Extrema mit Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Do 17.03.2011 | | Autor: | Lentio |
| Aufgabe | sei s die Funktion, die jedem Punkt [mm] Q={(x,y,z)^T \in R^3|x^2+y^2/4 +z^2/9=1}
[/mm]
den Abstand zum Nullpunkt zuordnet.
a) Ersetzen Sie s durch eine einfache Funktion f mit den selben Extrema, die Sie stattdessen betrachten.
b) finden Sie die lokalen Extrema von f. |
Hallo,
verstehe bei dieser Aufgabe nur Bahnhof :(!
zu a)
s gegeben durch: [mm] s_{x,y,z}=| \vektor{x \\ y\\ z}| =\wurzel{x^2+y^2+z^2}.
[/mm]
Durch Monotonie der Wurzelfunktion Term dann ma./minimal, wenn [mm] f=x^2+y^2+z^2 [/mm] ma./minimal ist. Zur weiteren Untesuchung wird f betrachtet.
b) Tjaja. Hier geht das Dilemma los.
Hauptbedingung [mm] f=x^2+y^2+z^2, [/mm] Nebenbedingung [mm] g_{x,y,z}=x^2+y^2/4 +z^2/9-1=0
[/mm]
[mm] grad_{f}=\lambda grad_{g}
[/mm]
Lgs:
[mm] 2x=2x*\lambda
[/mm]
[mm] 2y=y/2*\lambda
[/mm]
[mm] 2z=2*z/9*\lambda
[/mm]
[mm] x^2+y^2/4+z^2/9 [/mm] -1=0.
Wenn ich jetzt aber versuche aufzulösen, kommt überall 0 raus. Und das ist doch totaler Blödsinn. Was habe ich falsch gemacht?
mfg,
Lentio.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Do 17.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> sei s die Funktion, die jedem Punkt [mm]Q={(x,y,z)^T \in R^3|x^2+y^2/4 +z^2/9=1}[/mm]
>
> den Abstand zum Nullpunkt zuordnet.
> a) Ersetzen Sie s durch eine einfache Funktion f mit den
> selben Extrema, die Sie stattdessen betrachten.
> b) finden Sie die lokalen Extrema von f.
> Hallo,
>
> verstehe bei dieser Aufgabe nur Bahnhof :(!
>
> zu a)
> s gegeben durch: [mm]s_{x,y,z}=| \vektor{x \\ y\\ z}| =\wurzel{x^2+y^2+z^2}.[/mm]
>
> Durch Monotonie der Wurzelfunktion Term dann ma./minimal,
> wenn [mm]f=x^2+y^2+z^2[/mm] ma./minimal ist. Zur weiteren
> Untesuchung wird f betrachtet.
> b) Tjaja. Hier geht das Dilemma los.
> Hauptbedingung [mm]f=x^2+y^2+z^2,[/mm] Nebenbedingung
> [mm]g_{x,y,z}=x^2+y^2/4 +z^2/9-1=0[/mm]
>
> [mm]grad_{f}=\lambda grad_{g}[/mm]
> Lgs:
> [mm]2x=2x*\lambda[/mm]
> [mm]2y=y/2*\lambda[/mm]
> [mm]2z=2*z/9*\lambda[/mm]
> [mm]x^2+y^2/4+z^2/9[/mm] -1=0.
>
> Wenn ich jetzt aber versuche aufzulösen, kommt überall 0
> raus. Und das ist doch totaler Blödsinn. Was habe ich
> falsch gemacht?
Keine Ahnung, Du schreibst ja nicht was Du gemacht hast.
(1) [mm]2x=2x*\lambda[/mm]
(2) [mm]2y=y/2*\lambda[/mm]
(3) [mm]2z=2*z/9*\lambda[/mm]
(4) [mm]x^2+y^2/4+z^2/9[/mm] -1=0.
Fall 1: x [mm] \ne [/mm] 0. Dann folgt aus (1): [mm] \lambda [/mm] =1. Au s (2) und (3) bekommen wir: y=z=0. Und mit (4) folgt: [mm] x^2=1.
[/mm]
Hilft das als Anstoß ?
FRED
>
> mfg,
>
> Lentio.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Do 17.03.2011 | | Autor: | Lentio |
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Also muss man drei Möglichkeiten betrachten.
So ist für Fall x=0, aber z.B [mm] y\not=0 [/mm] :
[mm] 2y=y/2*\lambda
[/mm]
[mm] \lambda=4
[/mm]
daraus folgt z=x=0.
Aus (4) [mm] y^2=4?
[/mm]
Man kommt dann am Ende insgesammt auf 6 Punkte.
mfg,
Lentio
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Do 17.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die schnelle Antwort!
>
> Also muss man drei Möglichkeiten betrachten.
> So ist für Fall x=0, aber z.B [mm]y\not=0[/mm] :
>
> [mm]2y=y/2*\lambda[/mm]
> [mm]\lambda=4[/mm]
> daraus folgt z=x=0.
>
> Aus (4) [mm]y^2=4?[/mm]
>
> Man kommt dann am Ende insgesammt auf 6 Punkte.
Ja
FRED
>
> mfg,
>
> Lentio
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Do 17.03.2011 | | Autor: | Lentio |
Super Denkanstoß!!
mfg
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> sei s die Funktion, die jedem Punkt [mm]\ Q\ =\ \{\ (x,y,z)^T \in \IR^3\ \left|\ x^2+\frac{y^2}{4} +\frac{z^2}{9}\ =\ 1\ \} [/mm]
>
> den Abstand zum Nullpunkt zuordnet.
> a) Ersetzen Sie s durch eine einfache Funktion f mit den
> selben Extrema, die Sie stattdessen betrachten.
> b) finden Sie die lokalen Extrema von f.
Wahrscheinlich ist ja genau das gemeint, dass man
anstelle des Abstandes [mm] s=\sqrt{x^2+y^2+z^2} [/mm] dessen
Quadrat [mm] f(x,y,z):=s^2=x^2+y^2+z^2 [/mm] betrachten sool.
Dann ist aber die Aufgabe trotzdem falsch formuliert !
Die neue Funktion f (auf die Menge Q beschränkt) hat
nämlich keineswegs die gleichen Extrema (=Extremwerte)
wie s, sondern nur die gleichen lokalen Extremalstellen .
LG Al-Chw.
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