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| Aufgabe | a) Warum hat die Funktion [mm] y=2-x_{1}-x_{2} [/mm] unter der NB [mm] x_{1}^2+x_{2}^2=8 [/mm] ein Maximum und ein Minimum?
b) Bestimmen Sie diese! |
Hallo zusammen,
ich habe mal mit der b) angefangen und die NB nach [mm] x_{2}=\pm\wurzel{8-x_{1}^2} [/mm] aufgelöst.
Danach habe ich zuerst von [mm] f(x_{1},\wurzel{8-x_{1}^2}) [/mm] die Ableitung gebildet: [mm] f'(x_{1})=\bruch{x_{1}}{\wurzel{8-x_{1}^2}}-1 [/mm] und diese =0 gesetzt.
Von Hand habe ich die Lösungen 2 und -2 erhalten, mit dem Taschenrechner nur 2...
[mm] f''(x_{1})=\bruch{1}{\wurzel{8-x_{1}^2}}+\bruch{x_{1}^2}{(8-x_{1}^2)^\bruch{3}{2}} [/mm] Das ist ja immer >0
So hab ich das Maximum f(2,-4)=4 erhalten - was jedoch nicht stimmt! Sieht jemand meinen Fehler?
Vielen Dank schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Do 02.01.2014 | | Autor: | ullim |
Hi,
> a) Warum hat die Funktion [mm]y=2-x_{1}-x_{2}[/mm] unter der NB
> [mm]x_{1}^2+x_{2}^2=8[/mm] ein Maximum und ein Minimum?
> b) Bestimmen Sie diese!
> Hallo zusammen,
>
> ich habe mal mit der b) angefangen und die NB nach
> [mm]x_{2}=\pm\wurzel{8-x_{1}^2}[/mm] aufgelöst.
>
> Danach habe ich zuerst von [mm]f(x_{1},\wurzel{8-x_{1}^2})[/mm] die
> Ableitung gebildet:
> [mm]f'(x_{1})=\bruch{x_{1}}{\wurzel{8-x_{1}^2}}-1[/mm] und diese =0
> gesetzt.
> Von Hand habe ich die Lösungen 2 und -2 erhalten, mit dem
> Taschenrechner nur 2...
>
> [mm]f''(x_{1})=\bruch{1}{\wurzel{8-x_{1}^2}}+\bruch{x_{1}^2}{(8-x_{1}^2)^\bruch{3}{2}}[/mm]
> Das ist ja immer >0
>
> So hab ich das Maximum f(2,-4)=4 erhalten - was jedoch
> nicht stimmt! Sieht jemand meinen Fehler?
Wie kommst Du auf die -4 im zweiten Argument der Funktion [mm] f(x_1,\wurzel{8-x_1^2}) [/mm] ?
[mm] \wurzel{8-x_1^2} [/mm] ergibt [mm] \pm2
[/mm]
> Vielen Dank schonmal!
>
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Vielen Dank!
Das tut mit Leid, da hab ich mich verrechnet, es kommt [mm] \pm2 [/mm] raus!
Aber was mich sehr verwirrt, ist die Sache mit dem Auflösen von [mm] f'(x)=0=\bruch{x_{1}}{\wurzel{8-x_{1}^2}}-1, [/mm] was ist da das Ergebnis?
Und wenn ich die zweite Ableitung anschaue und die nur >0 ist, heißt das, dort ist ein rel. Maximum?
Viele Grüße!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Do 02.01.2014 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich hätte das mit Lagrangen Multiplikatoren gelöst, wenn Du die kennst.
Definiere
[mm] L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda{g(x,y)} [/mm] und löse das Gleichungssystem
[mm] L_x=0, L_y=0 [/mm] und [mm] L_{\lambda}=0 [/mm] für x,y und [mm] \lambda
[/mm]
Du erhälst [mm] x=y=\pm2 [/mm] als Lösung. [mm] \lambda [/mm] muss auch noch berechnet werden.
Danach die Hesse Matrix von [mm] L(x,y,\lambda) [/mm] bilden und an den Lösungsstellen ausrechnen. Gilt [mm] det\left(H(x,y,\lambda)\right)>0 [/mm] liegt ein Minimum vor und gilt [mm] det\left(H(x,y,\lambda)\right)<0 [/mm] liegt ein Maximum vor.
In diesem Fall bekommst Du beides, ein Minimum und ein Maximum.
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Also mit dem Lagrange kenn ich mich leider gar nicht aus!
Dort wo ich mich vorher verrechnet hatte: Ich erhalte mit [mm] x_{1}=2 [/mm] -> [mm] x_{2}=\pm2, [/mm] das tatsächliche Minimum ist bei (2,2), aber woher weiß ich denn, dass es nur bei [mm] x_{2}=+2 [/mm] ist?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Do 02.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Das ist nun ein wenig unübersichtlich, aber es gilt:
Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung, sodass du deine Lösungen danach testen musst.
DieAcht
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> Also mit dem Lagrange kenn ich mich leider gar nicht aus!
Hallo,
falls es in der Vorlesung behandelt wurde, mußt Du unbedingt den Zustand erreichen, daß Du Dich damit auskennst!
Es ist nicht so schwer.
LG Angela
>
> Dort wo ich mich vorher verrechnet hatte: Ich erhalte mit
> [mm]x_{1}=2[/mm] -> [mm]x_{2}=\pm2,[/mm] das tatsächliche Minimum ist bei
> (2,2), aber woher weiß ich denn, dass es nur bei [mm]x_{2}=+2[/mm]
> ist?
>
> Vielen Dank!
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> a) Warum hat die Funktion [mm]y=2-x_{1}-x_{2}[/mm] unter der NB
> [mm]x_{1}^2+x_{2}^2=8[/mm] ein Maximum und ein Minimum?
> b) Bestimmen Sie diese!
Hallo,
zu a):
Du betrachtest hier Deine Funktion über dem Kreis mit [mm] x_{1}^2+x_{2}^2=8.
[/mm]
Diese Menge ist eine abgeschlossene , beschränkte Teilmenge des [mm] \IR^2, [/mm] und ein Satz Deiner Vorlesung erzählt Dir etwas über Extrema von stetigen Funktionen über solchen Mengen.
zu b)
berechne mit Lagrange die Extremwertkandidaten.
(Wenn Du's im Moment noch nicht kannst: nachlesen, imitieren.)
Mach Dir dann a) zunutze.
LG Angela
LG Angela
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Okay, vielen Dank!
Hab jetzt ein Minimum bei (2,2,-2) und ein Maximum bei (-2,-2,6) raus!
Liebe Grüße!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Do 02.01.2014 | | Autor: | ullim |
Hi,
das ist ok. Un d wie hast Du es gelöst? Mit Lagrange?
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Hallo!
Nein, da wir Lagrange in der nächsten Vorlesung behandeln, war das - glaube ich - ohne gedacht.
Ich hab die NB nach [mm] x_{2} [/mm] aufgelöst, die eine Lösung dann in [mm] f(x_{1},x_{2}) [/mm] eingesetzt, das abgeleitet und =0 gesetzt. Danach nach [mm] x_{1} [/mm] aufgelöst und in die NB eingesetzt um [mm] x_{2} [/mm] zu erhalten, dann f'' gebildet, was größer 0 war. Dann habe ich [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] in f eingesetzt und so das Minimum erhalten.
Mit der zweiten Lösung für [mm] x_{2} [/mm] habe ich das Gleiche gemacht und so das Maximum erhalten!
Ich danke euch!
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