Extremalproblem < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 Mo 03.01.2005 | | Autor: | Chaosfee |
also, ich gehe 12 klasse und habe das mathematische verständnis einer stubenfliege
da ich in sport dieses jahr wegen einer knieverletzung oft gefehlt habe, bin ich leider nicht über die 5-punkte grenze drüber gekommen.
nun siehts in mathe auch böse aus [mm] O_o [/mm] Mathe brauch ich aber, sonst kann ich das jahr nochmal wiederholen !
hab darum von meiner lehrerin ne aufgabe bekommen die ich nach den ferien vorstellen soll. handelt sich um ein extremalproblem:
"Eine der Ecken eines achsenparallelen(?) Rechteckes liegt im Urpsrung, während die gegenüberliegende Ecke P auf dem Graphen der Funktion zu f(x)= 2 / (x³+1) liegt. Bestimmen sie den maximalen Inhalt, den ein solches Rechteck annehmen kann!"
Die Aufgabe befindet sich in dem Analysis für 12. Klasse buch(ist ein rotes mit ner art schloss vorne drauf) auf seite 216.
Ich glaube um den graphen zu bestimmen, müsste ich ne kurvendiskussion ausführen, oder?
achja, ich hab eventuell etwas übertrieben, ein WENIG mathe kann ich schon, ich brauch aber ne anleitung, was ich nun genau machen soll!
(und bitte nicht mit fachbegriffen um euch werfen )
bin für jede hilfe sehr sehr dankbar!
auf jedenfall weiss ich, dass ich ersteinmal ne kurvendiskussuin ausführen muss, damit ich den graphen hab.
dort hänge ich aber an der zweiten ableitung fest.
f'(x) = -2 * 3x² / (x³ + 1)²
(ohne gewähr, winfunktion spukt aber so was ähnliches aus)
bei f''(x) hab ich derzeit raus:
[mm] 24x^7 [/mm] + [mm] 12x^5 [/mm] + [mm] 30x^4 [/mm] + (-12 x²) + 6x / [mm] (x³+1)^4
[/mm]
ist aber bestimmt falsch...
habe beide ableitungen mit der qoutientenregel gelöst.
lg Chaosfee
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Zuerstmal: gleich ne komplette Kurvendiskussion der Funktion f(x) brauchst du hier nicht.
Hier soll ein Flächeninhal maximal werden. Immer, wenn irgendwas maximal oder minimal werden soll, brauchst du einen Teil der Kurvendiskussion. Nämlich den Teil, der dir die Maxima bzw. Minima berechnet - dazu später mehr.
Aber was hier maximiert werden soll, ist nicht die Funktion f(x) (wir suchen hier nicht nach Hoch- oder Tiefpunkten dieser Kurve), sondern das Maximum der Flächeninhaltsfunktion.
Zuerstmal bräuchtest du ne kleine Skizze der Kurve, um dir alles besser vorstellen zu können. Bei [mm]x=-1[/mm] ist die Funktion übrigens nicht definiert, weil dort der Nenner =0 werden würde.
Kleine Zwischenfrage: stand in der Aufgabe auch irgendwo der Zusatz "Rechteck im ersten Quadranten"? Das würde bedeuten, man darf das Rechteck nur im "rechten oberen Teil" des Koordinatensystems platzieren (dort, wo sowohl die x- , als auch die y-Werte positiv sind).
Ohne diese Beschränkung würde der Flächeninhalt in der Nähe der Unstetigkeitsstelle von f(x), also bei [mm]x=-1[/mm], jeweils [mm]\to -\infty[/mm] gehen.
In der Skizze siehst du die Kurve von f(x), außerdem (in schwarz) eine Möglichkeit, das Rechteck im ersten Quadranten zu platzieren. Das rote Rechteck wäre eine Möglichkeit, den Flächeninhalt im 2. Quadranten zu betrachten.
Im Folgenden werde ich aber davon ausgehen, dass das Rechteck im 1. Quadranten liegen soll!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ach ja: "achsenparallel" bedeutet nur, dass die Seiten des Rechtecks parallel zu den beiden Koordinatenachsen (also x- und y-Achse) liegen sollen.
Der Punkt P soll bei irgendeinem positiven x-Wert liegen. Diesen werde ich im Folgende u nenne, einfach damit es keine Verwechslung mit f(x) gilt. Die Flächeninhaltsfunktion wird dann einfach A(u) heißen, sonst ändert sich nix.
Der x-Wert von P ist also u. Und da P auf der Kurve von f(x) liegen soll, muss der y-Wert von P gerade f(u) sein. Also hat der Punkt die Koordinaten: [mm]P(u/f(u))[/mm].
Jetzt wollen wir die Flächeninhaltsfunktion (die "Zielfunktion") aufstellen.
Ein Rechteck mit Kantenlängen a und b hat die Fläche [mm]A=a \cdot b[/mm]. Also ist in unserem Fall [mm]a=u[/mm] und [mm]b=f(u)[/mm].
Ganz wichtig: wir haben anfangs [mm]u>0[/mm] definiert, und dort liegt auch die Kurve von f über der x-Achse, hat also positive y-Werte, also ist auch [mm]f(u)>0[/mm].
Warum wichtig? Würde die Kurve von f z.B. unter der x-Achse liegen, dann hätte man mit dem Produkt [mm]u \cdot f(u)[/mm] einen negativen Flächeninhalt. Und die Überraschung ist am Ende der Rechnung immer groß, wenn man ein Maximum erwartet, aber stattdessen ein Minimum berechnet, ohne sich wirklich verrechnet zu haben.
Also lautet unsere Flächeninhaltsfunktion:
[mm]A(u)\ =\ u \cdot f(u)\ =\ u \cdot \bruch{2}{u^3+1}\ = \bruch{2u}{u^3+1}[/mm].
Und von dieser Funktion ist unter der Bedingung u>0 das Maximum zu finden.
Was ist dann noch zu beachten? Also: für Extrema setzt man erstmal die 1. Ableitung =0. Wichtig: ein Bruch wird genau dann =0, wenn der Zähler =0 wird (und der Nenner nicht). Also nur Zählerfunktion der 1. Ableitung auf Nullstellen untersuchen!
Für ein Maximum muss noch die 2. Ableitung <0 sein. Also den x-Wert, den man beim 1.Ableitung-gleich-Null-setzen gefunden hat, in die 2. Ableitung einsetzen und hoffen, dass etwas Negatives rauskommt.
Und, was bei Aufgaben dieser Art auch immer ganz wichtig ist (weil man wirklich das absolute Maximum sucht, und für u nicht alle Werte zugelassen sind): die sog. "Randwertbetrachtung".
Erstmal ein Bildchen, warum das so wichtig ist:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die abgebildete Kurve sei deine Flächeninhaltsfunktion A(u), und das u sei zwischen den beiden senkrechten roten Strichen "eingesperrt".
Wir wollen das Maximum des Flächeninhalts innerhalb der roten Striche, also das Maximum von A(u).
Wenn man A'(u)=0 setzt, dann bekommt man nur Stellen, an denen die Steigung =0 ist (also lokaler Hoch- / Tiefpunkt, oder Sattelpunkt). In meiner Skizze also die beiden kleinen "Hügel" in der Mitte des roten Intervalls. Aber ist das wirklich der größte Wert von A(u)? Eben nicht, weil am rechten Rand meines Intervalls ein größerer A(u)-Wert auf mich wartet, den ich mit A'(u)=0 setzen nicht bekomme, weil dort die Steigung nicht =0 ist.
Klar geworden?
Also wenn du berechnet hat, bei welchem x-Wert dein Maximum liegt (ich nenne ihn jetzt mal [mm]u_{max}[/mm]), dann berechnest du [mm]A(u_{max})[/mm].
Und dann musst du an die Grenzen deines Definitionsbereiches gehen, also [mm]\limes_{u\rightarrow0} {A(u)}[/mm] , und [mm]\limes_{u\rightarrow\infty} {A(u)}[/mm] berechnen.
Und wenn beide Werte kleiner sind, als der schon vorher berechnete Wert [mm]A(u_{max})[/mm], dann liegt für den x-Wert [mm]u_{max}[/mm] tatsächlich ein Maximum vor, mit dem zugehörigen maximalen Flächeninhalt [mm]A(u_{max})[/mm].
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Noch ein paar Kleinigkeiten zu den Ableitungen: die Quotientenregel zu benutzen, ist richtig - du schreibst aber: "von winfunktion".
Wenn die Funktion heißt [mm]f(x)=\bruch{u}{v}[/mm], dann bekommst du die Ableitung ja durch [mm]f'(x)=\bruch{u'\ \cdot v\ -\ u\ \cdot v'}{v^2}[/mm].
Also hier mal am Beispiel von f(x) (mit A(u) kannst es ja dann selber probieren):
[mm]f(x)=\bruch{2}{x^3+1}[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f'(x)=\bruch{0\cdot (x^3+1)\ -\ 2\cdot (3\cdot x^2)}{(x^3+1)^2}=\bruch{-6x^2}{(x^3+1)^2}[/mm]
Also hat Winfunktion recht 
Und die zweite Ableitung:
[mm]f''(x)=\bruch{-12x\ \cdot\ (x^3+1)^2\ -\ (-6x^2) \cdot 2 \cdot (x^3+1) \cdot 3x^2}{(x^3+1)^4}[/mm].
In der zweiten Hälfte im Zähler wurde die Kettenregel verwendet: äußere mal innere Ableitung, also: [mm](x^3+1)^2 \to \underbrace{2 \cdot (x^3+1)}_{aeussere} \cdot \underbrace{3x^2}_{innere}[/mm].
Und jetzt noch ein Trick (klappt bei solchen Funktionen immer spätestens ab der 2. Ableitung): im Zähler kannst du einmal den Faktor [mm](x^3+1)[/mm] ausklammern, und einmal mit dem Nenner rauskürzen. Dann haben wir noch: [mm]f''(x)=\bruch{-12x \cdot (x^3+1)\ +\ 6x^2 \cdot 2 \cdot 3x^2}{(x^3+1)^3}\ =\ \bruch{24x^4-12x}{(x^3+1)^3}[/mm].
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:06 Mo 03.01.2005 | | Autor: | e.kandrai |
Und falls es dich interessiert: so sieht die Flächeninhaltsfunktion A(u) aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wir haben, wegen u>0, aber nur den Abschnitt rechts der y-Achse betrachtet.
Und dass der "Flächeninhalt" auch negativ werden kann, wenn man nicht darauf achtet, welche Vorzeichen u und f(u) haben, siehst du im Intervall [mm]]-1;0[[/mm].
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:14 Mo 03.01.2005 | | Autor: | Chaosfee |
aber ich hab jetzt eindeutig mehr verstanden ! ich kann jetzt alle schritte sauber nachvollziehen und bleib hoffentlich nicht mehr an eventuellen fragen meiner lehrerin zu der aufgabe hängen [mm] O_o [/mm] ich muss das an der tafel vorstellen, und sie will immer, dass man viiiiel dazu erzählt -.-
danke für deine mühe :)
eine frage hab ich aber noch:
"Also wenn du berechnet hat, bei welchem x-Wert dein Maximum liegt (ich nenne ihn jetzt mal ), dann berechnest du .
Und dann musst du an die Grenzen deines Definitionsbereiches gehen, also , und berechnen.
Und wenn beide Werte kleiner sind, als der schon vorher berechnete Wert , dann liegt für den x-Wert tatsächlich ein Maximum vor, mit dem zugehörigen maximalen Flächeninhalt . "
kann man das auch anders, als mit dem limes machen? hatte mich da nämlich damals nur mehr oder weniger durchgewunden ohne viel verstanden zu haben O-O
achja, da stand keine beschränkung dazu. nur die aufgabe, wie ich sie genannt habe.
@ Disap
an sich finde ich das ganze forum ein wenige kompliziert organisiert [mm] O_o [/mm] allein schon das profil was man alles verändern kann. und was man nicht überall alles eingeben muss. dafür kannst du ja auch nix, aber ich finde es ein wenig sinnlos mit dem "ich hab schon mal gefragt oder nicht"
eine zweite meinung bringt immer mehr klarheit !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 Mo 03.01.2005 | | Autor: | e.kandrai |
Disap hatte sich wohl auch daran gestört, dass du geschrieben hattest, du hättest diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Zu deinen Fragen: zuerst mal werde ich sie so beantworten, als gäbe es die Einschränkung auf den 1. Quadranten. Danach sag ich dir, warum du gar nichts rechnen brauchst (in der ganzen Aufgabe nicht!), wenn es überhaupt keine Einschränkung gibt.
Also: manchmal lässt sich der Limes umgehen (warum haben immer so viele Panik davor?). Umgehen lässt er sich dann, wenn man den Wert, gegen den's gehen soll, einfach einsetzen kann, und es ergibt sich kein "ernsthaftes Problem" (wie Null im Nenner, was Negatives unter der Wurzel, etc.).
Im ersten Fall geht das also: bei [mm]\limes_{u\rightarrow0} {A(u)}\ =\ \limes_{u\rightarrow0} {\bruch{2u}{u^3+1}}\ =\ \bruch{2\cdot0}{0^3+1}\ =\ \bruch{0}{1}\ =\ 0[/mm]. Ein Problem wär's gewesen, wenn auch oder nur der Nenner für u=0 auch Null geworden wäre.
Nicht ganz so einfach geht es beim zweiten Limes: [mm]\limes_{u\rightarrow\infty} {A(u)}[/mm]. Denn [mm]\infty[/mm] ist keine Zahl, die man "einfach so" einsetzen kann.
Rückblick auf die 11. Klasse: "gebrochenrationale Funktionen" (das Zeug mit den Asymptoten: x-Achse, waagrechte und schiefe Asymptoten, bzw. asymptotische Kurven). Man schaut sich Zählergrad und Nennergrad an (also die höchste Hochzahl, die in Zähler und Nenner jeweils bei der VAriablen vorkommt). Hier ist also Zählergrad=1 und Nennergrad=3. Somit wächst der Nenner für [mm]x \to \infty[/mm] schneller [mm]\to \infty[/mm] (obwohl es beide einzeln betrachtet tun), und somit geht der Bruchwert [mm]\to 0[/mm], also: [mm]\limes_{u\rightarrow\infty} {A(u)}=0[/mm].
Dieses Limes-Thema ist sicher nicht das wichtigste im Abi, aber an einigen Stellen ganz brauchbar. Du solltest vor allem wissen, dass bei einem Limes der Art [mm]\limes_{x\rightarrow c} {f(x)}[/mm] "einfach nur" alle x-Werte gegen den Wert c gehen sollen, in so 'nem Fall klappt oft die Einsetz-Methode. Aber wenn's dann mal um ein [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} {f(x)}[/mm] geht, dann solltest du (bei diesen "Bruch-Funktionen", auch 'gebrochenrationalen Funktionen' genannten) diese Zählergrad-Nennergrad-Vergleiche kennen, oder noch geschickter: schau dir nochmal die "Regeln von de l'Hôpital" an (oder poste ne neue Frage dazu, falls es nicht klar ist).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Di 04.01.2005 | | Autor: | Chaosfee |
ich habe meine lehrerin gefragt, sie sagte, dass sie eine beschränkung auf einen positiven x wert also x > 0 vorgesehen hatte(durch die ferien und weil am letzten tag soviel los war, ist das aber scheinbar untergegangen)
also nehme ich mal an, dass das rechteck nur im 1. quadranten(sprich in den rechten oberen ecke) sein soll, oder?
vereinfacht das ein wenig die limes berechnung? (ich hab versucht, das nochmal per internet, meinen aufzeichnungen bzw tafelwerk zu verstehen - keine chance ^^#)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Di 04.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Chaosfee!
> ich habe meine lehrerin gefragt, sie sagte, dass sie eine
> beschränkung auf einen positiven x wert also x > 0
> vorgesehen hatte(durch die ferien und weil am letzten tag
> soviel los war, ist das aber scheinbar untergegangen)
>
> also nehme ich mal an, dass das rechteck nur im 1.
> quadranten(sprich in den rechten oberen ecke) sein soll,
> oder?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Damit ist die Antwort von e.kandrai gültig...
Er hatte ja angenommen, daß das gesuchte Rechteck im 1. Quadranten liegen soll (das schwarze Rechteck in seiner Skizze).
> vereinfacht das ein wenig die limes berechnung? (ich hab
> versucht, das nochmal per internet, meinen aufzeichnungen
> bzw tafelwerk zu verstehen - keine chance ^^#)
In den meisten Fällen werden die Randbetrachtungen, sprich: die Limes-Berechnungen für die Ränder (hier: $u [mm] \to [/mm] 0$ bzw. $u [mm] \to \infty$) [/mm] ziemlich stiefmütterlich behandelt ![[cry01]](/images/smileys/cry01.gif "[cry01]") .
In unserem Fall haben wir ja auch noch eine schöne Skizze der Funktion für den Flächeninhalt des Rechteckes in Abhängigkeit von u: A(u)
Guckst Du hier: Bild A(u)
Darin ist der Grenzwert für $u [mm] \to [/mm] 0$ ja schnell erkannt:
[mm] $\limes_{u\rightarrow0} [/mm] A(u) = A(0) = 0$
Wie bereits oben geschrieben wurde: einfach 0 einsetzen in die Funktionsvorschrift für A(u).
Für $u [mm] \to \infty$ [/mm] sehen wir doch, daß die entsprechenden Rechtecke zwar immer breiter werden. Aber die zugehörige Höhe wird nahezu zu 0.
Daher die Grenzwertbetrachtung (s.o.).
[mm] $\limes_{u\rightarrow\infty}A(u)$
[/mm]
$= [mm] \limes_{u\rightarrow\infty}\bruch{2u}{u^3 + 1}$ [/mm] ... Kürzen durch [mm] $u^3$ [/mm] = höchste Potenz im Ausdruck
$= [mm] \limes_{u\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{2u}{u^3}}{\bruch{u^3}{u^3} + \bruch{1}{u^3}}$
[/mm]
$= [mm] \limes_{u\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{2}{u^2}}{1 + \bruch{1}{u^3}} [/mm] = [mm] \bruch{0}{1 + 0}= [/mm] 0$
Allet klar ??
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Di 04.01.2005 | | Autor: | Chaosfee |
1. Ableitung
A(u)= 2x / x³+1
u= 2x u'= 2
v= x³+1 v'= 3x²
v²= (x³+1)²
= 2* (x³+1) - 2x*3x² / (x³+1)²
= 2x³ + 2 - 6x³ / (x³+1)²
A'(u)= -4x³ + 2 / (x³+1)²
Extrema
0= -4x³ + 2 [ - 2
-2 = -4x³ [ /(-4)
x³ = 0,5 [dritte wurzel ziehen
x= die dritte wurzel aus 0,5
2. Ableitung
A'(u)= -4x³ + 2 / (x³+1)²
u= -4x³ + 2 u'= -12x²
v= (x³ + 1)² v' 2*(x³+1) + 3x²
v²= [mm] (x³+1)^4
[/mm]
= -12x² * (x³+1)² + (4x³ + 2) * (6x² * (x³ + 1)) / [mm] (x³+1)^4
[/mm]
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v
(x³ + 1) * (x³+1)
[mm] x^6 [/mm] + x³ + x³ + 1
[mm] x^6 [/mm] + 2x³ + 1
=-12x² + [mm] (x^6 [/mm] + 2x³ + 1) + (4x³ + 2) * [mm] (6x^5 [/mm] + 6x²)
= [mm] -12x^8 [/mm] - [mm] 24x^5 [/mm] - 12x² + (4x³ + 2) * [mm] (6x^5 [/mm] + 6x²)
= [mm] -12x^8 [/mm] - [mm] 24x^5 [/mm] - 12x² + [mm] 24x^8 [/mm] + [mm] 24x^5 [/mm] + [mm] 12x^5 [/mm] + 12x²
A''(u) = [mm] 12x^8 [/mm] + [mm] 12x^5
[/mm]
extrema in zweite ableitung eingesetzt: ergebnis = 5,6696
---> sprich ich bekomm was positives raus. aber es sollte ja eigentlich was negatives rauskommen?!
heisst das, dass das rechteck nicht rechts sondern links von der y achse sein muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Di 04.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Chaosfee,
eine kleine Bitte vorneweg:
Mach Dich in einem ruhigen Moment mal mit unserem Formeleditor vertraut. Das kriegt man schon hin.
Das vereinfacht die Kontrolle gerade bei diesen komplexen Funktionen erheblich  .
> 1. Ableitung
> A(u)= 2x / x³+1
>
> u= 2x u'= 2
> v= x³+1 v'= 3x²
> v²= (x³+1)²
>
> = 2* (x³+1) - 2x*3x² / (x³+1)²
>
> = 2x³ + 2 - 6x³ / (x³+1)²
>
> A'(u)= -4x³ + 2 / (x³+1)²
Natürlich vorne A'(x), oder nur u auf der rechten Seite ...
Mit Formeleditor sieht das dann so aus (wenn Du mit dem Mauszeiger mal daraufgehst, siehst Du die Schreibweise):
$A'(x) = [mm] \bruch{-4x^3+2}{(x^3+1)^2}$
[/mm]
> Extrema
>
> 0= -4x³ + 2 [ - 2
>
> -2 = -4x³ [ /(-4)
>
> x³ = 0,5 [dritte wurzel ziehen
>
> x= die dritte wurzel aus 0,5
[mm] $x_E [/mm] = [mm] \wurzel[3]{0,5} \approx [/mm] 0,794$
> 2. Ableitung
>
> A'(x)= -4x³ + 2 / (x³+1)²
>
> u= -4x³ + 2 u'= -12x²
> v= (x³ + 1)² v' 2*(x³+1) + 3x²
> v²= [mm](x³+1)^4[/mm]
>
> = -12x² * (x³+1)² + (-4x³ + 2) * (6x² * (x³ + 1)) /
> [mm](x³+1)^4[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier hast Du ein Minuszeichen vor dem [mm] $4x^3$unterschlagen [/mm] (siehe rote Markierung) ... Ich denke mal, das war nur ein Schusselfehler - leider mit großer Wirkung ... ![[heul]](/images/smileys/heul.gif "[heul]")
Den weiteren Rechenweg hab ich dann nicht mehr nachgerechnet.
Ein Tipp bei gebrochen-rationalen Funktionen ("Bruchfunktionen"):
Im allgemeinen kannst Du spätestens ab der 2. Ableitung einen (Teil-)Term kürzen. Das vereinfacht das Weiterrechnen ungemein.
In unserem Beispiel wäre das der Term [mm] $(x^3+1)$, [/mm] den man kürzen könnte.
Als Kontrollergebnis habe ich mal die 2. Ableitung ermittelt (bitte nachrechnen!!):
$A''(x) = [mm] \bruch{-12x^6 + 24x^5 - 12x^3 - 12x^2}{(x^3+1)^3}$
[/mm]
$A''(x) = [mm] \bruch{-12x^2 * (x^4 - 2x^3 + x + 1)}{(x^3+1)^3}$
[/mm]
Bei dieser Ableitung sollte für [mm] $A''(x_E) [/mm] = [mm] A''(\wurzel[3]{0,5})$ [/mm] wie gewünscht etwas negatives 'rauskommen ...
Nicht vergessen: Funktionswert für [mm] $A_{max} [/mm] = [mm] A(x_E)$ [/mm] ermitteln.
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Di 04.01.2005 | | Autor: | Chaosfee |
-grr- sowas passiert mir ständig! ich habs bestimmt 10 mal nachgerechnet und hab den fehler nicht gefunden >:( das blöde ist, so geht das auch immer in mathe arbeiten -.-
so und jetzt habe ich meinen negativen extrempunkt. und nu?
und was meinst du mit funktionswert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Di 04.01.2005 | | Autor: | Loddar |
> -grr- sowas passiert mir ständig! ich habs bestimmt 10 mal
> nachgerechnet und hab den fehler nicht gefunden >:( das
> blöde ist, so geht das auch immer in mathe arbeiten -.-
Das ist ärgerlich, das versteh' ich ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
> so und jetzt habe ich meinen negativen extrempunkt. und nu?
Jetzt müssen wir etwas im Sprachgebrauch aufpassen:
Wir haben ja kein "negativen Extrempunkt", wie Du das nennst ...
Zu einem Punkt gehören immer zwei (evtl. drei) Werte:
P (x | y ).
Wir haben zunächst eine "Stelle" (= x-Wert) berechnet ...
Wir haben zunächst ermittelt, die Nullstelle(n) der 1. Ableitung.
Dies' ist ein notwendiges Kriterium für eine Extremstelle.
Diesen Wert haben wir eingesetzt in die 2. Ableitung.
Wir wissen, wenn an dieser Stelle die 2. Ableitung ungleich 0 ist, liegt wirklich eine Extremstelle [mm] $x_E$ [/mm] vor.
Aus dem Vorzeichen der 2. Ableitung an der Stelle [mm] $x_E$ [/mm] können wir sogar den Typ des Extremums erkennen:
Für [mm] $f'(x_E) [/mm] = 0$ und [mm] $f''(x_E) [/mm] < 0$ gilt: [mm] $x_E$ [/mm] ist ein Maximum.
Für [mm] $f'(x_E) [/mm] = 0$ und [mm] $f''(x_E) [/mm] > 0$ gilt: [mm] $x_E$ [/mm] ist ein Minimum.
Dies' haben wir ja bereits gemacht.
Daher wissen wir: bei [mm] $x_E [/mm] = [mm] \wurzel[3]{0,5}$ [/mm] liegt ein Maximum der Funktion A(x) vor. Genau das, was wir gesucht haben
> und was meinst du mit funktionswert?
Doch wie groß ist denn nun diese maximale Fläche des ermittelten Dreieckes?
Dafür setzen wir unseren ermittelten Wert in die Ursprungsfunktion für den Flächeninhalt ein.
Wir ermitteln nun den zugehörigen y-Wert: [mm] $y_E [/mm] = [mm] f(x_E)$.
[/mm]
[mm] $A_{max} [/mm] = [mm] A(x_E) [/mm] = [mm] A(\wurzel[3]{0,5}) [/mm] = [mm] \bruch{2x_E}{x_E^3+1} [/mm] = [mm] \bruch{2*\wurzel[3]{0,5}}{(\wurzel[3]{0,5})^3+1} [/mm] = [mm] \bruch{2*\wurzel[3]{0,5}}{0,5+1} [/mm] = [mm] \bruch{2*\wurzel[3]{0,5}}{\bruch{3}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{4}{3}*\wurzel[3]{0,5} \approx [/mm] 1,058 [F.E.]$
Nun alle Klarheiten beseitigt ??
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Di 04.01.2005 | | Autor: | Chaosfee |
allerdings O _ o
wäre ich nie im leben selbst darauf gekommen [mm] O_o
[/mm]
also kann das rechteck maximal 1,058Flächeneinheiten groß werden? kommt mir so winzig voR [mm] O_o
[/mm]
gibt es noch eine möglichkeit, das rechteck im koordinatensystem zu lokalisieren?(wenns zu kompliziert ist, lass es bitte, das verwirrt nur noch mehr -g-)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Do 06.01.2005 | | Autor: | Chaosfee |
$ [mm] A_{max} [/mm] = [mm] A(x_E) [/mm] = [mm] A(\wurzel[3]{0,5}) [/mm] = [mm] \bruch{2x_E}{x_E^3+1} [/mm] = [mm] \bruch{2\cdot{}\wurzel[3]{0,5}}{(\wurzel[3]{0,5})^3+1} [/mm] = [mm] \bruch{2\cdot{}\wurzel[3]{0,5}}{0,5+1} [/mm] = [mm] \bruch{2\cdot{}\wurzel[3]{0,5}}{\bruch{3}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{4}{3}\cdot{}\wurzel[3]{0,5} \approx [/mm] 1,058 [F.E.] $
das hat nicht hin !
2* dritte wurzel aus 0,5 / dritte wurzel ^3 +1 = 1,058267368 * dritte wurzel aus 0,5 = 0,839947
hast du dich verrechnet oder ich?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Do 06.01.2005 | | Autor: | Chaosfee |
1,058 bekomme ich raus, wenn ich einfach nur [mm] \wurzel[3]{0,5} [/mm] in die ausgangsgleichung f(x) einsetze!
dann habe ich ja mein a von A= a*b raus.
jetzt brauch ich doch aber noch b und das ist ja [mm] \wurzel[3]{0,5} [/mm]
also dann das ergebnis von [mm] f(\wurzel[3]{0,5} [/mm] ) * [mm] \wurzel[3]{0,5} [/mm]
und da komme ich auf 0,839947
oder habe ich da jetzt so einen großen denkfehler drin?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Do 06.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Also, nochmal langsam ...
Wir suchen den maximalen Flächeninhalt [mm] $A_{max}$ [/mm] eines Rechteckes mit den Abmessungen a (= Grundseite = horizontale Seite) und b (= vertikale Seite) unterhalb der Funktion $f(x) = [mm] \bruch{2}{x^3+1}$.
[/mm]
Für den Flächeninhalt aller dieser Rechtecke gilt $A(a) = [mm] \bruch{2a}{a^3+1}$, [/mm] da gilt: [mm] $A_{Rechteck} [/mm] = a * b = a * f(a)$.
Die Grundseite a haben wir ermittelt zu [mm] $a_E [/mm] = [mm] \wurzel[3]{0,5} \approx [/mm] 0,794$.
Die (vertikale) Rechteckseite b wird dann zu:
[mm] $b_E [/mm] = [mm] f(a_E) [/mm] = [mm] \bruch{2}{a_E^3+1} [/mm] = [mm] \bruch{2}{(\wurzel[3]{0,5})^3+1} [/mm] = [mm] \bruch{2}{0,5+1} [/mm] = [mm] \bruch{4}{3} \approx [/mm] 1,333$.
Der (max.) Flächeninhalt [mm] $A_{max} [/mm] $ unseres gesuchten Rechteckes lautet also:
[mm] $A_{max} [/mm] = [mm] a_E [/mm] * [mm] b_E [/mm] = [mm] \wurzel[3]{0,5} [/mm] * [mm] \bruch{4}{3} \approx [/mm] 0,794 * 1,333 [mm] \approx [/mm] 1,058$
Oder aber ich setze [mm] $a_E$ [/mm] in unsere "Flächenfunktion ein, was letztendlich natürlich dasselbe ergibt:
[mm] $A_{max} [/mm] = [mm] A(a_E) [/mm] = [mm] \bruch{2*a_E}{a_E^3+1} [/mm] = [mm] \bruch{2*\wurzel[3]{0,5}}{(\wurzel[3]{0,5})^3+1} [/mm] = ... = 1,058$
Nun alle Klarheiten beseitigt ...
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Do 06.01.2005 | | Autor: | Chaosfee |
ich glaub ich habe "deinen" fehler. vll ist es auch nur ein verständigungsproblem.
in welche ausgangsgleichung muss das x denn nun eingesetzt werden?
in [mm] \bruch{2}{(x³+1)} [/mm] also die richtige ausgangs-ausgangsgleichung so wie sie in der frage stand, oder in die ermittelte ausgangsgleichung
[mm] \bruch{2x}{(x³+1)}
[/mm]
?
wenn ich nämlich mein ermitteltes x in [mm] \bruch{2}{(x³+1)} [/mm] einsetze und dass dann mit x nocheinmal multipliziere, bekomme ich als ergebnis auch 1,058 raus.
setze ich das x aber in [mm] \bruch{2x}{(x³+1)} [/mm] ein und multipliziere das ergebnis mit x, dann komme ich auf meine 0,85
also, welche ausgangsgleichung ist nun gemeint?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Do 06.01.2005 | | Autor: | Loddar |
![[huhu]](/images/smileys/huhu.gif "[huhu]")
> in welche ausgangsgleichung muss das x denn nun eingesetzt
> werden?
Es kommt darauf an, was Du berechnen möchtest ...
Für die Berechnung der (vertikalen) Rechteckseite b, setzt Du bitte in die Ursprungsfunktion $f(x) = [mm] \bruch{2}{x^3+1}$ [/mm] ein.
Um den maximalen Flächeninhalt zu ermitteln, bitte in die "Flächenfunktion" $A(x) = [mm] \bruch{2x}{x^3+1}$.
[/mm]
> oder in die ermittelte ausgangsgleichung [mm]\bruch{2x}{(x³+1)}[/mm]
Diese Funktion gibt uns den Flächeninhalt A an, deshalb haben wir auch (fast) immer geschrieben: A(x) = ...
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:26 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Chaosfee |
Hab das gestern vorgestellt, hab 13punkte bekommen(ich habs zwar verstanden, konnte das aber meinen mitschülern nicht ganz begreiflich machen!)
jetzt behandeln wir auch extremalprobleme richtig im unterricht.
ich hab mich also auf für mich neuland bewegt -g-
danke für die hilfe :)
meine mathenote ist jetzt gerettet(um 2 notenpunkte verbessert)
lg Chaosfee
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hier![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]"){kind=small}
Da fällt mir spontan nix ein ...
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
Ich denke mal schon: 1,058 ist ja bereits das Endergebnis!!
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
