Extrempunkte bestimmen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Di 12.02.2008 | | Autor: | Miranda |
| Aufgabe | Untersuchen sie die Funktion(-scharen?) auf mögliche Wende-oder Extrempunkte und nach Ortslinien
[mm] f_{a}(x)= \bruch{8}{729} a^3x^3-\bruch{8}{27}a^2x^2+\bruch{5}{3}ax+x [/mm] |
Halli Hallo!
So ich habe irgendwie ein Problem mit der Aufgabe..
Also ich wollte nun von [mm] f_{a}(x)erstmal [/mm] die erste Ableitung nehmen und Nullsetzen um zu gucken ob es überhaupt Extrempunkte gibt.
Also lautet laut meiner Rechnung:
[mm] f_{a}'(x)=\bruch{8}{243}a^3x^2-\bruch{16}{27}a^2x+\bruch{5}{3}a+1
[/mm]
also nun 0 setzen:
0= [mm] \bruch{8}{243}a^3x^2-\bruch{16}{27}a^2x+\bruch{5}{3}a+1
[/mm]
und nun hab ich das erste Problem...ich würde ja gerne die Pq-Formel benutzen..dafür müsste ich das ausklammern..aber irgendwie kommt da nur Muß raus.. also ich hab ax(...) ausgeklammert..
Ist das bisher richtig? und wie muss ich dass richtig ausklammern .., und mit den ergebnissen (also den x-werten muss ich dann überprüfen ob das ein Hoch-Tiefpunkt ist?)
Danke für alle Ratschläge!
Alles Liebe
Mira
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 Di 12.02.2008 | | Autor: | Beliar |
Hallo,
also ich denke das du ax nicht ausklammer kannst, da du ja
+1 am schluss stehen hast. Würdest du jetzt das ganze auflösen, muss du ja ax*1 nehmen, das widerspricht,aber deiner Ausgangsgleichung.
lg
Beliar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:55 Di 12.02.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Mira!
Bitte keine Doppelposts hier fabrizieren. Du hast diese Frage bereits hier gestellt.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Di 12.02.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Untersuchen sie die Funktion(-scharen?) auf mögliche
> Wende-oder Extrempunkte und nach Ortslinien
>
> [mm]f_{a}(x)= \bruch{8}{729} a^3x^3-\bruch{8}{27}a^2x^2+\bruch{5}{3}ax+x[/mm]
>
> Halli Hallo!
> So ich habe irgendwie ein Problem mit der Aufgabe..
> Also ich wollte nun von [mm]f_{a}(x)erstmal[/mm] die erste
> Ableitung nehmen und Nullsetzen um zu gucken ob es
> überhaupt Extrempunkte gibt.
>
> Also lautet laut meiner Rechnung:
>
> [mm]f_{a}'(x)=\bruch{8}{243}a^3x^2-\bruch{16}{27}a^2x+\bruch{5}{3}a+1[/mm]
Die Ableitung ist korrekt
>
> also nun 0 setzen:
> 0=
> [mm]\bruch{8}{243}a^3x^2-\bruch{16}{27}a^2x+\bruch{5}{3}a+1[/mm]
>
> und nun hab ich das erste Problem...ich würde ja gerne die
> Pq-Formel benutzen..
Kannst du auch
[mm] \bruch{8}{243}a^3x^2-\bruch{16}{27}a^2x+\overbrace{\bruch{5}{3}a+1}^{=\bruch{5a+3}{3}}=0 |:\bruch{8}{243}a^3
[/mm]
[mm] \gdw x^2-\bruch{16*243*a²}{27*8*a³}x+\bruch{(5a+3)*243}{3*a³}=0
[/mm]
[mm] \gdw x^2\underbrace{-\bruch{18}{a}}_{p}x+\underbrace{\bruch{(5a+3)81}{a³}}_{q}=0
[/mm]
>
> Ist das bisher richtig? und wie muss ich dass richtig
> ausklammern .., und mit den ergebnissen (also den x-werten
> muss ich dann überprüfen ob das ein Hoch-Tiefpunkt ist?)
Yep. so ist es.
>
> Danke für alle Ratschläge!
>
> Alles Liebe
> Mira
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Di 12.02.2008 | | Autor: | Miranda |
Oje, der Doppelpost tut mir leid!! Mein PC ist leider so langsam, dabei hab ich das wohl nicht bemerkt!
Ok..das sieht ja kniffelig aus..
also ich hab da dann
[mm] \bruch{324}{a^2}x^2 \pm \wurzel{\bruch{324}{a^2}x^2+\underbrace{\bruch{(5a+3)81}{a³}}_{q}=0}
[/mm]
da kommt bei mir nicht so sinnvolles raus..
ich hab für [mm] x1=343/432a^3 x^2 [/mm] und für x2= [mm] 653/4332a^2x^2..
[/mm]
Oje..
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Die quadratische Lösungsformel lautet:
[mm]x_{1/2} = -\bruch{p}{2} \pm \wurzel{\left(\bruch{p}{2}\right)^{2}-q}[/mm]
Bei der Gleichung
[mm]x^{2} - \bruch{18}{a}*x + \bruch{81}{8}*\bruch{5a+3}{a^{3}}[/mm]
ist
[mm]p = - \bruch{18}{a}[/mm]
und
[mm]q = \bruch{81}{8}*\bruch{5a+3}{a^{3}}[/mm]
also ohne x! Mit p ist immer nur der Koeffizient vor x gemeint, nicht das x selbst noch mit.
Einsetzen:
[mm]x_{1/2} = -\bruch{- \bruch{18}{a}}{2} \pm \wurzel{\left(\bruch{- \bruch{18}{a}}{2}\right)^{2}-\bruch{81}{8}*\bruch{5a+3}{a^{3}}}
\gdw
x_{1/2} = \bruch{9}{a} \pm \wurzel{\bruch{81}{a^{2}}-\bruch{81}{8}*\bruch{5a+3}{a^{3}}}
\gdw
x_{1/2} = \bruch{9}{a} \pm \wurzel{81*\left(\bruch{8a}{8a^{3}}-\bruch{5a+3}{8a^{3}}\right)}
\gdw
x_{1/2} = \bruch{9}{a} \pm 9*\wurzel{\bruch{8a}{8a^{3}}-\bruch{5a+3}{8a^{3}}}
\gdw
x_{1/2} = \bruch{9}{a} \pm 9*\wurzel{\bruch{3a+3}{8a^{3}}}
[/mm]
Man kann noch umformen in
[mm]x_{1/2} = 9*\left(\bruch{1}{a} \pm \wurzel{\bruch{3}{8}}*\wurzel{\bruch{a+1}{a^{3}}}\right)[/mm]
Und das sind ja relativ annehmbare Werte 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Di 12.02.2008 | | Autor: | Miranda |
Vielen, Vielen Dank für deine Mühe!..
Aber Anehmbare Werte? .. Das war doch wohl Ironie?^^
Ok..also hab ich für
x1=0?
x2= 9/a + [mm] 9\cdot{}\wurzel{\bruch{3a+3}{8a^{3}}} [/mm]
x3= 9/a - [mm] 9\cdot{}\wurzel{\bruch{3a+3}{8a^{3}}} [/mm]
?
So nun wird das x in die weite Ableitung gesetzt:
[mm] f_{a}''(x)=\bruch{16}{243}a^3x--\bruch{16}{27}a^2
[/mm]
-->wenn ich das einsetze kommen da doch monsterwerte raus..und ich weiss nicht ob (die unten erwähnte Bedingung) erfüllt ist...Hilfe..
->wenn f''(x)< 0 ist liegt ein Hochpunkt in x vor und wenn f''(x)> 0 ist, liegt ein Tiefpunkt in x vor...da wir auch x=0 haben liegt auch ein möglicher Wendepunkt vor?..
Oder?
Oje,tut mir leid aber diese Aufgabe ist i-wie total kompliziert..
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Ich weiss nicht, warum du noch x1 = 0 als Nullstelle der quadratischen Funktion siehst. Die Nullstellen sind (wie oben zu sehen und du auch richtig hingeschrieben hast):
[mm]x_{1} = 9\cdot{}\left(\bruch{1}{a} + \wurzel{\bruch{3}{8}}\cdot{}\wurzel{\bruch{a+1}{a^{3}}}\right)
x_{2} = 9\cdot{}\left(\bruch{1}{a} - \wurzel{\bruch{3}{8}}\cdot{}\wurzel{\bruch{a+1}{a^{3}}}\right)[/mm]
Nun musst du diese Nullstellen in die zweite Ableitung einsetzen, um zu sehen was du für eine Art von Extrema hast. Die zweite Ableitung hast du richtig berechnet (außer dass da irgendwie in der Mitte ein Minus zuviel ist )
Am besten ist es wahrscheinlich, wenn man bis zu einem gewissen Punkt beide Nullstellen mit einem Abwasch verrechnet:
[mm]f''_{a}(x) = \bruch{16}{243}*a^{3}*x-\bruch{16}{27}*a^{2}[/mm]
Nun also einsetzen:
[mm]f''_{a}(x_{1/2}) = \bruch{16}{243}*a^{3}*x_{1/2}-\bruch{16}{27}*a^{2}
\gdw
f''_{a}(x_{1/2}) = \bruch{16}{243}*a^{3}*9\cdot{}\left(\bruch{1}{a} \pm \wurzel{\bruch{3}{8}}\cdot{}\wurzel{\bruch{a+1}{a^{3}}}\right)-\bruch{16}{27}*a^{2}
[/mm]
Nun die 9 verrechnen und ausklammern:
[mm]
f''_{a}(x_{1/2}) = \bruch{16}{81}*a^{3}*\left(\bruch{1}{a} \pm \wurzel{\bruch{3}{8}}\cdot{}\wurzel{\bruch{a+1}{a^{3}}}\right)-\bruch{16}{27}*a^{2}
\gdw
f''_{a}(x_{1/2}) = \bruch{16}{27}*a^{2}\pm \bruch{16}{27}*a^{3}*\wurzel{\bruch{3}{8}}\cdot{}\wurzel{\bruch{a+1}{a^{3}}}\right)-\bruch{16}{27}*a^{2}
\gdw
f''_{a}(x_{1/2}) = \pm \bruch{16}{27}*a^{3}*\wurzel{\bruch{3}{8}}\cdot{}\wurzel{\bruch{a+1}{a^{3}}}\right)
[/mm]
Und nun ist es leicht: In diesem Produkt sind alle Faktoren positiv, außer [mm] a^{3} [/mm] und das [mm] \pm [/mm] am Anfang. Es ergibt sich:
[mm] f''_{a}(x_{1}) [/mm] = [mm] \bruch{16}{27}*a^{3}*\wurzel{\bruch{3}{8}}\cdot{}\wurzel{\bruch{a+1}{a^{3}}}
[/mm]
wird negativ, falls [mm] a^{3} [/mm] < 0 [mm] \gdw [/mm] a < 0.
wird positiv, falls [mm] a^{3} [/mm] > 0 [mm] \gdw [/mm] a > 0.
[mm] f''_{a}(x_{2}) [/mm] = [mm] -\bruch{16}{27}*a^{3}*\wurzel{\bruch{3}{8}}\cdot{}\wurzel{\bruch{a+1}{a^{3}}}
[/mm]
wird negativ, falls [mm] a^{3} [/mm] > 0 [mm] \gdw [/mm] a > 0.
wird positiv, falls [mm] a^{3} [/mm] < 0 [mm] \gdw [/mm] a < 0.
Nun kannst du die Punkte auswerten!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:30 Di 12.02.2008 | | Autor: | Miranda |
Oje, die Aufgabe ist ja Monströs...
also ist fx1 ein Tiefpunkt
und fx2 ein Hochpunkt?
und diese könnte ich nun herausbekommen wenn ich das alles in die Ursprungsgleichung einsetze?..
Kann das überhaupt noch richtig sein? Das ist doch eine MONSTER-HORROR aufgabe..
Aber VIELEN VIELEN DANK
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Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Miranda,
> Oje, die Aufgabe ist ja Monströs...
>
> also ist fx1 ein Tiefpunkt
> und fx2 ein Hochpunkt?
das hängt noch von a ab (siehe unten).
>
> und diese könnte ich nun herausbekommen wenn ich das alles
> in die Ursprungsgleichung einsetze?..
> Kann das überhaupt noch richtig sein? Das ist doch eine
> MONSTER-HORROR aufgabe..
na, brüll doch nicht! Das ist keine Horror-Aufgabe, sondern eine ein wenig anspruchsvollere Aufgabe mit einer Funktionenschar.
Steppenhahn hat sie dir doch fast vollständig vorgerechnet.
Kurzfassung:
$f''_{a}(x_{1}) =\begin {cases}<0 \text{, falls } a^{3} < 0 \gdw a < 0 \\>0 \text{, falls } a^{3} > 0 \gdw a > 0\end {cases}$
$ f''_{a}(x_{2}) =\begin {cases} <0 \text{, falls } a^{3} > 3 \gdw a > 0\\>0 \text{, falls } a^{3} < 0 \gdw a < 0 \end {cases}$
so, jetzt untersuchst du die Fälle a<0 und a>0 und stellst die Art der Extrema fest.
Scheu dich nicht, mit diesem Parameter weiter zu rechnen...
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Di 12.02.2008 | | Autor: | Miranda |
$ [mm] f''_{a}(x_{1}) [/mm] $ = $ [mm] \bruch{16}{27}\cdot{}a^{3}\cdot{}\wurzel{\bruch{3}{8}}\cdot{}\wurzel{\bruch{a+1}{a^{3}}} [/mm] $
ok..also wenn bei $ [mm] f''_{a}(x_{1}) [/mm] $ a>0 zum beispiel 1 ist ,dann:
[mm] \bruch{16}{27}\cdot{}1^{3}\cdot{}\wurzel{\bruch{3}{8}}\cdot{}\wurzel{\bruch{1+1}{1^{3}}}
[/mm]
= 0,513
ist es bei $ [mm] f''_{a}(x_{1}) [/mm] $ a<0 also zum Beispiel -1 dann:
[mm] \bruch{16}{27}\cdot{}(-1)^{3}\cdot{}\wurzel{\bruch{3}{8}}\cdot{}\wurzel{\bruch{(-1)+1}{(-1)^{3}}}
[/mm]
=-0,362
also ist die ein Maximum?
und bei $ [mm] f''_{a}(x_{2}) [/mm] $ wenn a>0 also 1
[mm] -\bruch{16}{27}\cdot{}1^{3}\cdot{}\wurzel{\bruch{3}{8}}\cdot{}\wurzel{\bruch{1+1}{1^{3}}}
[/mm]
=-0,513
und bei $ [mm] f''_{a}(x_{2}) [/mm] $ wenn a<0 also -1
[mm] -\bruch{16}{27}\cdot{}(-1)^{3}\cdot{}\wurzel{\bruch{3}{8}}\cdot{}\wurzel{\bruch{(-1)+1}{(-1)^{3}}}
[/mm]
=0,363
also ist dies ein Minimum?
ich glaub das ist immernoch nicht richtig? oder wie muss ich nun weiterrechnen?..Ich möchte das wirklich rauskriegen:...*wein*
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Du darfst nicht immer für a spezielle Werte annehmen wollen! a muss allgemein bleiben. Das einzige, was du machen darfst, sind Fallunterscheidungen für den Wert von a!
Wir wissen schon, dass bei [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] auf jeden Fall Extrema liegen (außer für a = 0), wissen aber noch nicht, welcher Art sie sind. Wir haben, um dies herauszubekommen, [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] in die zweite Ableitung eingesetzt und haben dann die von informix dargestellten Fallunterscheidungen erhalten. Du hast schon richtig bemerkt, dass wenn die zweite Ableitung an einer Stelle x größer 0 ist, ein Minimum vorliegt; wenn die zweite Ableitung an einer Stelle x kleiner 0 ist, ein Maximum vorliegt.
Nun - Dann werten wir diese Klammern von informix aus:
[mm] f''_{a}(x_{1}) [/mm] = [mm] \begin{cases}<0 \text{, falls } a^{3} < 0 \gdw a < 0 \\>0 \text{, falls } a^{3} > 0 \gdw a > 0 \end{cases}
[/mm]
D.h.: Falls a<0 ist, ist auch der Wert von [mm] f''_{a}(x_{1}) [/mm] < 0 --> Maximum / Hochpunkt
Falls a>0 ist, ist auch der Wert von [mm] f''_{a}(x_{1}) [/mm] > 0 --> Minimum / Tiefpunkt
[mm] f''_{a}(x_{2}) [/mm] = [mm] \begin{cases} <0 \text{, falls } a^{3} > 0 \gdw a > 0\\>0 \text{, falls } a^{3} < 0 \gdw a < 0 \end{cases}
[/mm]
D.h.: Falls a>0 ist, ist der Wert von [mm] f''_{a}(x_{1}) [/mm] < 0 --> Maximum / Hochpunkt
Falls a<0 ist, ist der Wert von [mm] f''_{a}(x_{1}) [/mm] > 0 --> Minimum / Tiefpunkt
Mehr musst du gar nicht machen. Immer schön allgemein bleiben - der Sinn solcher Parameteraufgaben ist es ja gerade, dass ein Außenstehender einfach ein a wählen kann und dann praktisch alle Ergebnisse vor der Nase hat - und da nützt es nichts, wenn er weiß dass z.B. für a = 1 da ein Tiefpunkt vorliegt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Di 12.02.2008 | | Autor: | Miranda |
Ahhhh, *klick*..DANKE!! ..ok, also wendepunkte muss ich dann doch gar nicht prüfen oder?
..
Ok, nun muss ich "nur noch" die Ortslinie bestimmen..
aber muss ich dafür nicht den Wendepunkt erst bestimmen.?
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Natürlich musst du noch die Wendepunkte bestimmen.
Setze dazu die zweite Ableitung (ist ja nur noch eine lineare Funktion) mit 0 gleich und stelle nach x um - Du erhältst genau eine Lösung. Diese musst du dann in die dritte Ableitung "einsetzen" ("einsetzen" deswegen, weil gar nichts mehr einzusetzen sein wird - die dritte Ableitung ist konstant! Da wird es dir leichter fallen zu bestimmen wann der Funktionswert der dritten Ableitung größer oder kleiner 0 ist (Denke aber an die Abhängigkeit von a!)), und so wirst du die Art des Wendepunkts erhalten.
Falls f''' < 0 an der herausgefundenen Nullstelle von f'' --> von linksgekrümmt nach rechtsgekrümmt (von konvex nach konkav)
Falls f''' > 0 an der herausgefundenen Nullstelle von f'' --> von rechtsgekrümmt nach linksgekrümmt (von konkav nach konvex)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Di 12.02.2008 | | Autor: | Miranda |
Also: zweite Ableitung 0 setzen:
[mm] \bruch{16}{243}\cdot{}a^{3}\cdot{}x-\bruch{16}{27}\cdot{}a^{2}=0
[/mm]
dabei als erstes : 16/243 und alles umstellen dann habe:
[mm] 0=a^3*x-9a^2 [/mm]
wahh es ist zum verzweifeln.. ist x= [mm] -9a^2? [/mm] oder nein =0
weil [mm] 0=x(a^3-9a^3)?
[/mm]
und die dritte Ableitung ist doch= [mm] \bruch{16}{243}*a^3oder?
[/mm]
und wie genau bekomme ich jetzt den genauen wendepunkt (bzw. die stelle)
Es tut mir ehrlich leid, dass ich i-wo das nicht verstehe, aber ehrlichen Dank an deine Geduld!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:57 Mi 13.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Also: zweite Ableitung 0 setzen:
>
> [mm]\bruch{16}{243}\cdot{}a^{3}\cdot{}x-\bruch{16}{27}\cdot{}a^{2}=0[/mm]
>
> dabei als erstes : 16/243 und alles umstellen dann habe:
> [mm]0=a^3*x-9a^2[/mm]
>
> wahh es ist zum verzweifeln.. ist x= [mm]-9a^2?[/mm] oder nein =0
> weil [mm]0=x(a^3-9a^3)?[/mm]
Du kannst x nicht Ausklammern, weil es in [mm] 9a^2 [/mm] gar nicht drinsteckt.
Umstellen von [mm]0=a^3*x-9a^2[/mm] nach x:
[mm] 9a^2=a^3*x
[/mm]
[mm] x=\bruch {9a^2}{a^3} [/mm] (und jetzt noch kürzen.)
>
> und die dritte Ableitung ist doch=
> [mm]\bruch{16}{243}*a^3oder?[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und wie genau bekomme ich jetzt den genauen wendepunkt
> (bzw. die stelle)
Ergebnis siehe oben. (Falls nicht nur nach Wendestelle, sondern nach Wendepunkt gefragt ist, Wendestelle in AUSGANGSGLEICHUNG einsetzen, um [mm] y_w [/mm] zu ermitteln.)
>
> Es tut mir ehrlich leid, dass ich i-wo das nicht verstehe,
> aber ehrlichen Dank an deine Geduld!!
>
>
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Hallo Miranda,
> Ahhhh, *klick*..DANKE!! ..ok, also wendepunkte muss ich
> dann doch gar nicht prüfen oder?
> ..
>
> Ok, nun muss ich "nur noch" die Ortslinie bestimmen..
> aber muss ich dafür nicht den Wendepunkt erst bestimmen.?
nein, die Bestimmung des Wendepunkts hat mit der Ortslinie der Extrempunkte nicht das Geringste zu tun.
Steppenhahn hatte schon ausgerechnet:
[mm] $x_{1} [/mm] = [mm] 9\cdot{}\left(\bruch{1}{a} + \wurzel{\bruch{3}{8}}\cdot{}\wurzel{\bruch{a+1}{a^{3}}}\right) [/mm] $
[mm] $x_{2} [/mm] = [mm] 9\cdot{}\left(\bruch{1}{a} - \wurzel{\bruch{3}{8}}\cdot{}\wurzel{\bruch{a+1}{a^{3}}}\right) [/mm] $
Diese Werte setzt du jetzt in die Ausgangsfunktion ein und berechnest die Koordinaten der Extrempunkte:
[mm] E_i=\left(x_i; f(x_i)\right)
[/mm]
Diese Koordinaten hängen vom Parameter a ab.
Wenn man den eliminiert, erhält man für jeden Extrempunkt
die  Ortskurve [<-- click it!], lies dir mal die Erklärungen in der MatheBank durch.
Gruß informix
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Ich glaube, es muss:
[mm]\gdw x^2\underbrace{-\bruch{18}{a}}_{p}x+\underbrace{\bruch{(5a+3)81}{[red] 8 [/red]a³}}_{q}=0[/mm]
heißen.
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