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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Mo 21.01.2013 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Finden Sie die Extremalstellen folgender Funktionen:
i) [mm] f:[0.1,\infty) \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto x^{x}
[/mm]
ii) f:[0,1] [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto arctan(\bruch{1-x}{1+x})
[/mm]
... |
Hallo Leute,
sitze an obiger Aufgabe und habe Probleme mit der Betrachtung der Randpunkte.
zu i)
[mm] f'(x)=x^{x}*(ln [/mm] (x) +1 )
[mm] f''(x)=x^{x}*(ln [/mm] (x) +1 [mm] )^{2}+x^{x-1}
[/mm]
f'(x)=0 -> [mm] x=e^{-1}
[/mm]
[mm] f''(e^{-1})=e^{-1}^{e^{-1}-1}>0
[/mm]
Also hat die Funktion ein lokales Minimum im Punkt [mm] (e^{-1},e^{-1}^{e^{-1}-1})
[/mm]
Nun müsste ich die Randpunkte betrachten und komme aber nicht weiter ...
zu ii)
[mm] f'(x)=\bruch{2}{((1+x)^{2}+(1-x)^{2})}
[/mm]
Wenn ich die erste Ableitung Null setze, steht dort ziemlich schnell -2=0 und das ist ein Widerspruch. Also hat die Funktion keine inneren Extrempunkte
Zu den Randpunkten:
Dort habe ich es gemacht, wie im Tutorium:
In [0,1] ist f(x) monoton fallend, also ist [mm] x_{1} [/mm] = 0 lokales Maximum und [mm] x_{2}=1 [/mm] lokales Minimum.
Weiß aber nicht, ob das so reicht..
Kann da sich mal jemand zu äußern.
Silfide
P.S. Die Rechenwege habe ich mir größtenteils gespart... weil die doch ganz schön lang sind... die Ableitungen müssten soweit auch richtig sein ... falls noch was unklar ist, bitte Bescheid geben, dann bessere ich nach.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo silfide!
> [mm]f'(x)=x^{x}*(ln[/mm] (x) +1 )
> [mm]f''(x)=x^{x}*(ln[/mm] (x) +1 [mm])^{2}+x^{x-1}[/mm]
>
> f'(x)=0 -> [mm]x=e^{-1}[/mm]
> [mm]f''(e^{-1})=e^{-1}^{e^{-1}-1}>0[/mm]
>
> Also hat die Funktion ein lokales Minimum im Punkt
> [mm](e^{-1},e^{-1}^{e^{-1}-1})[/mm]
Hier stimmt der Funktionswert des Minimums nicht.
> Nun müsste ich die Randpunkte betrachten und komme aber
> nicht weiter ...
Was passiert denn für [mm] $x\rightarro+\infty$ [/mm] ?
Und für den linken Rand kannst Du doch gefahrlos $x \ = \ 0{,}1$ einsetzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Mo 21.01.2013 | | Autor: | silfide |
Hallo Loddar
>
>
>
> > [mm]f'(x)=x^{x}*(ln[/mm] (x) +1 )
> > [mm]f''(x)=x^{x}*(ln[/mm] (x) +1 [mm])^{2}+x^{x-1}[/mm]
> >
> > f'(x)=0 -> [mm]x=e^{-1}[/mm]
> > [mm]f''(e^{-1})=e^{-1}^{e^{-1}-1}>0[/mm]
> >
> > Also hat die Funktion ein lokales Minimum im Punkt
> > [mm](e^{-1},e^{-1}^{e^{-1}-1})[/mm]
>
> Hier stimmt der Funktionswert des Minimums nicht.
Nee, ist klar ... copy und paste halt ... Funktionswert ist [mm] e^{-1}^{e^{-1}}
[/mm]
> > Nun müsste ich die Randpunkte betrachten und komme aber
> > nicht weiter ...
>
> Was passiert denn für [mm]x\rightarro+\infty[/mm] ?
Dann geht die Funktion gegen [mm] \infty
[/mm]
>
> Und für den linken Rand kannst Du doch gefahrlos [mm]x \ = \ 0{,}1[/mm]
> einsetzen.
Hatte ich auch gemacht, bin mir nur nicht sicher was es bedeutet..
[mm] f(0,1)\approx [/mm] 0,8
Allerding ist der Funktionswert für x=1,5 schon größer als 0,8.
Also was sagt das aus?? Ist es jetzt ein Extremum (Maximum)?
Ich würde fast nein sagen, bin mir allerdings extrem unsicher ...
Silfide
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Di 22.01.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Silfide!
> > Was passiert denn für [mm]x\rightarro+\infty[/mm] ?
>
> Dann geht die Funktion gegen [mm]\infty[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > Und für den linken Rand kannst Du doch gefahrlos [mm]x \ = \ 0{,}1[/mm]
> > einsetzen.
>
> Hatte ich auch gemacht, bin mir nur nicht sicher was es
> bedeutet..
>
> [mm]f(0,1)\approx[/mm] 0,8
> Allerding ist der Funktionswert für x=1,5 schon größer
> als 0,8.
Was hat das mit unserem Wert $f(0{,}1)$ zu tun? Nicht so viel.
Bedenke, dass [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 0{,}1$ linksseitig unseres Tiefpunktes bei [mm] $x_T [/mm] \ = \ [mm] e^{-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{e} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0{,}368$ liegt und der Wert [mm] $x_2 [/mm] \ = \ 1{,}5$ rechtsseitig.
> Also was sagt das aus?? Ist es jetzt ein Extremum
> (Maximum)?
Ja, es handelt sich bei [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 0{,}1$ um ein Randextremum.
Gruß
Loddar
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