Extrema mit Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hey,
ich habe die Funktion [mm] f(x,y)=x*y^2 [/mm] unter der Nebenbedingung [mm] x^2+y^2=1. [/mm] Gesucht sind die lokalen Extrema von f.
Ich möchte diese Aufgabe jetzt nicht mit Lagrange-Multiplikatoren lösen, sondern, indem ich die Nebenbedingung parametrisiere.
Dann erhalte ich ja: t [mm] \mapsto \vektor{x(t) \\ y(t)} [/mm] = [mm] \vektor{cos(t) \\ sin(t)}, [/mm] da meine NB ja eine Kreisgleichung mit Radius 1 darstellt.
So, nun muss ich nach Skript die Gleichung lösen: F(t) = f(x(t),y(t)) = Extrem! sein.
Also bekomme ich: [mm] F(t)=f(cos(t),sin(t))=cos(t)*sin^2(t).
[/mm]
Jetzt habe ich ja eine Funktion abhängig von t, müsste die ableiten und gleich Null setzen.
Also: [mm] F'(t)=-sin(t)*sin^2(t)+cos(t)*2*cos(t)*sin(t).
[/mm]
Das lässt sich noch etwas zusammenfassen und gleich Null setzen:
[mm] -sin(t)*(sin^2(t)-2*cos^2(t))=0
[/mm]
Mein Problem jetzt ist, dass ich nicht genau weiss, wie ich das aufgelöst bekomme. Kann mir hier jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Mo 14.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hey,
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> ich habe die Funktion [mm]f(x,y)=x*y^2[/mm] unter der Nebenbedingung
> [mm]x^2+y^2=1.[/mm] Gesucht sind die lokalen Extrema von f.
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> Ich möchte diese Aufgabe jetzt nicht mit
> Lagrange-Multiplikatoren lösen, sondern, indem ich die
> Nebenbedingung parametrisiere.
>
> Dann erhalte ich ja: t [mm]\mapsto \vektor{x(t) \\ y(t)}[/mm] =
> [mm]\vektor{cos(t) \\ sin(t)},[/mm] da meine NB ja eine
> Kreisgleichung mit Radius 1 darstellt.
>
> So, nun muss ich nach Skript die Gleichung lösen: F(t) =
> f(x(t),y(t)) = Extrem! sein.
> Also bekomme ich: [mm]F(t)=f(cos(t),sin(t))=cos(t)*sin^2(t).[/mm]
Ja, für t [mm] \in [/mm] [0,2 [mm] \pi]
[/mm]
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> Jetzt habe ich ja eine Funktion abhängig von t, müsste
> die ableiten und gleich Null setzen.
>
> Also: [mm]F'(t)=-sin(t)*sin^2(t)+cos(t)*2*cos(t)*sin(t).[/mm]
>
> Das lässt sich noch etwas zusammenfassen und gleich Null
> setzen:
>
> [mm]-sin(t)*(sin^2(t)-2*cos^2(t))=0[/mm]
>
> Mein Problem jetzt ist, dass ich nicht genau weiss, wie ich
> das aufgelöst bekomme. Kann mir hier jemand weiterhelfen?
[mm]-sin(t)*(sin^2(t)-2*cos^2(t))=0[/mm] [mm] \gdw [/mm] sin(t)=0 oder [mm] sin^2(t)=2*cos^2(t))
[/mm]
Die Gl. [mm] sin^2(t)=2*cos^2(t)) [/mm] kannst Du vereinfachen, indem Du [mm] cos^2(t)+sin^2(t)=1 [/mm] benutzt.
Nebenbei: die Aufgabe geht doch viel einfacher, wenn Du die Nebenbedingung in f einsetzt:
betrachte also [mm] g(x)=xy^2=x(1-x^2).
[/mm]
Bestimme also Max. und Min. von [mm] g(x)=x-x^3 [/mm] auf [0,1]
Edit: natürlich auf [-1,1]
FRED
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Oh, diese Möglichkeit mit dem Einsetzen ist mir ja grad ganz aus dem Sinn gewesen, aber tatsächlich ist sie ja viel handlicher :p
[mm] g(x)=x-x^3
[/mm]
[mm] g'(x)=1-3x^2
[/mm]
g'(x)=0 [mm] \gdw 1-3x^2=0 \Rightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}
[/mm]
Auf dem Kreis würde ich dann ja 4 kritische Stellen bekommen und zwar [mm] (\pm\frac{1}{\sqrt{3}}; \pm\sqrt{\frac{2}{3}}) [/mm] in allen Vorzeichenvariationen, also (+,+), (+,-),(-,+),(-,-).
Mit Lagrange hatte ich aber noch (1,0) und (-1,0) identifiziert, wo gehen diese beiden Stellen mir hier verloren? :p
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Mo 14.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Oh, diese Möglichkeit mit dem Einsetzen ist mir ja grad
> ganz aus dem Sinn gewesen, aber tatsächlich ist sie ja
> viel handlicher :p
>
> [mm]g(x)=x-x^3[/mm]
> [mm]g'(x)=1-3x^2[/mm]
> g'(x)=0 [mm]\gdw 1-3x^2=0 \Rightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}[/mm]
>
> Auf dem Kreis würde ich dann ja 4 kritische Stellen
> bekommen und zwar [mm](\pm\frac{1}{\sqrt{3}}; \pm\sqrt{\frac{2}{3}})[/mm]
> in allen Vorzeichenvariationen, also (+,+),
> (+,-),(-,+),(-,-).
>
> Mit Lagrange hatte ich aber noch (1,0) und (-1,0)
> identifiziert, wo gehen diese beiden Stellen mir hier
> verloren? :p
Ich hatte mich oben verschrieben. Zu untersuchen ist [mm]g(x)=x-x^3[/mm] auf dem Intervall [-1,1]
g, betrachtet auf [-1,1], hat in den Punkten x=-1 und x=1 jeweils eine lokale Extremstelle, die Du durch stures differenzieren natürlich nicht erwischen kannst.
FRED
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Achso, also quasi noch den Rand untersuchen!
Danke!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 Mo 14.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Achso, also quasi noch den Rand untersuchen!
Ja, aber nicht quasi !
FRED
>
> Danke!!!
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Eine Frage hätte ich jetzt doch noch und zwar soll bei (1,0) ein lok. Min. und bei (-1,0) ein lok. Max. vorliegen. Gilt das, weil f(1,0)>0 und f(-1,0)<0 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Mi 16.05.2012 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Eine Frage hätte ich jetzt doch noch und zwar soll bei
> (1,0) ein lok. Min. und bei (-1,0) ein lok. Max. vorliegen.
> Gilt das, weil f(1,0)>0 und f(-1,0)<0 ?
Nein.
f(1,0) = 0
f(-1,0) = 0
Siehe ![[]](/images/popup.gif) Definition lokales Extremum.
Gruß
meili
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> Hallo,
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> > Eine Frage hätte ich jetzt doch noch und zwar soll bei
> > (1,0) ein lok. Min. und bei (-1,0) ein lok. Max. vorliegen.
> > Gilt das, weil f(1,0)>0 und f(-1,0)<0 ?
> Nein.
> f(1,0) = 0
> f(-1,0) = 0
>
> Siehe
> Definition lokales Extremum.
>
> Gruß
> meili
>
Hm, irgendwie hab ich grad ein Brett vorm Kopf... ich kann doch eigtl. meine Funkton g(x) bilden, wo ich die NB in f(x,y) einsetze, also: [mm] g(x)=x-x^3.
[/mm]
Dann müsste ich doch eigtl. nur die Punkte in die zweite Ableitung setzen und gucken, was größer/kleiner als Null ist, aber das klappt hier ja nicht.
Ich komm nicht drauf, wie man (1,0) als Min. und (-1,0) als Max. identifizieren kann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 Do 17.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Es ist g(1)=0 und für x im Intervall (0,1) ist g(x)>0.
Damit hat g in x=1 ein lok. Min.
FRED
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