Extrema Wendepunkt < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Mo 05.05.2008 | | Autor: | demjan |
Hab ne AUfgabe bei der ich gerade hadere also:
gegeben sei die FUnktion f von x = [mm] x^4 [/mm] + [mm] 2x^3 [/mm] - [mm] 12a^2x^2
[/mm]
Der Paramet a soll so gewählt werden , dass f an der STelle x = 1 einen Wendepunkt besitzt . Handelt es sich dann um einen Sattelpunkt? Gibt es darüber hinaus einen weiteren Wendepunkt??
ALso ich muss da die zweite Ableitung machen und die mit x= 1 gleich setzen und nach a auflösen oder wie soll ich da vorgehen??
Danke im Vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Mo 05.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Nein, die 2. Ableitung muß für x=1 den Wert 0 liefern
Fred
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Mo 05.05.2008 | | Autor: | demjan |
Ja da kommt doch aber nicht 0 raus!!
sonder 24 -24 [mm] a^2
[/mm]
kommt dann als ergebniss a=1 oder??
Wie soll ich da vorgehen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Mo 05.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast:
[mm] f(x)=x^{4}+2x^{3}-12a^2x^2
[/mm]
[mm] f''(x)=4x^{3}+6x^{2}-24a²x
[/mm]
[mm] f''(x)=12x^{2}+12x-24a²
[/mm]
[mm] f'''(x)=24x^{}+12
[/mm]
Und jetzt sollst du das a bestimmen, so dass f''(1)=0
Also: [mm] 12*1^{2}+12*1-24a²=0
[/mm]
[mm] \gdw a^{2}=1
[/mm]
[mm] \gdw a=\pm1
[/mm]
Notwendig für einen Wendepunkt ist [mm] f'''(1)\ne0, [/mm] was hier aber erfüllt ist [mm] (24*1+12\ne0)
[/mm]
Jetzt bestimme mal die genauenKoordinaten des Wendepunktes [mm] W(\green{1}/f_{\red{1}}(\green{1}))
[/mm]
[mm] f_{\red{1}}(\green{1})=\green{1}^{4}+2*(\green{1})^{3}-12(\red{1})^2(\green{1})^2=...
[/mm]
Interessant ist noch die Frage, ob es ein Sattelpunkt ist.
Dazu müsste [mm] f_{\red{1}}'(\green{1})=0 [/mm] sein.
Also prüfe, ob: [mm] 12(\green{1})²+12(\green{1})-24(\red{1})²=0
[/mm]
Ach ja: Eigentlich müsstest du noch prüfen, was für a=-1 gilt, aber das ist hier nicht nötig (Warum?)
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Mo 05.05.2008 | | Autor: | demjan |
Und wie kann ich jetzt gucken ob es noch weitere Wendepunkte hat??
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Hi,
> Und wie kann ich jetzt gucken ob es noch weitere
> Wendepunkte hat??
>
>
Setzte einfach die 2.Abelitung 0 [mm] (f_{a}''(x)=0) [/mm] und bestimme die Kandidaten wo mögliche Wendepunkte auftreten können.
Setze dann die gefundenen Kandidaten in die dritte Ableitung ein. Herauskommen muss eine Zahl [mm] \not=0. [/mm] Dann haben wir noch weitere Wendepunkte.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Mo 05.05.2008 | | Autor: | demjan |
Also ich habe da als mögliche Wendepunkte X1=2 und x2=-3
und in die dritte eingesetzt kommt da [mm] \bruch{5}{12} [/mm]
und andere x -0,625 kann das sein!!!
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Hi,
Es wäre für uns sehr viel einfacher wenn du deine komplette Rechnung postest so müssten wir das nicht noch einmal nachrrechnen. Wie bist du auf die Ergebnisse gekommen? Wo ist dein Parameter hin? Hast du a=1 gesetzt? Wenn ja dann ist das errechnete aber falsch. Nichtsdestotrotz sollst du das allgemein machen, also nichts für a einsetzen.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 Mo 05.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wir hatten ja
[mm] f_{a}''(x)=12x²+12x-24a²
[/mm]
Für einen Wendepunkt muss gelten: f''(x)=0
Also hier:
[mm] 12x^{2}+12x-24a²=0
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}+x-2a²=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{1;2}=-\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{1}{4}+2a²}
[/mm]
Was kannst du jetzt über a sagen, damit es überhaupt Wendestellen geben kann? Wann gibt es genau (nur) eine, wann gibt es zwei.
Marius
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