Extrempunkte y Wert < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Mi 29.03.2006 | | Autor: | alex02 |
Hallo,
hab mal eine Frage zu den Extrempunkten (Min und Max)
Indem man die erste Ableitung Nullstellt und sie mit der PQ Formel ausrechnen bekommt man xa x1 und x2 raus das die x Stellen der Min und Max Werte sind.
Aber wie bekommt man die Y Stellen der Min und Max Werte raus?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000010296&kat=Schule&
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Hallo,
einfach die x-Werte in die Funktionsgleichung einsetzen. So bekommst du zu jedem x-Werte den dazugehörigen y-Wert.
//Sara
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Mi 29.03.2006 | | Autor: | alex02 |
Gegeben ist die Funktion
f(x)=-0,5x³+2x²+4x-5,5
dann habe ich die 1. Nullstelle ausgerechnet also von -3 bis +3 in die Grundfunktion eingesetzt.
1. Nullstelle ist 1
Dann mit der Polynomdivision die Funktion ausgerechnet:
-0,5x²+1,5x+5,5
Dann die Funktion Nullsetzen und mit der PQ Formel die 2 und 3 Nullstelle ausgerechnet.
Jetzt habe ich die erste ableitung gemacht:
f´(x)=-1,5x²+4x+4
Diese Ableitung auch wieder Nullsetzen und mit der PQ Formel die Nullstellen ausrechnen.
Dann habe ich die 2. Ableitung gemacht:
f``(x)= -3x+4
Dann die Nullstellen von f`(x) in f``(x) einsetzen.
Ich dachte eigentlich das diese dann die y Werte der Min und Max Punkte sind.
Ist sonst alles richtiG?
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Hallo Alex,
du schrobst:
> f´(x)=-1,5x²+4x+4
> Dann die Nullstellen von f'(x) in f''(x) einsetzen.
>
> Ich dachte eigentlich das diese dann die y Werte der Min
> und Max Punkte sind.
Neinnein. Du musst die Nullstellen von f' in f einsetzen, um die Y-werte der Minima bzw.
der Maxima zu erhalten.
Tschö
Stukkateur
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 Mi 29.03.2006 | | Autor: | night |
Um vielleicht noch mal einen überblick zu geben wie man extrempunkte ermittelt!
als erstes bildest du die erste ableitung
dann suchst du dir eine nullstelle
bildest die 2 ableitung und setzt diese nullstelle der ersten ableitung dort ein
nun erhälst du den x - wert .....um den y wert zu erhalten setzt du wie schon beantwortet....den x -wert in die ursprungsfkt. ein!
damit hast du den y-wert!
man nennt diese vorgänge auch notwendige und hinreichende Bedingung
mfg Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Mi 29.03.2006 | | Autor: | alex02 |
Vielen Dank an Sie beiden. Sie haben mich wohl vor einer 5 gerettet!!!
Aber eine kleine Frage zum Wendepunkt habe ich noch:
Man setzt f``(x) = 0
Also z.B. f``(x)=-3x+4
0=-3x+4 /-4
-4=-3x //(-3)
1,333=x
Das ist also der X Wert des Wendepunktes?
Dann die 3. Ableitung bilden:
f```(x)=-3
und die Nullstelle von f``(x) in die 3. Ableitung einsetzen.
f```(1.333)=-3
Um den Y Wert des Wendepunktes zu ermitteln also wieder die Nullstelle von f``(x) in die Grundfunktion einsetzen?
Warum setzt man die Nullstellen der Min und Max Werte un die Nullstelle des Wendepunktes in die Nächsten ableitungen ein? Was bedeuten diese Ergebnisse?
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Hallo alex02!
> Das ist also der X Wert des Wendepunktes?
Fast. Das ist der x-Wert eines möglichen Wendepunktes.
> Um den Y Wert des Wendepunktes zu ermitteln also wieder die
> Nullstelle von f''(x) in die Grundfunktion einsetzen?
Ja, genau.
> Warum setzt man die Nullstellen der Min und Max Werte un
> die Nullstelle des Wendepunktes in die Nächsten ableitungen
> ein? Was bedeuten diese Ergebnisse?
Die Frage möchte ich gerne etwas ausführlicher beantworten:
Die Ableitung $ f'(x) $ einer Funktion $ f(x) $ gibt die Steigung der Funktion $ f $ an der Stelle $ x $ an. An einer Extremstelle ist die Steigung 0, d.h. du suchst Extremstellen, indem du $ f'(x)=0 $ setzt. Dies nennt man die notwendige Bedingung für eine Extremstelle. Jetzt könnte an der Stelle $ [mm] x_0 [/mm] $, für die gilt $ [mm] f'(x_0) [/mm] = 0 $ aber auch ein Sattelpunkt liegen (das ist zum Beispiel der Punkt $ (0|0) $ bei $ y = [mm] x^3 [/mm] $). Da es sich dabei nicht um ein Maximum oder Minimum handelt, muss für ein "echtes" Extremum noch eine weitere Bedingung erfüllt werden: $ [mm] f''(x_0) \not= [/mm] 0 $. Jetzt fragst du, warum dies gilt und was es bedeutet. Also:
Nehmen wir die Ableitung von $ f(x) = [mm] x^2 [/mm] $: $ f'(x) = 2x $. Wir wissen, dass f ein Minimum bei $ (0|0) $ hat. Die Ableitung ist eine Gerade durch den Ursprung. Was fällt also auf: Bei $ x=0 $ wechselt $ f'(x) $ vom Negativen ins Positive (Vorzeichenwechsel, VZW). Da die Ableitung die Steigung der Originalfunktion ausdrückt, wechselt in der Originalfunktion die Steigung bei $ x=0 $ das Vorzeichen von $ - $ nach $ + $, wir haben also unser Minimum.
Schön, doch wozu die 2. Ableitung bilden? Nehmen wir mal $ f(x) = [mm] x^3 [/mm] $ als Beispiel. Wir wissen, dass $ f $ keine Extremwerte hat. Trotzdem mal die rechnerische Überprüfung: $ [mm] f'(x)=3x^2 [/mm] $ ist eine Parabel mit der Nullstelle $ [mm] x_0 [/mm] = 0 $. Also liegt an $ x=0 $ eine Extremstelle? Nein. Denn $ f' $ hat keinen Vorzeichenwechsel bei $ [mm] x_0 [/mm] = 0 $, d.h. in $ f $ ändert sich die Steigung nicht, also haben wir auch kein Extremum, sondern "nur" einen Sattelpunkt.
Den Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung nennt man hinreichende Bedingung für eine Extremstelle. Damit man jetzt nicht immer Werte testweise in die 1. Ableitung einsetzen muss, um auf einen Vorzeichenwechsel zu untersuchen, formuliert man die Bedingung $ [mm] f''(x_0) \not= [/mm] 0 $. Denn wenn dies gilt, ist die Nullstelle der 1. Ableitung kein Maximum, die Funktion $ f'(x) $ schneidet also die x-Achse und berührt sie nicht nur. Das Ergebnis für $ [mm] f''(x_0) [/mm] $ hat aber noch einen Nutzen: Du kannst damit bestimmen, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum bei $ [mm] x_0 [/mm] $ handelt. Warum das? Wenn $ [mm] f''(x_0) [/mm] $ positiv ist, ist die Steigung von $ f' $ bei $ [mm] x_0 [/mm] $ ebenfalls positiv. Wie bei dem $ [mm] x^2 [/mm] $-Beispiel wechselt die Ableitung also von $-$ nach $+$, die Steigung von $ f $ also am Extremum von "fallend" nach "steigend". Damit handelt es sich um ein Minimum. Analog: Wenn $ [mm] f''(x_0) [/mm] < 0 $ handelt es sich bei $ [mm] x_0 [/mm] $ um ein Maximum.
Vielleicht hast du jetzt erkannt, dass sich bei der Wendepunktbestimmung das Problem nur eine Ableitungsebene weiter nach unten verschiebt, d.h. auch für Wendepunkte gibt es eine notwendige Bedingung ($ f''(x) = 0 $) und eine hinreichende Bedingung ($ [mm] f'''(x_0) \not= [/mm] 0 $).
Ich hoffe, du konntest meinen Ausführungen folgen, sonst melde dich ruhig...
Mit freundlichen Grüßen
Bjoern
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mi 29.03.2006 | | Autor: | alex02 |
Danke! Ihr habt mir echt geholfen!!!
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Hi, Stukkateur,
> Neinnein. Du musst die Nullstellen von f' in f einsetzen,
> um die Y-werte der Minima bzw.
> der Maxima zu erhalten.
Wieso denn "y-Werte der Minima bzw. Maxima"??
Meines Wissens SIND die Maxima bzw. Minima bereits die y-Koordinaten!
Ich kenne im Bereich der Kurvendiskussion die zugehörigen Begriffe so:
"Extremalstelle" [mm] x_{o}
[/mm]
"Extremwert" oder "Extremum" [mm] y{o}=f(x_{o})
[/mm]
"Extrempunkt" [mm] (x_{o}; f(x_{o}))
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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Hallo!
Noch eine kleine Ergänzung:
> Gegeben ist die Funktion
>
> f(x)=-0,5x³+2x²+4x-5,5
>
> dann habe ich die 1. Nullstelle ausgerechnet also von -3
> bis +3 in die Grundfunktion eingesetzt.
>
> 1. Nullstelle ist 1
>
>
> Dann mit der Polynomdivision die Funktion ausgerechnet:
>
> -0,5x²+1,5x+5,5
>
> Dann die Funktion Nullsetzen und mit der PQ Formel die 2
> und 3 Nullstelle ausgerechnet.
>
>
>
> Jetzt habe ich die erste ableitung gemacht:
>
> f´(x)=-1,5x²+4x+4
>
> Diese Ableitung auch wieder Nullsetzen und mit der PQ
> Formel die Nullstellen ausrechnen.
>
> Dann habe ich die 2. Ableitung gemacht:
>
> f''(x)= -3x+4
>
> Dann die Nullstellen von f'(x) in f''(x) einsetzen.
>
> Ich dachte eigentlich das diese dann die y Werte der Min
> und Max Punkte sind.
Du musst die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite einsetzen, um zu wissen, ob es sich wirklich um ein Extremum oder evtl. "nur" um einen Wendepunkt handelt. Und um herauszufinden, ob es ein Hoch- oder ein Tiefpunkt ist.
Aber um die y-Werte der Extrempunkte zu berechnen, musst du, wie schon erwähnt, den x-Wert in die Funktion einsetzen. Eigentlich ganz einfach, aber sämtliche Nachhilfeschülerinnen haben da bei mir auch immer Probleme mit. Aber es heißt doch extra f(x) - das bedeutet doch "Funktionswert an der Stelle x", also musst du x in die Funktion einsetzen, um den Funktionswert, also den y-Wert, zu erhalten.
Viele Grüße
Bastiane
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Mi 29.03.2006 | | Autor: | alex02 |
Eine kleine Frage habe ich leider noch.
Und zwar zur Polynomdivision.
Man probiert ja die erste Nullstelle der Grundfunktion zu finden durch probieren.
Also von -3 .... 3
wenn z.B. die Nullstelle bei 1 liegt muss man bei der Polynomdivison durch (x-1) teilen.
Und wenn die Nullstelle z.B. bei -3 liegt muss man dann durch (x+3) teilen?
Also immer das gegenteilige vorzeichen für die Klammer nehmen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Mi 29.03.2006 | | Autor: | Disap |
Moin zusammen.
> Eine kleine Frage habe ich leider noch.
>
> Und zwar zur Polynomdivision.
>
> Man probiert ja die erste Nullstelle der Grundfunktion zu
> finden durch probieren.
>
> Also von -3 .... 3
>
> wenn z.B. die Nullstelle bei 1 liegt muss man bei der
> Polynomdivison durch (x-1) teilen.
>
> Und wenn die Nullstelle z.B. bei -3 liegt muss man dann
> durch (x+3) teilen?
>
> Also immer das gegenteilige vorzeichen für die Klammer
> nehmen?
Genau so ist es.
Angenommen ich betrachte die Funktion [mm] x^2-1 [/mm] und rate nun, wo eine Nullstelle ist, sie ist bei [mm] x_1 [/mm] =1
Nun würde man durch [mm] \blue{(x-1)} [/mm] teilen, da eben der blau dargestellte Ausdruck NULL ergeben muss. Wäre die Nullstelle (von irgendeiner beliebigen Funktion) bei x=3
und du teilst durch (x+3), so wäre das in der Klammer nicht mehr null, die Polynomdivision geht nicht richtig auf, du wirst einen Rest erhalten.
Das heißt, um es vielleicht noch einmal in Worten zu verdeutlichen
[mm] (X_{Nullstelle} [/mm] - Zahl) =0
Oki?
mfG!
Disap
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Mi 05.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Alex
Wen du die Funktion f(x) in der Form f(x)=A*(x-a)*(x-b)*(x-c)*(x+d) gegeben hast, kannst du alle 4 Nullstellen direkt sehen, denn ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.
Natürlich siehst du hier auch, dass man durch jede der (..) dividieren kann und dann noch die restlichen Klammern bleiben, man also die 3 anderen Nullstellen übrig behält.
Dass x+d=0 x=-d und x-a=0 x=+a ergibt ist auch klar.
wenn jetzt f(x) in der ausmultiplizierten Form [mm] A*x^{4}+...... [/mm] vorliegt, und ich die Nullstelle x=a oder x=-d geraten hab, kann ich natürlich genauso vorgehen und durch x-a oder x+d dividieren und die anderen Nullstellen sind dann im Rest.
Wenn du f(x) durch x+d dividiert hast und dabei ne neues Polynom g(x) raus hast, kannst du ja schreiben f(x)=g(x)*(x+d) und dann kann wieder einer der Faktoren 0 sein!
Ich hoff es ist ein bissel klarer!
Übrigens. Dass Lehrer so leicht Funktionen finden mit ganzzahligen einfachen Nullstellen, liegt daran, dass sie sie einfach schon als Produkt wie oben hinschreiben, den Schülern aber dann, damit die Polynomdivision üben, in der ausmultiplizierten Form geben
Gruss leduart
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