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Extrempunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:24 Do 20.11.2008
Autor: Mandy_90

Aufgabe
Gegeben ist die Funktion f(x)=3sin(2x-2)+1 im Intervall [mm] I=[1;\pi+1] [/mm]
Bestimmen Sie die Lage der Extrempunkte.

Hallo^^

Ich hab zu dieser Aufgabe die lösung,aber ich versteh sie nicht so ganz,kann mir die jemand erklären?
Also zunächst die Ableitungen

f'(x)=6cos(2x-2)
f''(x)=-12sin(2x-2)

Die Ableitungen sind mir klar und dass man f'=0 setzen muss auch

6cos(2x-2)=0
cos(2x-2)=0
Bis hierhin hab ich alles verstanden,jetzt haben die als Lösung angegeben:

[mm] 2x-2=\bruch{\pi}{2}+2k\pi [/mm]

[mm] x=\bruch{\pi}{4}+1+k\pi [/mm]

[mm] x=\bruch{\pi}{4}+1 [/mm] (k=0)

Ich versteh nicht wie die drauf kommen dass [mm] 2x-2=\bruch{\pi}{2}+2k\pi [/mm] ist,woher kommen diese [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] und muss man [mm] 2k\pi [/mm] immer dazu schreiben?Und wie kommt man drauf,dass k=0 ist?


[mm] 2x'-2=-\bruch{\pi}{2}+2k\pi [/mm]

[mm] x'=-\bruch{\pi}{4}+1+k\pi [/mm]

[mm] x'=\bruch{3}{4}\pi+1 [/mm]  (k=1)

Das ist fast das selbe wie oben nur dass hier k=1 ist,aber wie kommt man drauf?Das versteh ich nicht.

Vielen dank für eure Hilfe

lg

        
Bezug
Extrempunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 Do 20.11.2008
Autor: reverend

Ok, ganz kurz.
>  Also zunächst die Ableitungen
> f'(x)=6cos(2x-2)
>  f''(x)=-12sin(2x-2)
>  
> Die Ableitungen sind mir klar und dass man f'=0 setzen muss
> auch
>  
> 6cos(2x-2)=0
>  cos(2x-2)=0
>  Bis hierhin hab ich alles verstanden,

Offensichtlich. Stimmt ja auch alles.

> Lösung...
>  
> [mm]2x-2=\bruch{\pi}{2}+2k\pi[/mm]
>  
> [mm]x=\bruch{\pi}{4}+1+k\pi[/mm]
>  
> [mm]x=\bruch{\pi}{4}+1[/mm] (k=0)
>  
> Ich versteh nicht wie die drauf kommen dass
> [mm]2x-2=\bruch{\pi}{2}+2k\pi[/mm] ist,woher kommen diese
> [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] ...

Na, wenn [mm] \cos{\varphi}=0, [/mm] dann ist [mm] \varphi [/mm] was?

> ...und muss man [mm]2k\pi[/mm] immer dazu schreiben?

Ja. Wenn die Gleichung [mm] \cos{\varphi}=u [/mm] überhaupt auflösbar ist, hat sie unendlich viele Lösungen, nämlich [mm] \varphi=\pm\arccos{u}+k*2\pi [/mm]

Verwirrt? Hier ist es nur deswegen anders, weil Du den einzigen Sonderfall hast, den man anders schreiben kann, aber nicht muss. Es hätte auch heißen können: [mm] 2x+2=\pm\bruch{\pi}{2}+k*2\pi [/mm]

Aber zurück zu der Darstellung Deiner Lösung, [mm] \bruch{\pi}{2}+k\pi [/mm]

> Und wie kommt man drauf,dass k=0 ist?

Durch Betrachten des Definitionsbereichs. Bestimme alle k, für die [mm] x\in[1;\pi+1] [/mm]

> [mm]2x'-2=-\bruch{\pi}{2}+2k\pi[/mm]
>  
> [mm]x'=-\bruch{\pi}{4}+1+k\pi[/mm]
>  
> [mm]x'=\bruch{3}{4}\pi+1[/mm]  (k=1)
>  
> Das ist fast das selbe wie oben nur dass hier k=1 ist,aber
> wie kommt man drauf?Das versteh ich nicht.

Genauso wie oben, Bedingung ist [mm] x\in[1;\pi+1] [/mm]

Bestimme übrigens mal nur zur Übung die allgemeine Lösungsform für den Sinus. Sie sieht logischerweise ein bisschen anders aus als für den Cosinus, der ja symmetrisch zur y-Achse ist.

> Vielen dank für eure Hilfe
>  
> lg  

Gern doch.

Bezug
                
Bezug
Extrempunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:08 Do 20.11.2008
Autor: Mandy_90

Achso,ok jetzt hab ichs verstanden,danke.

> Bestimme übrigens mal nur zur Übung die allgemeine
> Lösungsform für den Sinus. Sie sieht logischerweise ein
> bisschen anders aus als für den Cosinus, der ja symmetrisch
> zur y-Achse ist.
>  

Wie meinst du das,allgemeine Lösungsform?Meinst du a*sin(bx+c)+d ?

Ich hab grad mal ein Stückchen weitergerechnet,man sollte jetzt die Wendepunkte der Funktion bestimmen für [mm] 1
Ich hab sie folgendermaßen ausgerechnet:

f''(x)=0
-12sin(2x-2)=0
[mm] 2x-2=0+2k\pi [/mm]
[mm] x=1+k\pi [/mm]  (k=1)
[mm] x=\pi+1 [/mm]

Ich find das aber komisch,weil x ja zwischen 1 und [mm] \pi+1 [/mm] liegen soll,jetzt ist aber [mm] x=\pi+1,ist [/mm] das überhaupt zulässig weil x eigentlich kleiner als [mm] \pi+1 [/mm] sein muss oder?

Ich hab diesen Wert jetzt mal in f'''(x) eingesetzt

f'''(x)=-24cos(2x-2)
[mm] f'''(\pi+1)=-24\not=0 [/mm]

[mm] f(\pi+1)=0 [/mm]

Wendepunkt [mm] (\pi+1/0) [/mm]

Kann man das jetzt gelten lassen oder nicht,ich glaube nicht oder?

lg

Bezug
                        
Bezug
Extrempunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:17 Do 20.11.2008
Autor: reverend

Wo kommt denn am Ende die Teilung durch Null her?

Du hast hier zwei Lösungen für x, nämlich 1 und [mm] \pi+1. [/mm] Beide gehören zum angegebenen Intervall: eckige Klammern heißen ja "inklusive der angegebenen Grenze".

Mit allgemeiner Form meinte ich sowas wie die vorher angegebene Form für eine Auflösung des Cosinus, die ja anfing mit [mm] \pm\arccos{...} [/mm]
Wie müsste so eine Gleichung mit dem [mm] \arcsin [/mm] aussehen? Der ist ja nicht zur Geraden [mm] \a{}x=0 [/mm] symmetrisch, sondern z.B. zu [mm] x=\bruch{\pi}{2} [/mm]

Bezug
                                
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Extrempunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 Fr 21.11.2008
Autor: Mandy_90


> Mit allgemeiner Form meinte ich sowas wie die vorher
> angegebene Form für eine Auflösung des Cosinus, die ja
> anfing mit [mm]\pm\arccos{...}[/mm]
>  Wie müsste so eine Gleichung mit dem [mm]\arcsin[/mm] aussehen? Der
> ist ja nicht zur Geraden [mm]\a{}x=0[/mm] symmetrisch, sondern z.B.
> zu [mm]x=\bruch{\pi}{2}[/mm]  

hmm,ich hätte gesagt,dass sie genauso aussieht nur das anstatt cos sin steht ?

lg

Bezug
                                        
Bezug
Extrempunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:18 Fr 21.11.2008
Autor: reverend

Nein, dann wäre die Lösung ja auch zu x=0 (also der y-Achse) symmetrisch. Das ist der Sinus aber nicht.

Die gesuchte Gleichung mit dem [mm] \arcsin [/mm] sieht so aus:

[mm] \varphi=\bruch{\pi}{2}\pm\left(\bruch{\pi}{2}-\arcsin{u}\right)+k*2\pi=\pm\left(\bruch{\pi}{2}-\arcsin{u}\right)+\bruch{4m+1}{2}\pi [/mm]

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