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Hi leutz!
Ich habe ein Problem :) ich will als erstes die Fragestellung zeigen, die Frage lautet:
Welcher Radius und welche Höhe müssen gewählt werden, damit der Kegel mit fest gegebener Mantellinie s ein maximales Volumen annimt?
a) s = 40 cm b) s belibig
(gebe auch noch einen anhang hinzu! :) )
Also ich dachte mir die Hauptbedingung HB ist gleich: V = 1/3 · [mm] \pi [/mm] · r2 · h
aba ich komme da überhaupt nicht weiter :/ Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen :) Ich muss die hauptbedingung aufstellen, die Nebenbedingung, die Zielfunktion und das Optimum der Zeilfunktion bestimmen... ich hoffe mir kann wer helfen :) schon mal dankeschön im vorraus an alle die mir helfen werden!
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Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo,
> Welcher Radius und welche Höhe müssen gewählt werden, damit
> der Kegel mit fest gegebener Mantellinie s ein maximales
> Volumen annimt?
> a) s = 40 cm b) s belibig
>
> (gebe auch noch einen anhang hinzu! :) )
>
> Also ich dachte mir die Hauptbedingung HB ist gleich: V =
> 1/3 · [mm]\pi[/mm] · r2 · h
richtig.
>
> aba ich komme da überhaupt nicht weiter :/ Ich hoffe mir
> kann jemand weiterhelfen :) Ich muss die hauptbedingung
> aufstellen, die Nebenbedingung, die Zielfunktion und das
> Optimum der Zeilfunktion bestimmen... ich hoffe mir kann
> wer helfen :) schon mal dankeschön im vorraus an alle die
> mir helfen werden!
Stelle gemäß der Skizze die Höhe als Funktion des Radius dar:
[mm]h\; = \;\sqrt {s^{2} \; - \;r^{2} } [/mm]
Setze diese h in die Volumenformel ein, und bestimme dann das Maximum.
Gruß
MathePower
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Dankeschööön!
Also so weit bin ich jetzt:
HB: V = 1/3 · [mm] \pi [/mm] · r² · h
Neben Bedingung NH: h = [mm] \wurzel{s² - r²}
[/mm]
Zielfunktion ZF: V= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] · [mm] \pi [/mm] · r² · (s - r)
aber wie rechne ich jetzt das aus ich habe r doch gar nicht gegeben? nur s = 40 und in Aufgabenteil b) s beliebig. Noch eine Verständnisfrage hast du die NB vom Pythagoras abgeleitet? ja oda? :) , würde mich freuen wenn du mir noch weiter helfen könntest.
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Danke!
Ich komme aber leider auch nur schrittweise weiter :)
Also lautet dann meine ZF: V(h)= 1/3· [mm] \pi [/mm] · r² · (s²-r²) · h
wenn ich jetzt für s² 40 einsetzte:
V(h)= 1/3· [mm] \pi [/mm] · (1600 -h²) · h
bringt mich das trotzdem nicht weiter wie soll ich denn das in der Klammer auflösen? Ich habe diese Art von Aufgabe leider das erste mal, ich hatte davor auch schon mal Exremalprobleme durchgekaut aba nur ganz kurz und nicht so kompliziert :) bitte helft mir weiter! :)
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hi Loddar!
muss ich mit V(h)= [mm] \pi [/mm] /3 (s² · h- h³) nicht weiter anstellen? sondern einfach die 1. Ableitung berechnen?
V'(h)= 2s- 3h² ,wie muss ich denn jetzt weiter machen? ich habe ja immernoch h als unbekannten Faktor?! bitte helf mir weiter ich habe in punkto maximales Volumen berechnen keine Erfahrungen und bewege mic hdesahlb ein wenig im dunkeln :)
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die [mm] \pi [/mm] /3 fallen doch weg oda nicht? ich habe da ja kein n welches ich irgenwie verwenden kann oda n-1 rechnen kann oda liege ich da flash oda gibt es für [mm] \pi [/mm] sonderregelungen? find es echt soo klasse das du mir hilfst! danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hi ...
> die [mm]\pi[/mm] /3 fallen doch weg oda nicht?
Nein, in der Ableitungsfunktion bleibt dieser Bruch als konstanter Faktor erhalten! In der Berechnung der Nullstellen der 1. Ableitung fliegt dieser Bruch dann erst raus ...
> ich habe da ja kein n
> welches ich irgenwie verwenden kann oda n-1 rechnen kann
> oda liege ich da flash oda gibt es für [mm]\pi[/mm]
> sonderregelungen? find es echt soo klasse das du mir
> hilfst! danke!
Schreiben wir unsere Funktion mal um mit der Variable $x$ (sihe Anmerkung in voriger Antwort):
$f(x) \ = \ [mm] \underbrace{\bruch{\pi}{3}}_{konstant} [/mm] \ * [mm] \left(s^2*\blue{x} - x^{\red{3}}\right)$
[/mm]
Damit wird doch:
$f'(x) \ = \ [mm] \underbrace{\bruch{\pi}{3}}_{konstant} [/mm] \ * [mm] \left(s^2*\blue{1} - \red{3}*x^{\red{2}}\right)$
[/mm]
Nun klar(er) ?
Wie lautet nun die Nullstelle [mm] $x_N$ [/mm] der 1. Ableitung (= mögliche Extremwertstelle) ??
Gruß
Loddar
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gut danke :D
ich hoffe mal das das jetzt stimmt: also ich berechne dann die extremstelle in dem ich V' = 0 setze
[mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] *( s²-3h²) = 0
[mm] \bruch{\pi}{3}* [/mm] s² - [mm] 3h²*\bruch{\pi}{3} [/mm] = o |: [mm] \bruch{\pi}{3}
[/mm]
s² - 3*h² = o | -s²
- 3*h² = -s² | . (-1) |: 3 | [mm] \wurzel
[/mm]
h = [mm] \bruch{s}{\wurzel{3}}
[/mm]
stimmt das so weit wenn ja wie muss ich denn weiter verfahren? :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> ich hoffe mal das das jetzt stimmt: also ich berechne dann
> die extremstelle in dem ich V' = 0 setze
>
>
> [mm] $\bruch{\pi}{3} [/mm] *( s²-3h²) = 0$
>
> [mm] $\bruch{\pi}{3}* [/mm] s² - [mm] 3h²*\bruch{\pi}{3} [/mm] = 0$ |: [mm] $\bruch{\pi}{3}$
[/mm]
>
> $s² - 3*h² = 0$ | -s²
>
> $- 3*h² = -s²$ | . (-1) |: 3 | [mm] $\wurzel$
[/mm]
>
> $h = [mm] \bruch{s}{\wurzel{3}}$
[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Damit haben wir das notwendige Kriterium erfüllt (Nullstelle der 1. Ableitung).
Diesen Wert müssen wir nun in die 2. Ableitung $V''(h)$ einsetzen und überprüfen, ob gilt:
[mm] $V''\left(h_E\right) [/mm] \ = \ [mm] V''\left(\bruch{s}{\wurzel{3}}\right) [/mm] \ < \ 0$ (hinreichendes Kriterium).
Weil genau dann liegt ein Maximum an der ermittelten Stelle [mm] $h_E$ [/mm] vor.
Diesen Wert dann noch in die Ausgangsfunktion $V(h)$ einstezen und dann haben wir unser gesuchtes [mm] $V_{max} [/mm] \ = \ [mm] V\left(h_E\right)$.
[/mm]
Schaffst Du das soweit?
Gruß
Loddar
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V(h)= [mm] \bruch{\pi }{3} [/mm] * ( s² ( [mm] \bruch{s}{\wurzel{3}})- [/mm] ( [mm] \bruch{s}{ \wurzel{3}}) [/mm] das gilt doc hjetzt für b. oda? jetzt muss ich doch nur noch die 40 für a. einsetzen und ausrechnen nciht wahr?
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wenn ich aba bei V'' 40 für s einsetzebekomme ich doch aber ein ergebnis das größer ist als 0 ? oda liege ih da falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo ...
> wenn ich aba bei V'' 40 für s einsetzebekomme ich doch aber
> ein ergebnis das größer ist als 0 ? oda liege ih da falsch?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") In der 2. Ableitung $V''(h)$ dürfte die Größe $s$ bzw. [mm] $s^2$ [/mm] gar nicht mehr auftreten, da sie als Konstanten entfallen sind.
Wie lautet denn Deine 2. Ableitung $V''(h)$ ?
Loddar
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achso ich dachte V'' wäre= s/ [mm] \wurzel{3} [/mm] weil da doch so etwas sand :)diesmal fällt aba die konstante weg ja?
V''(hE)= -6h oda? ich dachte so weil die konstanten doch jetzt wegfallen stimmt ds so? wenn ja wie fahre ich denn jetzt fort?
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Hallo,
> V''(hE)= -6h oda? ich dachte so weil die
> konstanten doch jetzt wegfallen stimmt ds so? wenn ja wie
> fahre ich denn jetzt fort?
Zu untersuchen ist jetzt, ob die gefundene Höhe ein Maximum darstellt. Da die Höhe > 0, ist V'' < 0, also ein Maximum.
Die Höhe ist ja jetzt bestimmt worden. Bleibt nur noch die Frage nach dem Radius.
Gruß
MathePower
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also ich bekomme für Vmax bei einsetzen von 40 = 25796,25762 raus stimmt das so weit? Wie rechne ich denn jetzt r dann aus und wozu? habe ich das maximal Volumen jetzt schon bestimmt? Tut mir echt leid bin total kapuut :) lerne den ganzen tag schon für meine morgige Klausur und schlag mich hier auch noch mi meinem maheproblem :)
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Ich danke dir Loddar auch MathePower natürlich! endlich kann ich morgen in die schule gehn mit dem gewissen mathehausaufgaben dabei zu haben :D!
Morgen is Geschichte dran :) viele daten und fakten aba ich hoffe das packe ich... ne gute note muss scho drinne sein ;) naja dann wünsche ich dir und allen anderen eine gute nacht! :)
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![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Ich empfehle Dir hier auch, die Nebenbedingung nach [mm] $r^2 [/mm] = [mm] s^2-h^2$ [/mm] umzustellen und in die Hauptbedingung einzusetzen. Dann ersparst Du Dir nämlich die lästige Ableitungsarbeit mit der Wurzel!
Faktorregel![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
Die Frage verstehe ich jetzt nicht ...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Ganz genau!
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