Extrema mit Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 So 26.08.2007 | | Autor: | loopi |
| Aufgabe | Man ermittle Maximum und Minimum von [mm]f(x,y,z)=xy+2z[/mm]
Nebenbedingung: [mm]x^2+xy+y^2+z^2=2[/mm] |
Hallo,
ich wollte obige Aufgabe mit dem Verfahren von Lagrange lösen. Dazu habe ich [mm]\nabla (f(x,y,z) + \lambda g(x,y,z) [/mm] mit
[mm]g(x,y,z)=x^2+xy+y^2+z^2-2=0[/mm] gerechnet und habe damit folgendes Gleichungssystem erhalten:
[mm]L_x = y + 2\lambda x + \lambda y[/mm]
[mm]L_y = x + 2\lambda y + \lambda x[/mm]
[mm]L_z = 2 + 2\lambda z [/mm]
[mm]L_{\lambda} = x^2+xy+y^2+z^2-2 [/mm]
Und jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Jeder Versuch, das Gleichungssystem zu lösen, bringt mir nur kompliziertere Gleichungssysteme, aber keine kritischen Punkte, bzw. gar keine Punkte. Kann mir jemand helfen, dieses Gleichungssystem zu lösen?
Danke
Gruß
loopi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 So 26.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo loopi!
> Man ermittle Maximum und Minimum von [mm]f(x,y,z)=xy+2z[/mm]
> Nebenbedingung: [mm]x^2+xy+y^2+z^2=2[/mm]
> Hallo,
>
> ich wollte obige Aufgabe mit dem Verfahren von Lagrange
> lösen. Dazu habe ich [mm]\nabla (f(x,y,z) + \lambda g(x,y,z)[/mm]
> mit
> [mm]g(x,y,z)=x^2+xy+y^2+z^2-2=0[/mm] gerechnet und habe damit
> folgendes Gleichungssystem erhalten:
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> [mm]L_x = y + 2\lambda x + \lambda y[/mm]
> [mm]L_y = x + 2\lambda y + \lambda x[/mm]
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> [mm]L_z = 2 + 2\lambda z[/mm]
> [mm]L_{\lambda} = x^2+xy+y^2+z^2-2[/mm]
>
> Und jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Jeder Versuch, das
> Gleichungssystem zu lösen, bringt mir nur kompliziertere
> Gleichungssysteme, aber keine kritischen Punkte, bzw. gar
> keine Punkte. Kann mir jemand helfen, dieses
> Gleichungssystem zu lösen?
Wenn du dir die ersten beiden Gleichungen betrachtest, siehst du, dass [mm]x=y=0[/mm] eine Lösung ist. Eingesetzt in die vierte Gleichung ergibt sich [mm]z^2=2[/mm] und damit die beiden Lösungen des Gesamtsystems:
1. [mm]x=0,y=0,z=\sqrt{2},\lambda=\bruch{-1}{\sqrt{2}}[/mm]
2. [mm]x=0,y=0,z=-\sqrt{2},\lambda=\bruch{1}{\sqrt{2}}[/mm]
OK, von jetzt an können wir annehmen, dass [mm]x\not=0,y\not=0[/mm], weil wir den anderen Fall schon erledigt haben.
Dann können wir die ersten beiden Gleichungen nach [mm]\lambda[/mm] auflösen:
[mm]\lambda = -2 \bruch{x}{y} -1[/mm]
[mm]\lambda = -2 \bruch{y}{x} -1 [/mm]
Setzen wir die beiden gleich, so ergibt sich
[mm]\bruch{x}{y} = \bruch{y}{x} [/mm] oder [mm]x^2=y^2[/mm], also entweder [mm]x=y[/mm] oder [mm]x=-y[/mm].
Ich rechne mal mit [mm]x=y[/mm] weiter und bekomme [mm]\lambda=-\bruch{1}{3}[/mm]. In die dritte Gleichung eingesetzt ergibt sich z=3, die vierte Gleichung ist nach Einsetzen [mm]3x^2+7=0[/mm], sodass ich insgesamt die folgenden Lösungen bekomme:
3. [mm]x=i\bruch{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}, y=i\bruch{\sqrt{7}}{\sqrt{3}},z=3,\lambda=-\bruch{1}{3}[/mm]
4. [mm]x=-i\bruch{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}, y=-i\bruch{\sqrt{7}}{\sqrt{3}},z=3,\lambda=-\bruch{1}{3}[/mm]
Wenn ich die gleiche Rechnung mit x=-y durchführe bekomme ich:
5. [mm] x=1,y=-1,z=-1,\lambda=1[/mm]
6. [mm] x=-1,y=1,z=-1,\lambda=1[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 So 26.08.2007 | | Autor: | loopi |
vielen Dank für die schnelle Antwort
entweder ist es heute schon zu spät für mich oder ich kann nicht mehr rechnen. Ich krieg, wenn ich die ersten beiden Gleichungen nach Lambda auflöse z.b. für die erste [mm]\lambda = \bruch{-y}{2x+y} = \bruch {-1}{2\bruch{x}{y}-1}[/mm]. Kannst Du mir den Rechenweg nochmal erklären?
Noch eine Frage bezüglich den stationären Punkten: Die beiden komplexen Ergebnisse brauch ich nicht zu berücksichtigen, oder?
Gruß
loopi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 So 26.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hi loopi,
> entweder ist es heute schon zu spät für mich oder ich kann
> nicht mehr rechnen. Ich krieg, wenn ich die ersten beiden
> Gleichungen nach Lambda auflöse z.b. für die erste [mm]\lambda = \bruch{-y}{2x+y} = \bruch {-1}{2\bruch{x}{y}-1}[/mm].
Sorry, du hast recht, mein Fehler. Ich habe beim Gleichsetzen einfach das Inverse genommen, also praktisch mit [mm]1/\lambda[/mm] gerechnet. Die Folgerung stimmt dann aber.
> Noch eine Frage bezüglich den stationären Punkten: Die
> beiden komplexen Ergebnisse brauch ich nicht zu
> berücksichtigen, oder?
Solange du nur nach reellen Lösungen suchst, brauchst du die nicht zu berücksichtigen.
Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 So 26.08.2007 | | Autor: | loopi |
Hallo Rainer,
vielen Dank für Deine Antworten, jetzt bin ich glücklich und kann weiterrechnen.
Grüße
loopi
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