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Ihr kennt ja sicherlich die Aussage:
Wenn f' (xe) = 0 und f'' (xe) < 0 ist, hat der
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
Funktionsgraph von f bei x= xe einen Hochpunkt.
Wenn f' (xe) = 0 und f'' (xe) > 0 ist, hat der Funktionsgraph von f bei x = xe einen Tiefpunkt.
Meine Frage wäre nun, WARUM ist das so? Hat jemand eine schnelle aussagekräftige Idee, bzw. Antwort?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:33 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Primat |
Guten Morgen, Tag, Abend! 
Mit der zweiten Ableitung bestimmst Du ja soz. die Steigung der Steigung des Graphen von f, also seine Krümmung.
Ist der Graph beispielsweise rechts gekrümmt, wird seine Steigung kleiner.
Im Hochpunkt ist die Steigung von f 0, also die erste Ableitung f' (xe) = 0. (ich übernehm´ mal Deinen Ausdruck einfach)
Die zweite Ableitung kann jetzt darüber Auskunft geben, ob die Steigung von hieraus zu- oder abnehmen wird. Du kannst so also erfahren, ob die Steigung von f in der nächsten Umgebung größer oder kleiner wird.
Wird die Steigung größer, also f'' (xe) > 0 weißt Du, dass Der Graph von f links gekrümmt ist, seine Funktionswerte also zunehmen werden. Wenn seine Funktionswerte zunehmen, hat er konsequenterweise einen Tiefpunkt.
Beim HP natürlich alles umgekehrt.
Ich bemerke gerade, dass mein Gedanke da etwas anschaulicher war, als ich es gerade in Worte packen kann - ist ja auch schon spät
Ich hoffe Du kannst damit trotzdem was anfangen, vielleicht finde ich ja morgen Vormittag nochmal Gelegenheit das etwas netter zu tippen, wenn das nu wirr ist...
-Primat
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> Ihr kennt ja sicherlich die Aussage:
>
> Wenn f' (xe) = 0 und f'' (xe) < 0 ist, hat der
> Funktionsgraph von f bei x= xe einen Hochpunkt.
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> Wenn f' (xe) = 0 und f'' (xe) > 0 ist, hat der
> Funktionsgraph von f bei x = xe einen Tiefpunkt.
> Meine Frage wäre nun, WARUM ist das so? Hat jemand eine schnelle aussagekräftige Idee, bzw. Antwort?
Hallo,
skizziere Dir mal Maximum.
In einem weiteren Koordinatensystem sollst Du nun die Ableitung (Steigung) der Funktion skizzieren:
im Punkt des Maximums ist sie =0
ganz dicht rechts v. Maximum ist sie schwach negativ, um dann immer negativer zu werden. Die linke Seite v. Maximum entsprechend.
Wie sieht nun f' in der Umgebung des Maximums aus? Der Graph v. f' fällt.
Wenn Du nun in einem weiten Koordinatensystem die Steigung von f' skizzierst, also f'', so ist der Graph in dieser Umgebung komplett im negativen Bereich, also vor allem an der Stelle des Maximums Deiner Funktion f.
Führe nun Entsprechendes mit einem Minimum durch.
Gruß v. Angela
(P.S.: Mitteilung an die "Durchblicker": ich kenne den Unterschied zw. notwendig und hinreichend, und ich bin hier um der leichten Verständlichkeit willen mit voller Absicht etwas "ungenau".)
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