Extrema berechnen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Sa 05.07.2008 | | Autor: | vada |
| Aufgabe 1 | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Zahl und Art der relativen Extrema der Funktion
[mm] f(x,y)=x^2+y^2-1
[/mm]
Ich habe zuerst partiell nach x und y abgeleitet und gleich Null gesetzt.
---> x=0 und y=0
Dann habe ich die jeweils zweiten partiellen Ableitungen gebildet
---> beide sind 2, also >0, d.h. evtl. könnte ein Minimum vorliegen.
Nun muss doch noch die Gleichung
D(x,y)=f''(x)f"(y) - [mm] (Kreuzableitung)^2 [/mm] >0 sein.
Das ist auch erfüllt, denn 2x2-0=4 >=0, also liegt ein Minimum vor.
Ist es richtig, dass ich die Werte (x;y)=(0;0) nun noch in die Ausgangsfunktion f(x,y) einsetzten muss. Dann bekäme ich doch theoretisch eine weitere Stelle heraus. Handelt es sich dann um einen dreidimensionalen Raum, wir haben doch nur zwei Variablen??
Ich versteh das echt nicht. Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
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| Aufgabe 2 | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Zahl und Art der relativen Extrema der Funktion
[mm] f(x,y)=x^2+y^2-1
[/mm]
Ich habe zuerst partiell nach x und y abgeleitet und gleich Null gesetzt.
---> x=0 und y=0
Dann habe ich die jeweils zeiten partiellen Ableitungen gebildet
---> beide sind 2, also >0, d.h. evtl. könnte ein Minimum vorliegen.
Nun muss doch noch die Gleichung
D(x,y)=f''(x)f"(y) - [mm] (Kreuzableitung)^2 [/mm] >0 sein.
Das ist auch erfüllt, denn 2x2-0=4 >=0, also liegt ein Minimum vor.
Ist es richtig, dass ich die Werte (x;y)=(0;0) nun noch in die Ausgangsfunktion f(x,y) einsetzten muss. Dann bekäme ich doch theoretisch eine weitere Stelle heraus. Handelt es sich dann um einen dreidimensionalen Raum, wir haben doch nur zwei Variablen??
Ich versteh das echt nicht. Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
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> Hallo, ich habe ein Problem mit folgender
> Aufgabenstellung:
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> Bestimmen Sie die Zahl und Art der relativen Extrema der
> Funktion
>
> [mm]f(x,y)=x^2+y^2-1[/mm]
[...]
>
> Ist es richtig, dass ich die Werte (x;y)=(0;0) nun noch in
> die Ausgangsfunktion f(x,y) einsetzten muss. Dann bekäme
> ich doch theoretisch eine weitere Stelle heraus. Handelt es
> sich dann um einen dreidimensionalen Raum, wir haben doch
> nur zwei Variablen??
> Ich versteh das echt nicht. Würde mich freuen, wenn mir
> jemand helfen könnte.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Vergiß mal kurz Deine Aufgabe.
Wir gucken eine funktion an, die Du aus der Schule kennst:
g: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
[mm] g(x)=x^2+5.
[/mm]
Sie hat ein Minimum an der Stelle x=0.
Der Funktionswert an dieser Stelle ist f(0)=5, dien Koordinaten dieses Punktes sind (0/5).
Dh: wenn wir den graphen zeichnen wollen, gehen wir vom Nullpunkt 5 Einheiten in Richtung er y- Achse, also 5 nach oben.
Wollen wir den Funktionswert an der Stelle 2 wissen, rechnen wir f(2)=2²+5=9 und gehenvon der 2 auf der x-Achse 9 hoch.
Du hast nun in Deiner Aufgabe eine Funktion, die für alle Punkte der xy-Ebene definiert ist.
Tragen wir hier die Funktionswerte ein, so bewegen wir uns in z-Richtung, in die dritte Dimension. Der Graph dieser Funktionen ist ein "Gebirge" über der xy-Ebene, im konkreten Fall ein Paraboloid.
f(0/0)=-1 sagt Dir: -1 ist der Funktionswert, der zu (0/0) gehört. Weil bei (0/0) das Minimum ist, ist kein Funktionswert kleiner als -1.
Die Koordinaten dieses Punktes sind (0 / 0 / -1)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:31 Sa 05.07.2008 | | Autor: | vada |
Natürlich, wir bewegen uns auf einer Ebene. Vielen Dank für die super Erklärung. Hat mir sehr geholfen!
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