Extrema mit Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Fr 07.06.2013 | | Autor: | Helicase |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion u(x,y,z) = x - 2y + 2z auf der Einheitskugel im [mm] \IR^{3}. [/mm] |
Hallo Forum,
ich habe hier eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung, die ich mit Lagrange lösen möchte.
Als Ausgangsfunktion habe u(x,y,z) = x - 2y + 2z
Als Nebenbedingung: [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + [mm] z^{2} [/mm] = 1
Also folglich: g(x,y,z) = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + [mm] z^{2} [/mm] - 1 = 0.
Nun stelle ich meine Lagrange-Funktion auf:
[mm] L(x,y,z,\lambda) [/mm] = u(x,y,z) + [mm] \lambda*g(x,y,z)
[/mm]
Nun habe ich den Gradienten von L berechnet:
grad L = [mm] \vektor{1 + 2 \lambda x \\ -2 + 2 \lambda y \\ 2 + 2 \lambda z \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1}
[/mm]
Dann habe ich grad L = 0 gesetzt und bekomme das Gleichungssystem
I. 1 + 2 [mm] \lambda [/mm] x = 0
II. -2 + 2 [mm] \lambda [/mm] y = 0
III. 2 + 2 [mm] \lambda [/mm] z = 0
IV. [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + [mm] z^{2} [/mm] - 1 = 0
Die Gleichungen I - III habe ich jeweils nach x,y,z aufgelöst und in IV eingesetzt, daraus ergibt sich:
[mm] \lambda_{1,2} [/mm] = [mm] \pm \bruch{3}{2}
[/mm]
Das setze ich dann wieder in die Gleichungen I - III ein.
Meine Frage ist nun, ob das bislang gerechnete richtig ist und wie ich dann die Hesse-Matrix bestimme.
Vielen Dank.
Gruß Helicase
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Fr 07.06.2013 | | Autor: | meili |
Hallo Helicase,
> Bestimmen Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion
> u(x,y,z) = x - 2y + 2z auf der Einheitskugel im [mm]\IR^{3}.[/mm]
> Hallo Forum,
>
> ich habe hier eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung,
> die ich mit Lagrange lösen möchte.
>
> Als Ausgangsfunktion habe u(x,y,z) = x - 2y + 2z
>
> Als Nebenbedingung: [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] + [mm]z^{2}[/mm] = 1
>
> Also folglich: g(x,y,z) = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] + [mm]z^{2}[/mm] - 1 = 0.
>
> Nun stelle ich meine Lagrange-Funktion auf:
>
> [mm]L(x,y,z,\lambda)[/mm] = u(x,y,z) + [mm]\lambda*g(x,y,z)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun habe ich den Gradienten von L berechnet:
>
> grad L = [mm]\vektor{1 + 2 \lambda x \\ -2 + 2 \lambda y \\ 2 + 2 \lambda z \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1}[/mm]
>
> Dann habe ich grad L = 0 gesetzt und bekomme das
> Gleichungssystem
>
> I. 1 + 2 [mm]\lambda[/mm] x = 0
> II. -2 + 2 [mm]\lambda[/mm] y = 0
> III. 2 + 2 [mm]\lambda[/mm] z = 0
> IV. [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] + [mm]z^{2}[/mm] - 1 = 0
>
> Die Gleichungen I - III habe ich jeweils nach x,y,z
> aufgelöst und in IV eingesetzt, daraus ergibt sich:
>
> [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = [mm]\pm \bruch{3}{2}[/mm]
>
> Das setze ich dann wieder in die Gleichungen I - III ein.
>
> Meine Frage ist nun, ob das bislang gerechnete richtig ist
> und wie ich dann die Hesse-Matrix bestimme.
Für die Hesse-Matrix jede Zeile von grad L partiell nach x, y, z und [mm] $\lambda$ [/mm] differenziern.
Er gibt eine (symmetrische) 4 x 4 - Matrix.
>
> Vielen Dank.
>
> Gruß Helicase
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Fr 07.06.2013 | | Autor: | Helicase |
Schon mal vielen Dank für das Drüberschauen :)
für [mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] erhalte ich:
[mm] P(-\bruch{1}{3}, \bruch{2}{3}, -\bruch{2}{3}) [/mm]
für [mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] erhalte ich:
[mm] P(\bruch{1}{3}, -\bruch{2}{3}, \bruch{2}{3}) [/mm]
Dann sieht die Hesse-Matrix wie folgt aus:
[mm] \pmat{ L_{xx} & L_{xy} & L_{xz} & L_{x\lambda} \\ L_{yx} & L_{yy} & L_{yz} & L_{y\lambda} \\ L_{zx} & L_{zy} & L_{zz} & L_{z\lambda} \\ L_{\lambda x} & L_{\lambda y} & L_{\lambda z} & L_{\lambda\lambda} } [/mm] = [mm] \pmat{ 2 \lambda & 0 & 0 & 2x \\ 0 & 2 \lambda & 0 & 2y \\ 0 & 0 & 2 \lambda & 2z \\ 2x & 2y & 2z & 0 }
[/mm]
Für für [mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] und [mm] P(-\bruch{1}{3}, \bruch{2}{3}, -\bruch{2}{3}) [/mm] :
[mm] H_{L1} [/mm] = [mm] \pmat{ 3 & 0 & 0 & - 2/3 \\ 0 & 3 & 0 & 4/3 \\ 0 & 0 & 3 & - 4/3\\ - 2/3 & 4/3 & - 4/3 & 0 }
[/mm]
und für für [mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] und [mm] P(\bruch{1}{3}, -\bruch{2}{3}, \bruch{2}{3}) [/mm] :
[mm] H_{L2} [/mm] = [mm] \pmat{ -3 & 0 & 0 & 2/3 \\ 0 & -3 & 0 & -4/3 \\ 0 & 0 & -3 & 4/3\\ 2/3 & -4/3 & 4/3 & 0 }
[/mm]
Nun überprüfe ich die Eigenwerte.
Diese mit der Determinante auszurechnen, ist ja schon recht aufwendig?
Gibt es für solche Matrizen eine "einfachere" Vorgehensweise als der Laplace'sche Entwicklungssatz?
Gruß Helicase
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Hallo Helicase,
> Schon mal vielen Dank für das Drüberschauen :)
>
> für [mm]\lambda_{1}[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm] erhalte ich:
> [mm]P(-\bruch{1}{3}, \bruch{2}{3}, -\bruch{2}{3})[/mm]
>
> für [mm]\lambda_{2}[/mm] = [mm]-\bruch{3}{2}[/mm] erhalte ich:
> [mm]P(\bruch{1}{3}, -\bruch{2}{3}, \bruch{2}{3})[/mm]
>
> Dann sieht die Hesse-Matrix wie folgt aus:
>
> [mm]\pmat{ L_{xx} & L_{xy} & L_{xz} & L_{x\lambda} \\ L_{yx} & L_{yy} & L_{yz} & L_{y\lambda} \\ L_{zx} & L_{zy} & L_{zz} & L_{z\lambda} \\ L_{\lambda x} & L_{\lambda y} & L_{\lambda z} & L_{\lambda\lambda} }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 2 \lambda & 0 & 0 & 2x \\ 0 & 2 \lambda & 0 & 2y \\ 0 & 0 & 2 \lambda & 2z \\ 2x & 2y & 2z & 0 }[/mm]
>
> Für für [mm]\lambda_{1}[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm] und [mm]P(-\bruch{1}{3}, \bruch{2}{3}, -\bruch{2}{3})[/mm]
> :
>
> [mm]H_{L1}[/mm] = [mm]\pmat{ 3 & 0 & 0 & - 2/3 \\ 0 & 3 & 0 & 4/3 \\ 0 & 0 & 3 & - 4/3\\ - 2/3 & 4/3 & - 4/3 & 0 }[/mm]
>
> und für für [mm]\lambda_{2}[/mm] = [mm]-\bruch{3}{2}[/mm] und
> [mm]P(\bruch{1}{3}, -\bruch{2}{3}, \bruch{2}{3})[/mm] :
>
> [mm]H_{L2}[/mm] = [mm]\pmat{ -3 & 0 & 0 & 2/3 \\ 0 & -3 & 0 & -4/3 \\ 0 & 0 & -3 & 4/3\\ 2/3 & -4/3 & 4/3 & 0 }[/mm]
>
> Nun überprüfe ich die Eigenwerte.
>
> Diese mit der Determinante auszurechnen, ist ja schon recht
> aufwendig?
> Gibt es für solche Matrizen eine "einfachere"
> Vorgehensweise als der Laplace'sche Entwicklungssatz?
>
Addiere zu der 4. Zeile jeweils ein
geeignetes Vielfaches der k. Zeile (k=1,2,3),
und zwar so, daß die k. Spalte
ein Vielfaches des k. Einheitsvektors ist.
Die Determinante ändert sich dabei nicht.
> Gruß Helicase
>
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Fr 07.06.2013 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion
> u(x,y,z) = x - 2y + 2z auf der Einheitskugel im [mm]\IR^{3}.[/mm]
> Hallo Forum,
>
> ich habe hier eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung,
> die ich mit Lagrange lösen möchte.
Hallo, das ist legitim, wenn man das Lösen von Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen so allgemein trainieren will.
Wenn es dir nur um eine möglichst effektive Lösung des konkreten Problems gehen sollte, dann bedenke Folgendes:
x-2y+2z=d beschreibt eine Ebene im Raum.
Du suchst ein möglichst großes/möglichst kleines d, sodass es noch mindestens einen Ebenenpunkt gibt, das auch auf der Einheitskugel liegt.
Dazu muss x-2y+2z=d Tangentialebene der Einheitskugel sein. Ein Normalenvektor dieser Ebene ist [mm] \vektor{1\\ -2\\2}[/mm], und eine Gerade durch den Kugelmittelpunkt mit diesem Richtungsvektor schneidet die Kugel in
(1/3 |-2/3| 2/3) und in (-1/3 |2/3| -2/3) .
Damit gilt d=3 bzw. d=-3 als größter bzw. kleinster Wert für x-2y+2z.
Gruß Abakus
>
> Als Ausgangsfunktion habe u(x,y,z) = x - 2y + 2z
>
> Als Nebenbedingung: [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] + [mm]z^{2}[/mm] = 1
>
> Also folglich: g(x,y,z) = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] + [mm]z^{2}[/mm] - 1 = 0.
>
> Nun stelle ich meine Lagrange-Funktion auf:
>
> [mm]L(x,y,z,\lambda)[/mm] = u(x,y,z) + [mm]\lambda*g(x,y,z)[/mm]
>
> Nun habe ich den Gradienten von L berechnet:
>
> grad L = [mm]\vektor{1 + 2 \lambda x \\ -2 + 2 \lambda y \\ 2 + 2 \lambda z \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1}[/mm]
>
> Dann habe ich grad L = 0 gesetzt und bekomme das
> Gleichungssystem
>
> I. 1 + 2 [mm]\lambda[/mm] x = 0
> II. -2 + 2 [mm]\lambda[/mm] y = 0
> III. 2 + 2 [mm]\lambda[/mm] z = 0
> IV. [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] + [mm]z^{2}[/mm] - 1 = 0
>
> Die Gleichungen I - III habe ich jeweils nach x,y,z
> aufgelöst und in IV eingesetzt, daraus ergibt sich:
>
> [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = [mm]\pm \bruch{3}{2}[/mm]
>
> Das setze ich dann wieder in die Gleichungen I - III ein.
>
> Meine Frage ist nun, ob das bislang gerechnete richtig ist
> und wie ich dann die Hesse-Matrix bestimme.
>
> Vielen Dank.
>
> Gruß Helicase
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Fr 07.06.2013 | | Autor: | Helicase |
An diese Herangehensweise habe ich gar nicht gedacht.
Vielen Dank.
Vordergründig stand auch erstmal die Lagrange-Methode zu üben und zu verstehen.
Vom Rechenaufwand und der Anschauung ist natürlich der Weg schöner ;)
Und in der Klausur oder ähnlichen geht das vielleicht auch schneller, wenn man diesen Einfall hat ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:30 Sa 08.06.2013 | | Autor: | fred97 |
Die Hessematrix brauchst Du nicht !
Die Funktion u ist auf [mm] K:=\{(x,y,z): x^2+y^2+z^2=1\} [/mm] stetig und K ist kompakt, also gibt es [mm] (x_1,y_1,z_1), (x_2,y_2,z_2) \in [/mm] K mit
[mm] u(x_1,y_1,z_1) \le [/mm] u(x,y,z) [mm] \le u(x_2,y_2,z_2) [/mm] für alle (x,y,z) [mm] \in [/mm] K.
Das weiss man aus der Theorie !
Mit Deinem obigen Gleichungssystem kannst Du [mm] (x_1,y_1,z_1), (x_2,y_2,z_2) [/mm] berechnen !
Wenn Du richtig rechnest, siehst Du, dass das Gl.-Sytem genau 2 Lösungen hat.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 So 09.06.2013 | | Autor: | Helicase |
> Die Hessematrix brauchst Du nicht !
>
> Die Funktion u ist auf [mm]K:=\{(x,y,z): x^2+y^2+z^2=1\}[/mm] stetig
> und K ist kompakt, also gibt es [mm](x_1,y_1,z_1), (x_2,y_2,z_2) \in[/mm]
> K mit
>
> [mm]u(x_1,y_1,z_1) \le[/mm] u(x,y,z) [mm]\le u(x_2,y_2,z_2)[/mm] für alle
> (x,y,z) [mm]\in[/mm] K.
>
Das ist der Satz von Maximum und Minimum im metrischen Raum?
Damit weiß ich, dass einer der beiden Punkte Minimun und der andere Maximum ist.
> Das weiss man aus der Theorie !
>
> Mit Deinem obigen Gleichungssystem kannst Du [mm](x_1,y_1,z_1), (x_2,y_2,z_2)[/mm]
> berechnen !
>
> Wenn Du richtig rechnest, siehst Du, dass das Gl.-Sytem
> genau 2 Lösungen hat.
>
Für [mm] P_{1} [/mm] = (-1/3, 2/3, -2/3) ist u(x,y,z) = -3 [mm] \Rightarrow [/mm] Minimum
Für [mm] P_{2} [/mm] = (1/3, -2/3, 2/3) ist u(x,y,z) = 3 [mm] \Rightarrow [/mm] Maximum
> FRED
>
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 So 09.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Die Hessematrix brauchst Du nicht !
> >
> > Die Funktion u ist auf [mm]K:=\{(x,y,z): x^2+y^2+z^2=1\}[/mm] stetig
> > und K ist kompakt, also gibt es [mm](x_1,y_1,z_1), (x_2,y_2,z_2) \in[/mm]
> > K mit
> >
> > [mm]u(x_1,y_1,z_1) \le[/mm] u(x,y,z) [mm]\le u(x_2,y_2,z_2)[/mm] für alle
> > (x,y,z) [mm]\in[/mm] K.
> >
>
> Das ist der Satz von Maximum und Minimum im metrischen
> Raum?
> Damit weiß ich, dass einer der beiden Punkte Minimun und
> der andere Maximum ist.
>
> > Das weiss man aus der Theorie !
> >
> > Mit Deinem obigen Gleichungssystem kannst Du [mm](x_1,y_1,z_1), (x_2,y_2,z_2)[/mm]
> > berechnen !
> >
> > Wenn Du richtig rechnest, siehst Du, dass das Gl.-Sytem
> > genau 2 Lösungen hat.
> >
>
> Für [mm]P_{1}[/mm] = (-1/3, 2/3, -2/3) ist u(x,y,z) = -3
> [mm]\Rightarrow[/mm] Minimum
> Für [mm]P_{2}[/mm] = (1/3, -2/3, 2/3) ist u(x,y,z) = 3 [mm]\Rightarrow[/mm]
> Maximum
Ja
FRED
>
> > FRED
> >
> >
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:55 So 09.06.2013 | | Autor: | Helicase |
Vielen Dank für die Hinweise.
Gruß :)
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