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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Di 31.01.2006 | | Autor: | thomasXS |
| Aufgabe | geg: fk(x)= [mm] \bruch{1}{9}(x^4-kx^2-9x^2+9k) [/mm] mit k [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] k [mm] \varepsilon \IR
[/mm]
1.1 Untersuchen sie die Funktion auf Symmetrie.
1.2 Zeigen Sie, dass sich der Funktionsterm fk(x) auch in der Form fk(x)= [mm] \bruch{1}{9}(x^2 [/mm] - [mm] k)*(x^2 [/mm] - 9) schreiben lässt, und ermitteln Sie Anzahl, Lage und Vielfachheit aller Nullstellen der Funktion fk in Abhängigkeit von k.
1.3 Berechnen Sie k so, dass die Tangente an den Graphen fk(x) an der Stelle x0= 1,5 parallel zur Geraden mit der Gleichung y = -4,5x verläuft.
2.0 Setzen Sie für die folgenden Teilaufgaben k = 9
2.1 Begründen Sie, dass für alle x [mm] \varepsilon \IR [/mm] gilt: f9(x) [mm] \ge [/mm] 0. Was kann daraus über die Lage des Graphen Gfß im Koordinatensystem gefolgert werden?
Für die folgenden Berechnungen sollte der Funktionsterm der Funktion f9 in der Form f9(x) = [mm] \bruch{1}{9}x^4-2x^2+9 [/mm] verwendet werden.
2.2 Ermitteln sie für den Graphen Gf9 Art und Koordinaten aller relativen Extermpunkte sowie die oordinaten der Wendepunkte. |
Hallo Leute,
bei einigen Aufgabenteilen komme ich nicht weiter und benötige Eure Hilfe!
Meine Ansätze:
1.1 Achsensymmetrie.
1.2 Hier habe ich leider keinen Ansatz, da ich wohl kein x bzw. k ausklammern kann. wie komme ich auf die gesuchte Funktion?
Mit "ermitteln Sie Anzahl, Lage und Vielfachheit aller Nullstellen der Funktion fk in Abhängigkeit von k. " sind die Nullstellen dieser fk(x) gesucht? Falls ja, dann weiss ich wie ich sie bestimmen kann.
1.3 Ich bin mir nicht so ganz sicher, ob ich die Aufgabenstellung erfasst habe. Ich bin so vorgegangen:
ich habe 1,5 in fk(x) eingesetzt und dadurch bin ich auf fk(1,5) = [mm] \bruch{-27}{16} [/mm] + 0,75k gekommen. In die Gleichung y = -4,5 x hätte ich für das x auch ebenfalls 1,5 eingesetzt und bekomme so als neue Gleichung y = -6,75. fk(1,5)= -6,75. Dann erhalte ich k = -6,75
2
2.1 Muss ich bei dieser Aufgabe den Verlauf des Graphen angeben, oder was ist hier verlangt?
2.2 Extrema bestimmen:
f9'(x) = [mm] \bruch{4}{9}x^3 [/mm] - 4x
f9''(x) = [mm] \bruch{4}{3}x^2 [/mm] - 4
f9'''(x) = [mm] \bruch{8}{3}x \not= [/mm] 0
f9'(x) = 0 : [mm] \bruch{4}{9}x^3 [/mm] - 4x=0
x1=0 oder x2/3= + - 3
f9''(0) = 0
f9''(+3)=8 > 0 => Hochpunkt (3;0)
f9''(-) = 8 > 0 => Hochpunkt (-3;0)
zum Wendepunkt:
f9''(x) = 0 : x1/2 = + - [mm] \wurzel{3}
[/mm]
[mm] f9(+\wurzel{3}) [/mm] = 4
=> Wendepunkt 1 [mm] (+\wurzel{3}| [/mm] 4)
Wendepunkt 2 [mm] (-\wurzel{3}| [/mm] 4)
zusätzliche Frage:
Wie würde der Graph aussehen, wenn ich ihn zeichnen müsste?
Danke für eure Hilfe
Gruß
Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Di 31.01.2006 | | Autor: | mui |
zu 1.2.
um zeigen, dass die f=1/9...ist, musst du nur ausklammern, dann sieht man ja , dass die funktionen gleich sind
zur nullstellenbetimmung:
[mm] f=1/9(x^2-k)(x^2-9)=0 [/mm] gillt genau dann, wenn einer der beiden klammerterme gleich null ist!
also: [mm] x^2-9=0 [/mm] genau dann, wenn x=3 oder -3
[mm] x^2-k=0 [/mm] genau dann, wenn x=k^(1/2) oder -k^(1/2)
die nullstellenmenge ist also {3,-3,k^(1/2),-k^(1/2)}
es handelt sich dabei um einfach nullstellen, da f auch als
f=1/9(x-3)(x+3)(x-k^(1/2))(x+k^(1/2)) geschrieben werden kann (2. binomische formel)
hab leider nicht mehr zeit, hoffe es hat was geholfen
ciao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Di 31.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Mui,
es sind nicht immer nur einfache Nullstellen, schließlich kann auch $k=0$ gelten!
MFG,
Yuma
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Di 31.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Thomas,
das ist ja 'ne umfangreiche Aufgabe. Naja, dann mal der Reihe nach:
1.1. Achsensymmetrie ist richtig, schließlich gilt [mm] $f_{k}(x)=f_{k}(-x)$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IR$.
[/mm]
1.2. Naja, in der Aufgabe steht ja nur, dass du zeigen sollst, dass [mm] $\bruch{1}{9}(x^{4}-kx^{2}-9x^{2}+9k)=\bruch{1}{9}(x^{2}-k)(x^{2}-9)$. [/mm] Und das kannst du doch einfach durch Ausmultiplizieren beweisen! Ich denke, es ist so gedacht, dass du das erst zeigst und es dann benutzt um die Nullstellen und deren Vielfachheit zu bestimmen.
1.3. Das heißt doch nichts anderes, als dass die Steigung von [mm] $f_{k}$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_{0}=1,5$ [/mm] dieselbe Steigung wie die gegebene Gerade haben soll. Also musst du doch nur $f'_{k}(1,5)=-4,5$ nach $k$ auflösen.
2.1. Hier sollst du nur zeigen, dass [mm] $f_{9}(x)\ge0$ [/mm] ist für alle [mm] $x\in\IR$. [/mm] Du musst also beweisen, dass -egal welches $x$ du einsetzt- [mm] $f_{9}(x)$ [/mm] nicht negativ ist. Am besten siehst du das anhand der Darstellung von [mm] $f_{k}(x)$ [/mm] aus 1.2.
Daraus kann man dann folgern, dass der Graph von [mm] $f_{k}$ [/mm] oberhalb (und evtl. auf) der $x$-Achse verläuft.
2.2. Mit deinen Ableitungen bin ich einverstanden, aber es ist [mm] $f'''(x)\not=0$ [/mm] nur für [mm] $x\not=0$.
[/mm]
Die Nullstellenberechnung für die erste Ableitung ist richtig, aber das Einsetzen in die zweite nicht: $f''(-3)=f''(3)=8$ (Tiefpunkt) und $f''(0)=-4$ (Hochpunkt). Die Wendepunkte sind richtig!
Zur Skizze: Hast du kein Programm, mit dem du dir die Funktion mal schnell plotten kannst?
Frag bitte nochmal nach, falls dir etwas unklar geblieben ist, ok?
MFG,
Yuma
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