtet mir ein, dass bei einer konvexen Menge alle lokalen Minima auch globale Minima sind, gilt das auch für die Maxima?
3. Wie kann denn die Hesse-Matrix denn positiv semidefinit sein? Dachte es gibt nur definit (positiv oder negativ, kommt auf die Eigenwerte an), indefinit bei mindestens einem positiven und negativen Eigenwert und semidefinit, bei 0. Ich bring das immer durcheinander, sagen nun die Eigenwerte oder die Determinante etwas über die Definitheit aus?
4. Was ist konkav?:(
Gruß David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Fr 07.10.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> ok ein paar Fragen: 1. Was ist das Hauptminorenkriterium?
> Diesen Begriff hab ich noch nie gehört :O
hier ein Link: Siehe (insbesondere) Seite 4 im ![[]](/images/popup.gif) PDF (Beispiel folgt auf den Satz!)
Oder mal im Fischer (Lineare Algebra) nachschlagen. Die entsprechende Seite ist auch über Google-Books zu finden.
> 2. Es leuchtet mir ein, dass bei einer konvexen Menge alle
> lokalen Minima auch globale Minima sind, gilt das auch für
> die Maxima?
Ist f konkav (siehe Frage 4), dann ist jedes lokale Maximum ein globales Maximum.
Wenn f auf dem kompletten Definitionsbereich konvex ist, wirst du kein lokales Maximum finden, sonst wäre die Konvexität verletzt!
> 3. Wie kann denn die Hesse-Matrix denn positiv semidefinit
> sein? Dachte es gibt nur definit (positiv oder negativ,
> kommt auf die Eigenwerte an), indefinit bei mindestens
> einem positiven und negativen Eigenwert und semidefinit,
> bei 0. Ich bring das immer durcheinander, sagen nun die
> Eigenwerte oder die Determinante etwas über die
> Definitheit aus?
Du kannst die Definitheit entweder über die Eigenwerte oder das Hauptminorenkriterium bestimmen. Vorsicht: Das Hauptminorekriterium ist kein Kriterium für Semidefinitheit.
Positiv semidefinit, wenn [mm]x^T*H\cdot{x}\ge{0}, \ \ \forall \ x\not=0[/mm]
> 4. Was ist konkav?:(
f ist konkav, wenn -f konvex. [mm] -x^2 [/mm] ist zum Beispiel konkav.
> Gruß David
Gruß
barsch
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