Extrema von trig. Fkt. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Di 03.05.2011 | | Autor: | Rapo |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Nullstellen, Maxima und Minima der folgenden Funktion:
f:(x) = [mm] \bruch{1}{1+cos(x)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] |
Hallo,
ich soll wie in der Aufgabenstellung beschrieben die Extrem- und Nullstellen der Fkt f:(x) = [mm] \bruch{1}{1+cos(x)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] berechnen.
An sich keine schwere Sache wäre da nicht der Bruch [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Müsste ich wenn ich damit rechnen will die beiden Brüche zu einem zusammenfassen oder kann man [mm] \bruch{1}{2} [/mm] einfach vernachlässigen?
Wenn ich den Bruch zusammenfasse erhalte ich [mm] \bruch{1}{2+cos(x)}.
[/mm]
Wenn ich dann die Nullstelle haben möchte setze ich den Nenner = 0 somit ergibt sich 2 + cos(x) =0. In der Lösung steht x=2 [mm] \pi [/mm] n und da komme ich leider nicht drauf.
Des Weiteren gibt es ein Minima bei x= 2 n [mm] \pi.
[/mm]
Die Lösungen habe ich jedoch kann ich den Rechenweg nicht erschließen.
Bin für jede Hilfe dankbar.
mfG Rapo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Rapo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Bestimmen Sie die Nullstellen, Maxima und Minima der
> folgenden Funktion:
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> f:(x) = [mm]\bruch{1}{1+cos(x)}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich soll wie in der Aufgabenstellung beschrieben die
> Extrem- und Nullstellen der Fkt f:(x) = [mm]\bruch{1}{1+cos(x)}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] berechnen.
>
> An sich keine schwere Sache wäre da nicht der Bruch
> [mm]\bruch{1}{2}.[/mm]
> Müsste ich wenn ich damit rechnen will die beiden Brüche
> zu einem zusammenfassen oder kann man [mm]\bruch{1}{2}[/mm] einfach
> vernachlässigen?
Du musst nicht zusammenfassen, vernachlässigen darfst du es natürlich nicht!!
>
> Wenn ich den Bruch zusammenfasse erhalte ich
> [mm]\bruch{1}{2+cos(x)}.[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Oha, das rechne bitte mal vor!
Für die Bestimmung der Nullstellen muss gelten [mm]f(x)=0[/mm], also [mm]\frac{1}{1+\cos(x)}-\frac{1}{2}=0[/mm], also [mm]\frac{1}{1+\cos(x)}=\frac{1}{2}[/mm] und damit
[mm]1+\cos(x)=2[/mm]
Das kannst du doch sicher lösen ...
> Wenn ich dann die Nullstelle haben möchte setze ich den
> Nenner = 0
Nein, damit bekämest du Polstellen, also Definitionslücken!
> somit ergibt sich 2 + cos(x) =0.
Also [mm] $\cos(x)=-2$
[/mm]
Das wäre ungünstig, da der Kosinus nur Werte zwischen $-1$ und $+1$ annimmt ...
> In der Lösung
> steht x=2 [mm]\pi[/mm] n und da komme ich leider nicht drauf.
>
> Des Weiteren gibt es ein Minima bei x= 2 n [mm]\pi.[/mm]
>
> Die Lösungen habe ich jedoch kann ich den Rechenweg nicht
> erschließen.
Wieso nicht?
Leite [mm]f(x)[/mm] ab und bestimme die Nullstellen.
Wie sieht die Ableitung aus?
Achte auf die Definitionslücken!
Dort können keine Extrema liegen!
> Bin für jede Hilfe dankbar.
>
> mfG Rapo
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzpus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Di 03.05.2011 | | Autor: | Rapo |
Hallo schachuzipus, danke für die schnelle Antwort!
Es gilt ja [mm] \bruch{a}{b} [/mm] +/- [mm] \bruch{c}{d} [/mm] = [mm] \bruch{a*d +/- b*c}{b*d}
[/mm]
Dementsprechend habe ich [mm] \bruch{1}{1+cos(x)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
= [mm] \bruch{1*2 - (1+cos(x))*1}{(1+cos(x))*2} [/mm] = [mm] \bruch{1+cos (x)}{2+2cos(x)} [/mm] durch kürzen erhalte ich [mm] \bruch{1}{2+cos(x)}
[/mm]
Habe ich hier einen Fehler?
Wenn also gilt: 1+cos(x)=2 dann wäre cos(x)=1 und da Kosinus eine Periodische Funktion ist, liegen die Polstellen lt. Formelsammlung bei [mm] x_{k}= \pi/2 [/mm] + [mm] k*\pi. [/mm] Eigentlich verständlich. In der Lösung steht jedoch x=2 [mm] \pi [/mm] n. Das kann ich nicht nachvollziehen?!?
Und wenn ich die Nullstellen der Funktion haben möchte käme ich ja wg. [mm] \bruch{1}{1+cos(x)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] auf 1 = 1 und dies würde 0 = 0 bedeuten, wie kann man das verstehen?
Bei der Ableitung habe ich raus f´(x)= [mm] \bruch{sin(x)}{(1+cos(x))²}
[/mm]
Um die Extrema zu berechnen, setze ich sin(x) = 0 dann erhalte ich lt. Formelsammlung eine Minima bei [mm] x_{k}=\pi/2 [/mm] + [mm] k*2\pi.
[/mm]
Jedoch habe ich in der Lösung wieder [mm] x=2*n*\pi [/mm] stehen.
Ich stehe mit dieser Aufgabe wirklich auf Kriegsfuß :)
mfG Rapo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Di 03.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo schachuzipus, danke für die schnelle Antwort!
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> Es gilt ja [mm]\bruch{a}{b}[/mm] +/- [mm]\bruch{c}{d}[/mm] = [mm]\bruch{a*d +/- b*c}{b*d}[/mm]
>
> Dementsprechend habe ich [mm]\bruch{1}{1+cos(x)}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> = [mm]\bruch{1*2 - (1+cos(x))*1}{(1+cos(x))*2}[/mm] = [mm]\bruch{1+cos (x)}{2+2cos(x)}[/mm]
> durch kürzen erhalte ich [mm]\bruch{1}{2+cos(x)}[/mm]
> Habe ich hier einen Fehler?
Ja. $-(1+cosx)=-1-cosx$
>
>
> Wenn also gilt: 1+cos(x)=2 dann wäre cos(x)=1 und da
> Kosinus eine Periodische Funktion ist, liegen die
> Polstellen lt. Formelsammlung bei [mm]x_{k}= \pi/2[/mm] + [mm]k*\pi.[/mm]
> Eigentlich verständlich.
Nein, denn es ist falsch !
> In der Lösung steht jedoch x=2
> [mm]\pi[/mm] n. Das kann ich nicht nachvollziehen?!?
Mach Dir doch mal eine Zeichnung !!
>
>
> Und wenn ich die Nullstellen der Funktion haben möchte
> käme ich ja wg. [mm]\bruch{1}{1+cos(x)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] auf 1 = 1
rätselhaft ??
> und dies würde 0 = 0 bedeuten, wie kann man das
> verstehen?
>
> Bei der Ableitung habe ich raus f´(x)=
> [mm]\bruch{sin(x)}{(1+cos(x))^2}[/mm]
> Um die Extrema zu berechnen, setze ich sin(x) = 0 dann
> erhalte ich lt. Formelsammlung eine Minima bei [mm]x_{k}=\pi/2[/mm]
> + [mm]k*2\pi.[/mm]
Das stimmt auch nicht ! Zeichnung !
> Jedoch habe ich in der Lösung wieder [mm]x=2*n*\pi[/mm] stehen.
Auch das ist falsch. Richtig: [mm]x=n*\pi[/mm]
FRED
>
> Ich stehe mit dieser Aufgabe wirklich auf Kriegsfuß :)
>
> mfG Rapo
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Hallo Fred,
> >
> > Bei der Ableitung habe ich raus f´(x)=
> > [mm]\bruch{sin(x)}{(1+cos(x))^2}[/mm]
> > Um die Extrema zu berechnen, setze ich sin(x) = 0 dann
> > erhalte ich lt. Formelsammlung eine Minima bei [mm]x_{k}=\pi/2[/mm]
> > + [mm]k*2\pi.[/mm]
>
> Das stimmt auch nicht ! Zeichnung !
> > Jedoch habe ich in der Lösung wieder [mm]x=2*n*\pi[/mm]
> stehen.
>
> Auch das ist falsch. Richtig: [mm]x=n*\pi[/mm]
Obacht mit den Nullstellen des Nenners!
Bei ungeraden Vielfachen von [mm] $\pi$ [/mm] gibt's Pole!
>
>
> FRED
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Di 03.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> > >
> > > Bei der Ableitung habe ich raus f´(x)=
> > > [mm]\bruch{sin(x)}{(1+cos(x))^2}[/mm]
> > > Um die Extrema zu berechnen, setze ich sin(x) = 0 dann
> > > erhalte ich lt. Formelsammlung eine Minima bei [mm]x_{k}=\pi/2[/mm]
> > > + [mm]k*2\pi.[/mm]
> >
> > Das stimmt auch nicht ! Zeichnung !
> > > Jedoch habe ich in der Lösung wieder [mm]x=2*n*\pi[/mm]
> > stehen.
> >
> > Auch das ist falsch. Richtig: [mm]x=n*\pi[/mm]
>
> Obacht mit den Nullstellen des Nenners!
Hallo schachuzipus,
Du hast natürlich wie immer recht. Ich hab nicht aufgepasst !
FRED
>
> Bei ungeraden Vielfachen von [mm]\pi[/mm] gibt's Pole!
>
> >
> >
> > FRED
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Di 03.05.2011 | | Autor: | Rapo |
> > Es gilt ja [mm]\bruch{a}{b}[/mm] +/- [mm]\bruch{c}{d}[/mm] = [mm]\bruch{a*d +/- b*c}{b*d}[/mm]
>
> >
> > Dementsprechend habe ich [mm]\bruch{1}{1+cos(x)}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> > = [mm]\bruch{1*2 - (1+cos(x))*1}{(1+cos(x))*2}[/mm] = [mm]\bruch{1+cos (x)}{2+2cos(x)}[/mm]
> > durch kürzen erhalte ich [mm]\bruch{1}{2+cos(x)}[/mm]
> > Habe ich hier einen Fehler?
>
> Ja. [mm]-(1+cosx)=-1-cosx[/mm]
Das erklärt mir einiges. Da lag mein Fehler. Ich habe das Minus Zeichen vor der Klammer übersehen wodurch der Rest der Rechnung fehlerhaft wurde.
Vielen Dank für die Info.
> > In der Lösung steht jedoch x=2
> > [mm]\pi[/mm] n. Das kann ich nicht nachvollziehen?!?
>
> Mach Dir doch mal eine Zeichnung !!
Ich lasse Matlab zeichnen.
> >
> > Und wenn ich die Nullstellen der Funktion haben möchte
> > käme ich ja wg. [mm]\bruch{1}{1+cos(x)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] auf 1 =
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>
> rätselhaft ??
Ja.
Hat sich erledigt, vielen Dank nochmal für eure Hilfe!
mfG Rapo
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