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Extrema E-Funktion: Extremstellen einer best. E-Fk
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:43 Sa 02.02.2013
Autor: WSparrow

Aufgabe
Man bestimme die Extrema folgender Funktion.

[mm] f(x)=e^{x^2}-e^x [/mm]

Natürlich habe ich bereits die Ableitung bestimmt:

[mm] f'(x)=2xe^{x^2}-e^x [/mm]

Das stellt für mich auch kein Problem dar. Jetzt muss ich die Funktion ja null setzen, um auf die Extremstellen zu kommen, d.h.

[mm] 2xe^{x^2}-e^x [/mm] = 0

Dann löse ich auf und bis dahin bin ich gekommen:

[mm] 2x*e^{x^2}-e^x [/mm] = 0  [mm] /-e^x [/mm]
[mm] 2xe^{x^2} [/mm] = [mm] e^x [/mm] / ln
[mm] [ln(2)+ln(x)]*x^2 [/mm] = x / [mm] /x^2 [/mm]
ln(2)+ln(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm]

leider weiß ich nun nicht wie ich weiter machen soll, denn am Ende bleibt mir m.E. das ln(x) übrig, was mich ein wenig stutzig macht. Laut Zeichnung besitzt die Funktion allerdings eine Nullstelle bei ca. 0,6

Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen ;)

Liebe Grüße =)

        
Bezug
Extrema E-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:52 Sa 02.02.2013
Autor: Diophant

Hallo,

deine Vorgehensweise ist nicht falsch, nur: sie ist von vornherein zum Scheitern verurteilt, zumindest was eine analytische Lösung angeht. Sprich: die Nullstelle deiner Ableitung kann man nicht analytisch berechnen, zumindest nicht mit den i.a. als elementar bezeichneten Mitteln.

Es gibt theoretisch zwei Möglichkeiten wie du weiterkommst:

-  entweder ihr dürft den GTR verwenden
-  oder es ist angedacht, die Extremstelle mitteln eines geeignten Näherungsverfahrens wie bspw. dem Newton-Verfahren zu approximieren.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Extrema E-Funktion: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 12:04 Sa 02.02.2013
Autor: WSparrow

Na dann konnte das ja nichts werden. Wir hatten in der Vorlesung nur ein Verfahren, mit dem man zumindest die Existenz einer Extremstelle nachweisen kann. Hier steht leider nur eine Formel:

[mm] f(x_m) \le [/mm] f(x) [mm] \le (x_M) [/mm] x [mm] \in [/mm] [a,b]

nur leider weiß ich damit nichts anzufangen und eigentlich lautete ja auch die Aufgabe, dass man die Extrema bestimmen soll.
Echt seltsam...
Wie könnte man denn zumindest die Existenz der Extremstelle ermitteln, damit man wenigstens das hat?

Bezug
                        
Bezug
Extrema E-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:31 Sa 02.02.2013
Autor: Diophant

Hallo,

ich habe mich vertan, lies mal die Antwort von abakus durch, da ist die Vorgehensweise angedeutet.

EDIT: nein, abakus hat auch etwas übersehen, aktueller Stand ist die Antwort von Loddar. :-)


Gruß, Diophant

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Bezug
Extrema E-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:21 Sa 02.02.2013
Autor: abakus


> Man bestimme die Extrema folgender Funktion.
>  
> [mm]f(x)=e^{x^2}-e^x[/mm]
>  Natürlich habe ich bereits die Ableitung bestimmt:
>  
> [mm]f'(x)=2xe^{x^2}-e^x[/mm]
>  
> Das stellt für mich auch kein Problem dar. Jetzt muss ich
> die Funktion ja null setzen, um auf die Extremstellen zu
> kommen, d.h.
>  
> [mm]2xe^{x^2}-e^x[/mm] = 0
>
> Dann löse ich auf und bis dahin bin ich gekommen:
>  
> [mm]2x*e^{x^2}-e^x[/mm] = 0  [mm]/-e^x[/mm]
>  [mm]2xe^{x^2}[/mm] = [mm]e^x[/mm] / ln
>  [mm][ln(2)+ln(x)]*x^2[/mm] = x

Stopp!
Diese Gleichung gilt offensichtlich für x=0.

Gruß Abakus

> / [mm]/x^2[/mm]
>  ln(2)+ln(x) = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>  
> leider weiß ich nun nicht wie ich weiter machen soll, denn
> am Ende bleibt mir m.E. das ln(x) übrig, was mich ein
> wenig stutzig macht. Laut Zeichnung besitzt die Funktion
> allerdings eine Nullstelle bei ca. 0,6
>  
> Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen ;)
>  
> Liebe Grüße =)


Bezug
                
Bezug
Extrema E-Funktion: Fehler übersehen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:07 Sa 02.02.2013
Autor: Loddar

Hallo abakus!


> > [mm]2x*e^{x^2}-e^x[/mm] = 0  [mm]/-e^x[/mm]
> > [mm]2xe^{x^2}[/mm] = [mm]e^x[/mm] / ln
> > [mm][ln(2)+ln(x)]*x^2[/mm] = x
> Stopp!

Genau [stop] !

Hier wurde bei der Umformung bereits ein Fehler gemacht (siehe hier).



>  Diese Gleichung gilt offensichtlich für x=0.

Das wird allein schon schwierig wegen des Terms [mm]\ln(x)[/mm] . ;-)
Und auch die Ausgangsgleichung beim Nullsetzen der 1. Ableitung wird durch [mm]x \ = \ 0[/mm] nicht erfüllt.



Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Extrema E-Funktion: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Sa 02.02.2013
Autor: Loddar

Hallo WSparrow!


> [mm]2x*e^{x^2}-e^x[/mm] = 0  [mm]/-e^x[/mm]
>  [mm]2xe^{x^2}[/mm] = [mm]e^x[/mm] / ln
>  [mm][ln(2)+ln(x)]*x^2[/mm] = x

[notok] ... hier unterläuft Dir ein Fehler bei der Anwendung der MBLogarithmusgesetze.

Es gilt auf der linken Seite der Gleichung:

[mm] $\ln\left[2x*e^{x^2} \ \right] [/mm] \ = \ [mm] \ln(2x) [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] \ln\left( \ e^{x^2} \ \right) [/mm] \ = \ [mm] \ln(2)+\ln(x) [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] x^2$ [/mm]

Aber das macht die Aufgabe bezüglich der elementaren Lösbarkeit auch nicht besser.


Gruß
Loddar


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