Extremalproblem < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:11 Do 08.12.2011 | | Autor: | Sine_M |
| Aufgabe | Ein Unternehmen produziert 2 Versionen eines Produktes, eine Standardversion und Luxusversion. Auf je einen Monat bezogen ist die folgende Preis-Absatz-Funktion gegeben:
x1(P1)=1500-5p1
x2(p1,p2)=600+p1-2p2
aus denen sich die Erlösfunktion: E(p1,p2)=1500p1+600p2-5p1²+p1p2-2p2² ergeben hat.
x1,x2 in ME und p1,p2 in €
Für die Produktion je einer ME werden bei der Standardversion 4 Std. bei der Luxusversion 5 std. benötigt. Es steht eine Arbeitszeit von 4000 Std. zur verfügung. Welche Preise sollten für die beiden Versionen verlangt werden, wieviel könnte von beiden Versionen verkauft werden und wie hoch wäre der maximal erzielbare Erlös? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Lösung:
E(p1,p2)=1500p1+600p2-5p1²+p1p2-2p2²->max
4p1+5p2=4000 (Nebenbedingung)
Lagrange-Fkt. aufstellen:
L(p1,p2, λ)=1500p1+600p2-5p1²+p1p2-2p2²+λ(4000-4p1-5p2)
Partielle Ableitungen bilden:
Lp1=1500-10p1+p2-4λ
Lp2=600+p1-4p2-5λ
Lλ=4000-4p1-5p2
LGS lösen mit dem Basis-Austausch-Verfahren ergab:
P1=304,81
P2=236,15
λ=72,04
P1 und P2 in die Preis-Absatz-Funktionen einsetzten:
x1=-24,05 ME (kann es sein das etwas negatives rauskommt??)
x2=432,51 ME
P1 und P2 in die Erlös-Funktionen einsetzten:
E(304,81,236,15)=94806,55€
Ich bin mir unsicher, ob die Ergebnisse stimmen, da für x1 etwas negatives rauskommt...
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> Ein Unternehmen produziert 2 Versionen eines Produktes,
> eine Standardversion und Luxusversion. Auf je einen Monat
> bezogen ist die folgende Preis-Absatz-Funktion gegeben:
> x1(P1)=1500-5p1
> x2(p1,p2)=600+p1-2p2
> aus denen sich die Erlösfunktion:
> E(p1,p2)=1500p1+600p2-5p1²+p1p2-2p2² ergeben hat.
> x1,x2 in ME und p1,p2 in €
>
> Für die Produktion je einer ME werden bei der
> Standardversion 4 Std. bei der Luxusversion 5 std.
> benötigt. Es steht eine Arbeitszeit von 4000 Std. zur
> verfügung. Welche Preise sollten für die beiden Versionen
> verlangt werden, wieviel könnte von beiden Versionen
> verkauft werden und wie hoch wäre der maximal erzielbare
> Erlös?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Meine Lösung:
> E(p1,p2)=1500p1+600p2-5p1²+p1p2-2p2²->max
> 4p1+5p2=4000 (Nebenbedingung)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Deine Nebenbedingung stimmt nicht.
Sie muß doch heißen [mm] 4x_1+5x_2=4000.
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> Lagrange-Fkt. aufstellen:
> L(p1,p2,
> λ)=1500p1+600p2-5p1²+p1p2-2p2²+λ(4000-4p1-5p2)
> Partielle Ableitungen bilden:
> Lp1=1500-10p1+p2-4λ
> Lp2=600+p1-4p2-5λ
> Lλ=4000-4p1-5p2
>
> LGS lösen mit dem Basis-Austausch-Verfahren ergab:
> P1=304,81
> P2=236,15
> λ=72,04
>
> P1 und P2 in die Preis-Absatz-Funktionen einsetzten:
> x1=-24,05 ME (kann es sein das etwas negatives
> rauskommt??)
> x2=432,51 ME
>
> P1 und P2 in die Erlös-Funktionen einsetzten:
> E(304,81,236,15)=94806,55€
>
> Ich bin mir unsicher, ob die Ergebnisse stimmen, da für x1
> etwas negatives rauskommt...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Do 08.12.2011 | | Autor: | Sine_M |
Und wie muss ich dann weiter machen?
Muss ich E(p1,p2) in E(x1,x2) umwandeln?
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> Und wie muss ich dann weiter machen?
> Muss ich E(p1,p2) in E(x1,x2) umwandeln?
Hallo,
man hat wohl zwei Möglichkeiten:
1. Du formulierst die NB in Abhängigkeit von [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2
[/mm]
2. du formulierst die Erlösfunktion in Abhängigkeit von [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2.
[/mm]
Meinem Hausfrauenverstand ist Variante 2. begreiflicher.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Do 08.12.2011 | | Autor: | Sine_M |
Hallo!
Erstmal vielen Dank für die schnellen Antworten.
Aber ich verzweifel gerade.
Ich habe jetzt die Erlösfunktion auf [mm] x_{1},x_{2} [/mm] bezogen.
Hier meine Rechnung.
1. Die Preis-Absatz-Funktionen auf [mm] p_{1} [/mm] und [mm] p_{2} [/mm] umrechnen.
aus [mm] x_{1}(p_{1}) [/mm] wurde [mm] p_{1}(x_{1})=300-0,2x_{1}
[/mm]
aus [mm] x_{1}(p_{1},p_{2}) [/mm] wurde [mm] p_{2}(x_{1},x_{2})=-2250+0,5x_{1}+2,5x_{2}
[/mm]
2. Die Erlösfunktion umrechnen:
[mm] E(x_{1},x_{2})=x_{1}\*p_{1}(x_{1})+x_{2}\*p_{2}(x_{1},x_{2})
[/mm]
[mm] E(x_{1},x_{2})=300x_{1}-0,2x_{1}^{2}-2250x_{2}+0,5x_{1}x_{2}+2,5x_{2}^{2}
[/mm]
Dann bilde ich die Lagrange Funktion:
[mm] 300x_{1}-0,2x_{1}^{2}-2250x_{2}+0,5x_{1}x_{2}+2,5x_{2}^{2}+\lambda(4000-4300x_{1}-5x_{2})
[/mm]
Berechne die partiellen Ableitungen nach [mm] x_{1},x_{2} [/mm] und [mm] \lambda
[/mm]
und löse nach [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] und [mm] \lambda [/mm] auf.
[mm] x_{1}=350 [/mm] ME
[mm] x_{2}=520 [/mm] ME
[mm] \lambda=105
[/mm]
setzte [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] in die Preis-Absatz-Funktion ein und erhalte
[mm] p_{1}=230
[/mm]
[mm] p_{2}= [/mm] -775 (negatives Erg.)
und für [mm] E(x_{1},x_{2}) [/mm] erhalte ich -322500 € (negativer Erlös)
Das kann ja wieder nicht stimmen...
Sorry, aber ich weiß echt nicht was ich falsch mache...
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> Hallo!
> Erstmal vielen Dank für die schnellen Antworten.
> Aber ich verzweifel gerade.
> Ich habe jetzt die Erlösfunktion auf [mm]x_{1},x_{2}[/mm]
> bezogen.
> Hier meine Rechnung.
> 1. Die Preis-Absatz-Funktionen auf [mm]p_{1}[/mm] und [mm]p_{2}[/mm]
> umrechnen.
> aus [mm]x_{1}(p_{1})[/mm] wurde [mm]p_{1}(x_{1})=300-0,2x_{1}[/mm]
> aus [mm]x_{1}(p_{1},p_{2})[/mm] wurde
> [mm]p_{2}(x_{1},x_{2})=-2250+0,5x_{1}+2,5x_{2}[/mm]
Hallo,
[mm] p_1(x_1) [/mm] ist richtig, aber wie hast Du denn [mm] p_2(x_1, x_2) [/mm] ausgerechnet?
Gruß v. Angela
>
> 2. Die Erlösfunktion umrechnen:
>
> [mm]E(x_{1},x_{2})=x_{1}\*p_{1}(x_{1})+x_{2}\*p_{2}(x_{1},x_{2})[/mm]
>
> [mm]E(x_{1},x_{2})=300x_{1}-0,2x_{1}^{2}-2250x_{2}+0,5x_{1}x_{2}+2,5x_{2}^{2}[/mm]
>
> Dann bilde ich die Lagrange Funktion:
>
> [mm]300x_{1}-0,2x_{1}^{2}-2250x_{2}+0,5x_{1}x_{2}+2,5x_{2}^{2}+\lambda(4000-4300x_{1}-5x_{2})[/mm]
>
> Berechne die partiellen Ableitungen nach [mm]x_{1},x_{2}[/mm] und
> [mm]\lambda[/mm]
>
> und löse nach [mm]x_{1}, x_{2}[/mm] und [mm]\lambda[/mm] auf.
>
> [mm]x_{1}=350[/mm] ME
> [mm]x_{2}=520[/mm] ME
> [mm]\lambda=105[/mm]
>
> setzte [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] in die Preis-Absatz-Funktion ein und
> erhalte
> [mm]p_{1}=230[/mm]
> [mm]p_{2}=[/mm] -775 (negatives Erg.)
>
> und für [mm]E(x_{1},x_{2})[/mm] erhalte ich -322500 € (negativer
> Erlös)
>
> Das kann ja wieder nicht stimmen...
>
> Sorry, aber ich weiß echt nicht was ich falsch mache...
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Do 08.12.2011 | | Autor: | Sine_M |
AHHH, ich glaube ich habe den Fehler.
Jetzt habe ich für [mm] p_{2}= 450-0,1x_{1}-0,5x_{2} [/mm] raus!
STIMMT DAS???
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> AHHH, ich glaube ich habe den Fehler.
> Jetzt habe ich für [mm]p_{2}= 450-0,1x_{1}-0,5x_{2}[/mm] raus!
>
> STIMMT DAS???
Ich hatte jedenfalls dasselbe.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:03 Do 08.12.2011 | | Autor: | Sine_M |
Vielen, vielen Dank!
Ich habe als Erlös nun 182045,55€ raus.
Das sieht doch ganz gut aus! :o)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 Do 08.12.2011 | | Autor: | Sine_M |
Natürlich sollte die Lagrange-Funktion lauten: [mm] 300x_{1}-2250x_{2}-0,2x_{1}^{2}+0,5x_{1}x_{2}+2,5x_{2}^{2}+\lambda(4000-4x_{1}-5x_{2})
[/mm]
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