Extremalwertaufgabe < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 So 25.06.2006 | | Autor: | Lisalou |
| Aufgabe | | Man bestimme Radius r und Höhe h einer Dose ohne Deckel mit 1 l Volumen mit minimalen Materialbedarf |
Könnt ihr mir eine Rechenanleitung geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 So 25.06.2006 | | Autor: | Teufel |
Du musst erst eine Hauptbedingung aufstellen (was wird extrem?) und danach eine Nebenbedingung.
Hauptbedingung: [mm] A_{o}(r,h)=2\pi [/mm] rh
(r,h) heißt abhängig von r und h.
Und die Aufgabe gibt dir eine Nebenbedingung, nämlich
Nebenbedingung: [mm] V=1l=1dm³=\pi [/mm] r²h
Darauf kannst du eine Zielfunktion machen.
Dazu stellst du die Nebenbedingung nach einer Variable um (nach h würde sich anbieten, da du es sonst mit Wurzeln etc. zutun hättest :)) und setzt sie in der Hauptbedingung ein.
Dann hängt deine Hauptbedingung nur noch von einer Variable ab!
Und nun gilt es das Maximum herauszufinden. Dazu müsstest du deine Zielfunktion ableiten, =0 setzen und gucken was für ein Wert rauskommt. Dann noch kontrollieren, ob es sich im ein Minimum oder Maximum handelt (es wird sicher ein Minimum werden, aber es gehört halt dazu :)), indem du es in die 2. Ableitung der Zielfunktion setzt.
Nungut, wenn du eine Variable hast, kannst du diese bequem in die Nebenbedingung einsetzen um die 2. heraus zu bekommen.
Danach noch einen Antwortsatz schreiben und fertig!
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