Extrempunkte/Wendepunkte < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:36 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | | Begründen Sie auf ANSCHAULICHER Basis, dass die Funktion f mit [mm] f(x)=x^3+ax^2+bx+c [/mm] nicht "gleichzeitig" zwei Extrempunkte und einen Wendepunkt mit positiver Steigung haben kann. |
Guten morgen zusammen!!!
Also ich denke, da die FUnktion keinen Koeffizienten vor [mm] x^3 [/mm] hat verläuft sie auch immer auf die selbe Weise.
Man muss also nur das Fernverhalten bestimmen und eine Skizze machen anhang, welcher man dann zeigen kann, dass es wirklich so ist mit den EP und den WP.
Bin mir aber nicht sicher. Erbitte Hilfe ^^
MfG Ilya
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> Begründen Sie auf ANSCHAULICHER Basis, dass die Funktion f
> mit [mm]f(x)=x^3+ax^2+bx+c[/mm] nicht "gleichzeitig" zwei
> Extrempunkte und einen Wendepunkt mit positiver Steigung
> haben kann.
> Guten morgen zusammen!!!
>
> Also ich denke, da die FUnktion keinen Koeffizienten vor
> [mm]x^3[/mm] hat
"kein Koeffizient" heisst eigentlich: Koeffizient = 1 !
> verläuft sie auch immer auf die selbe Weise.
.....auf welche Weise ??
> Man muss also nur das Fernverhalten bestimmen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und eine Skizze machen
> anhand welcher man dann zeigen kann, dass es
> wirklich so ist mit den EP und den WP.
>
> Bin mir aber nicht sicher. Erbitte Hilfe ^^
>
> MfG Ilya
Das sollte so ganz gut klappen !
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Random |
Aso okay danke.
Aber ich muss dazu schreiben, dass der Koeffizient bei [mm] x^3 [/mm] "1" lautet und der Graph deswegen immer auf die Weise verläuft, die ich auch in der Skizze anschaulich machen werde oder ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 Mo 02.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Das ist schonmal ein guter Plan.
Aber bestimme doch mal die beiden Extrema und den Wendepunkt:
Also.
f(x)=x³+ax²+bx+c
f'(x)=3x²+2ax+b
f''(x)=6x+2a
Extrema:
[mm] 3x^{2}+2ax+b=0
[/mm]
[mm] \gdw x²+\bruch{2}{3}ax+\bruch{b}{3}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{1;2}=-\bruch{a}{3}\pm\wurzel{\bruch{a²}{9}-\bruch{3b}{9}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{a}{3}\pm\wurzel{\bruch{a²-3b}{9}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{a\pm\wurzel{a²-3b}}{3}
[/mm]
Jetzt überlege hieran mal, wann es zwei Extremstellen geben kann.
Und das vergleiche mal mit der Bedingung für einen Wendepunkt:
Also:
f''(x)=0
[mm] \gdw6x+2a=0
[/mm]
[mm] \gdw x=-\bruch{a}{3}
[/mm]
Marius
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Hallo Marius,
wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, ist hier
eben genau diese Rechnerei mit den Extremalpunkten
ausdrücklich NICHT verlangt, sondern es sind
wirklich ANSCHAULICHE Argumente gefordert !
LG al-Chw.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:33 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Random |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Random |
OKay ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:53 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Random |
Sorry ich weiss nicht wie ich das weg mache mit der Frage. =(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:56 Mo 02.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo Random,
> Sorry ich weiss nicht wie ich das weg mache mit der Frage.
> =(
Schon erledigt 
Aber generell: Du müsstest (in der Einzelansicht oder nachdem Du auf "reagieren" geklickt hast) unten drunter in der langen Liste mit Auswahl-Schaltflächen auch eine Option haben, die die Frage als "Beantwortet" deklariert. Evtl. auch einen, mit dem Du den Typ von Frage auf Mitteilung ändern kannst.
Schöne Grüße
ardik
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> Aso okay danke.
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> Aber ich muss dazu schreiben, dass der Koeffizient bei [mm]x^3[/mm]
> "1" lautet und der Graph deswegen immer auf die Weise
> verläuft, die ich auch in der Skizze anschaulich machen
> werde oder ?
Ja. Wichtig ist ja nur, dass der Koeffizient positiv ist,
das hat zur Folge, dass
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] = [mm] +\infty [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty}f(x) [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
d.h. die Kurve verläuft "im Grossen" von "links unten"
nach "rechts oben".
Al-Ch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:51 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Random |
Okay klar da die Funktion von unten links nach obn rechts geht kann sie nur einen links-rechts WEndepunkt haben. Also einen Wendepunkt mit negativer Steigung.
Und da der Koeffizient positiv ist kann sie auch nicht anderesrum verlaufen.
Vielen Dank!!! =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Nur vollständigkeitshalber: Die Funktion kann auch eine positive Steigung im Wendepunkt haben, allerdings hat sie dann keine Extrempunkte ;)
Ein Beispiel wäre f(x)=x³+3x²+4x+1, die Funktion verläuft streng monoton steigend ("von links unten nach rechts oben"), also keine Extrempunkte, und hat einen Wendepunkt bei [mm] x_W=-1 [/mm] mit der Steigung 1.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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