Extrema reellwert. Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme jeweils die lokalen Maxima und Minima der gegebenen Funktionen:
(a) [mm] f(x,y):=x^3+y^3-3xy
[/mm]
(b) [mm] f(x,y):=3xe^y-x^3-e^{3y}
[/mm]
(c) [mm] f(x,y):=x^3-4y^3+3x^2-y^4 [/mm] |
ad a)
[mm] D_1f=3x^2-3y
[/mm]
[mm] D_2f=3y^2-3x
[/mm]
Also ist [mm] gradf=\vektor{3x^2-3y\\3y^2-3x}
[/mm]
Um kritische Stellen zu finden, muss ich ja grad=0 setzen.
also:
[mm] I:3x^2-3y=0
[/mm]
[mm] II:3y^2-3x=0
[/mm]
Wenn ich die Gleichungen jetzt vereinfache, komme ich auf
[mm] x^2=y [/mm] und auf [mm] y^2=x
[/mm]
=> x=1 und y=1
Also ist (1,1) mein Kandidat für ein Extremum
Jetzt muss ich [mm] H_f(\xi) [/mm] bestimmen
[mm] H_f(1,1)= \pmat{6 & -3\\-3 & 6}
[/mm]
[mm] det(H_f(1,1))=27>0 [/mm] und 6>0 => pos. definit => lok. Minimum
Besitzt die Funktion keine weiteren Extrema oder habe ich etwas übersehen??
ad b) Für den Gradient bekomme ich: [mm] \vektor{3e^y-3x^2\\3xe^y-3e^{3y}}
[/mm]
Beim Auflösen des Gleichungssystems bin ich kläglich gescheitert 
Kann es sein, dass ich den Gradienten schon falsch berechnet habe???
ad c) [mm] grad=\vektor{3x^2+3x\\-12y^2-4y^3}
[/mm]
[mm] \xi_1=(-1/0)
[/mm]
[mm] \xi_2=(-1/-3)
[/mm]
[mm] H_f(\xi_1)=\pmat{-3 & 0\\ 0 & 0}
[/mm]
[mm] det(H_f(\xi_1)=0 [/mm]
Was kann ich jetzt daraus schließen???
[mm] H_f(\xi_2)=\pmat{-3 & 0\\ 0 & -36}
[/mm]
det>0 -3<0 => neg. def. => lok. Maximum
Ist das so korrekt?
Glg
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> Bestimme jeweils die lokalen Maxima und Minima der
> gegebenen Funktionen:
>
> (a) [mm]f(x,y):=x^3+y^3-3xy[/mm]
> ad a)
> [mm]D_1f=3x^2-3y[/mm]
> [mm]D_2f=3y^2-3x[/mm]
>
> Also ist [mm]gradf=\vektor{3x^2-3y\\
3y^2-3x}[/mm]
>
> Um kritische Stellen zu finden, muss ich ja grad=0 setzen.
>
> also:
> [mm]I:3x^2-3y=0[/mm]
> [mm]II:3y^2-3x=0[/mm]
>
> Wenn ich die Gleichungen jetzt vereinfache, komme ich auf
> [mm]x^2=y[/mm] und auf [mm]y^2=x[/mm]
> => x=1 und y=1
Hallo,
die von Dir gefundene Lösung ist nicht die einzige Lösung.
Du hast
[mm] x^2=y
[/mm]
[mm] y^2=x
[/mm]
==> [mm] x^4=x [/mm] ==> ???
LG Angela
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[mm] x^4=x [/mm] => x=1 was ich vorher schon angegeben habe, aber auch x=0 oder? Das hab ich übersehn. Dann kann ich ja für y auch 0 herausbekommen. Dann habe ich ja sogar 4 Kandidaten für Extrema oder darf ich nur (1,1) und (0,0) nehmen? lg
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Hallo,
Du hattest
$ [mm] x^2=y [/mm] $
$ [mm] y^2=x [/mm] $
==> $ [mm] x^4=x [/mm] $ ==> x=0 oder x=1.
1.Fall:x=0
Aus der 1.Gleichung ergibt sich [mm] y=0^2=0
[/mm]
Also ist (0|0) eine Lösung
2.Fall:x=1
Aus der 1.Gleichung ergibt sich [mm] y=1^2=1
[/mm]
Also ist (1|1) eine Lösung
Du mußt immer zum errechneten x die dazu passenden y bestimmen.
Dann kommst Du gar nicht in Versucheung zu meinen, daß etwa (1|0) eine Lösung ist. Offenbar löst sie ja auch das GS nicht.
LG Angela
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> Bestimme jeweils die lokalen Maxima und Minima der
> gegebenen Funktionen:
>
> (b) [mm]f(x,y):=3xe^y-x^3-e^{3y}[/mm]
>
> ad b) Für den Gradient bekomme ich:
> [mm]\vektor{3e^y-3x^2\\
3xe^y-3e^{3y}}[/mm]
>
> Beim Auflösen des Gleichungssystems bin ich kläglich
> gescheitert
> Kann es sein, dass ich den Gradienten schon falsch
> berechnet habe???
Hallo,
der Gradient stimmt.
Schade, daß Du uns an Deinem Scheitern nicht teilhaben läßt...
Man bekommt das GS
[mm] e^y-x^2=0
[/mm]
[mm] xe^y-e^{3y}=e^y(x-e^{2y})=e^y(x-(e^y)^2)=0
[/mm]
Ich denke, jetzt kommst Du weiter.
LG Angela
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> Hallo,
>
> der Gradient stimmt.
>
> Schade, daß Du uns an Deinem Scheitern nicht teilhaben
> läßt...
>
> Man bekommt das GS
>
> [mm]e^y-x^2=0[/mm]
> [mm]xe^y-e^{3y}=e^y(x-e^{2y})=e^y(x-(e^y)^2)=0[/mm]
>
> Ich denke, jetzt kommst Du weiter.
>
> LG Angela
>
>
Auf die erste Zeile bin ich auch gekommen. Aber auf die zweite nicht. Kannst du mir bitte noch erklären wie du darauf kommst? Ich habs nicht herausgefunden.
Hab jetzt weitergerechnet:
Aus der ersten Gleichung sehe ich, dass [mm] e^y=x^2 [/mm] gilt
das setze ich in die 2. Gleichung ein:
[mm] x^2(x-x^4)=0 [/mm] => [mm] x^2=0 [/mm] oder [mm] (x-x^4)=0 [/mm] => [mm] x_1=0 x_2=1
[/mm]
Jetzt rechne ich mir aus der ersten Zeile y aus:
[mm] e^y=x^2
[/mm]
y=2logx
log (1)=0 also ist y=0
log(0) ist nicht definiert Habe ich dann keine 2. Lösung??
Lg
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> > Hallo,
> >
> > der Gradient stimmt.
> >
> > Schade, daß Du uns an Deinem Scheitern nicht teilhaben
> > läßt...
> >
> > Man bekommt das GS
> >
> > [mm]e^y-x^2=0[/mm]
> > [mm]xe^y-e^{3y}=e^y(x-e^{2y})=e^y(x-(e^y)^2)=0[/mm]
> >
> > Ich denke, jetzt kommst Du weiter.
> >
> > LG Angela
> >
> >
> Auf die erste Zeile bin ich auch gekommen. Aber auf die
> zweite nicht. Kannst du mir bitte noch erklären wie du
> darauf kommst? Ich habs nicht herausgefunden.
Hallo,
[mm] 3xe^y-3e^{3y}=0
[/mm]
<==> [mm] 0=xe^y-e^{3y}=xe^y-e^{y+2y}=xe^y-e^y*e^{2y}=e^y(x-e^{2y}).
[/mm]
>
> Hab jetzt weitergerechnet:
>
> Aus der ersten Gleichung sehe ich, dass [mm]e^y=x^2[/mm] gilt
> das setze ich in die 2. Gleichung ein:
> [mm]x^2(x-x^4)=0[/mm] => [mm]x^2=0[/mm] oder [mm](x-x^4)=0[/mm] => [mm]x_1=0 x_2=1[/mm]
>
> Jetzt rechne ich mir aus der ersten Zeile y aus:
> [mm]e^y=x^2[/mm]
> y=2logx
>
> log (1)=0 also ist y=0
> log(0) ist nicht definiert Habe ich dann keine 2.
> Lösung??
Genau.
LG Angela
> Lg
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> Bestimme jeweils die lokalen Maxima und Minima der
> gegebenen Funktionen:
>
> (c) [mm]f(x,y):=x^3-4y^3+3x^2-y^4[/mm]
> ad c) [mm]grad=\vektor{3x^2+3x\\
-12y^2-4y^3}[/mm]
>
> [mm]\xi_1=(-1/0)[/mm]
> [mm]\xi_2=(-1/-3)[/mm]
Es gibt mehr Lösungen!
[mm] x^2+x=x(x+1)=0 [/mm] ==> ???
[mm] 3y^2+y^3=0 [/mm] ==> ???
LG Angela
>
> [mm]H_f(\xi_1)=\pmat{-3 & 0\\
0 & 0}[/mm]
>
> [mm]det(H_f(\xi_1)=0[/mm]
>
> Was kann ich jetzt daraus schließen???
>
> [mm]H_f(\xi_2)=\pmat{-3 & 0\\
0 & -36}[/mm]
>
> det>0 -3<0 => neg. def. => lok. Maximum
>
> Ist das so korrekt?
>
> Glg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:44 Di 31.01.2012 | | Autor: | steffi.24 |
> Es gibt mehr Lösungen!
>
> [mm]x^2+x=x(x+1)=0[/mm] ==> ???
> [mm]3y^2+y^3=0[/mm] ==> ???
>
>
> LG Angela
x(x+1)=0 => x=0 oder (x+1)=0 => [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=-1
[/mm]
[mm] 3y^2+y^3=0 [/mm] <=> [mm] y^2(3+y)=0 [/mm] => [mm] y_1=0 [/mm] und [mm] y_2=-3
[/mm]
Also bekomme ich 4 verschiedene Lösungen.
Danke für die Hilfe.Lg
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