Extremstelle mit Lagrange < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:51 Mi 07.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | | Untersuchen sie die Funktion f(x,y) = 3 - 3/4x - y mit der Nebenbedingung [mm] g(x,y)=4x^2+4y^2-9 [/mm] nach Extremstellen. |
Ich bin nun folgendermaßen vorgegangen:
fx(x,y)= -3/4
fy(x,y)= -1
gx(x,y)= 8x
gy(x,y)=8y
(1) Nebenbedingung:
[mm] 4x^2+4y^2-9=0
[/mm]
(2) Mulitplikator in der X-Komponente
-3/4 + [mm] \lambda [/mm] 8 x = 0
(3) Multiplikator in der Y-Komponente
-1 + [mm] \lambda [/mm] 8 y = 0
Nun habe ich ja 3 Unbekannte und 3 Gleichungen, aber wie löse ich das hier am besten auf?? Vielen Dank
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Hallo zocca!
So geht das nicht. Du kannst nicht einfach beide Funktionen / Bedingungen separat ableiten.
Dein Titel verrät ja, dass Du hier mit Lagrange vorgehen sollst. Stelle also zunächst die entsprechende Lagrange-Funktion auf und differenziere diese.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:25 Mi 07.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zocca!
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> So geht das nicht. Du kannst nicht einfach beide
> Funktionen / Bedingungen separat ableiten.
>
> Dein Titel verrät ja, dass Du hier mit Lagrange vorgehen
> sollst. Stelle also zunächst die entsprechende
> Lagrange-Funktion auf und differenziere diese.
Hallo Roadrunner,
Zocca hat doch die richtigen Gleichungen:
(1) Nebenbedingung:
$ [mm] 4x^2+4y^2-9=0 [/mm] $
(2)
-3/4 + $ [mm] \lambda [/mm] $ 8 x = 0
(3)
-1 + $ [mm] \lambda [/mm] $ 8 y = 0
FRED
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:29 Mi 07.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
Okay komisch...die Vorgehensweise wrde bei mir so im Skripi beschrieben.
Ich habs jetzt mal so gemacht wie ich es noch im Internet gefunden habe.
Lagrange Funktion:
[mm] L(x,y,\lambda) [/mm] = 3 - (3/4)x - y + [mm] \lambda(4x^2 [/mm] + [mm] 4y^2 [/mm] -9)
[mm] Lx(x,y,\lambda)= [/mm] -(3/4) + [mm] \lambda [/mm] 8x
[mm] Lx(x,y,\lambda)= [/mm] -1 + [mm] \lambda [/mm] 8y
[mm] L\lambda (x,y,\lambda)= +4x^2+4y^2-9
[/mm]
Komm ich aber auf das selbe..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:35 Mi 07.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Okay komisch...die Vorgehensweise wrde bei mir so im Skripi
> beschrieben.
>
> Ich habs jetzt mal so gemacht wie ich es noch im Internet
> gefunden habe.
>
> Lagrange Funktion:
>
> [mm]L(x,y,\lambda)[/mm] = 3 - (3/4)x - y + [mm]\lambda(4x^2[/mm] + [mm]4y^2[/mm] -9)
>
> [mm]Lx(x,y,\lambda)=[/mm] -(3/4) + [mm]\lambda[/mm] 8x
>
> [mm]Lx(x,y,\lambda)=[/mm] -1 + [mm]\lambda[/mm] 8y
>
> [mm]L\lambda (x,y,\lambda)= +4x^2+4y^2-9[/mm]
>
> Komm ich aber auf das selbe..
Ich hab doch oben gesagt, dass Du die richtigen Gleichungen hast
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:58 Mi 07.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
Kein Problem.
Nur stehe ich jetzt wieder beim selben Problem wie zu Beginn. Ich bekomm die 3 Gleichungen nicht nach den 3 Unbekannten aufgelöst.
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Hallo zocca!
Stelle die beiden letzten Gleichungen mit [mm] $\lambda$ [/mm] nach $x \ = \ ...$ bzw. $y \ = \ ...$ um und setze in die erste Gleichung ein.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Mi 07.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
Wenn ich die letzten beiden Gleichungen nach [mm] \lambda [/mm] auflöse, kann ich sie nicht in (1) einsetzen oder? Da dort ja kein [mm] \lambda [/mm] mehr vorhanden ist.
Ich habe nun mal nach x und y aufgelöst..
y=(1 / 8 [mm] \lambda) [/mm] und x = (3 / 4 [mm] \lambda) [/mm] setzt ich diese aber in Gleichung 1 ein..erhalte ich ein sehr merkwürdiges [mm] \lambda..
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Mi 07.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
(3) [mm] \lambda [/mm] 8 y = 1
y = (1 / 8 [mm] \lambda)
[/mm]
(2) [mm] \lambda [/mm] 8 x = 3/4
x = (3/4 [mm] \lambda) [/mm]
Einsetzen in (1):
4* [mm] (3/4\lambda)^2 [/mm] + 4 [mm] (1/8\lambda)^2 [/mm] -9 = 0
[mm] \bruch{36}{16\lambda^2 } [/mm] + [mm] \bruch{4}{64\lambda^2 } [/mm] -9 = 0 | * [mm] \lambda^2 [/mm]
[mm] \bruch{36}{16\ } [/mm] + [mm] \bruch{1}{16 } [/mm] - 9 [mm] \lambda^2 [/mm] = 0
Stimmt des soweit?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Mi 07.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
X= [mm] \bruch{3}{32 \lambda}
[/mm]
y = [mm] \bruch{1}{8 \lambda}
[/mm]
4 [mm] *(3/(32\lambda))^2 [/mm] + 4 * [mm] (1/(8\lambda))^2 [/mm] -9 = 0
4* [mm] \bruch{9}{1024\lambda^2 } [/mm] + 4* [mm] \bruch{1}{64\lambda^2 } [/mm] = 9
[mm] \bruch{36}{1024\lambda^2 } [/mm] + [mm] \bruch{64}{1024 \lambda^2 } [/mm] = 9
Aber auch hier ist das Ergebnis iwo falsch :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Mi 07.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> X= [mm]\bruch{3}{32 \lambda}[/mm]
>
> y = [mm]\bruch{1}{8 \lambda}[/mm]
>
> 4 [mm]*(3/(32\lambda))^2[/mm] + 4 * [mm](1/(8\lambda))^2[/mm] -9 = 0
>
> 4* [mm]\bruch{9}{1024\lambda^2 }[/mm] + 4* [mm]\bruch{1}{64\lambda^2 }[/mm] =
> 9
>
> [mm]\bruch{36}{1024\lambda^2 }[/mm] + [mm]\bruch{64}{1024 \lambda^2 }[/mm] =
> 9
>
> Aber auch hier ist das Ergebnis iwo falsch :(
Stimmt doch alles, weitermachen
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Mi 07.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
Dann ist [mm] \lambda [/mm] tatsächlich [mm] \wurzel{100 / 9216 } [/mm] ?
X = 9/10
y=6/5
x=-9/10
y=-6/5
hui aber ohne Taschenrechner schon recht zäh..
Wie kann ich daran nun noch erkennen ob es ein Minima oder Maxima ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Mi 07.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass es ohne TR zäh ist, liegt an dem unnötigen ausmult
[mm] 9*32^2 [/mm] sollte man stehen lassen, um ne Wurzel zu ziehen!
Für max oder min siehe Hessematrix! Habt ihr sicher besprochen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:17 Mi 07.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Okay komisch...die Vorgehensweise wrde bei mir so im Skripi
........................skripi, wie süüüüß ....................
FRED
> beschrieben.
>
> Ich habs jetzt mal so gemacht wie ich es noch im Internet
> gefunden habe.
>
> Lagrange Funktion:
>
> [mm]L(x,y,\lambda)[/mm] = 3 - (3/4)x - y + [mm]\lambda(4x^2[/mm] + [mm]4y^2[/mm] -9)
>
> [mm]Lx(x,y,\lambda)=[/mm] -(3/4) + [mm]\lambda[/mm] 8x
>
> [mm]Lx(x,y,\lambda)=[/mm] -1 + [mm]\lambda[/mm] 8y
>
> [mm]L\lambda (x,y,\lambda)= +4x^2+4y^2-9[/mm]
>
> Komm ich aber auf das selbe..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:28 Mi 07.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
Skript natürlich ;) blöde tastatur
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
![[kaffeetrinker]](/images/smileys/kaffeetrinker.gif "[kaffeetrinker]"){kind=small}
noch nicht wirklich.
