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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Mi 19.05.2004 | | Autor: | drummy |
Hallo!
Ich soll die Extremstellen für die Funktion [mm] 0,04x^4-x^2+0,96 [/mm] finden.
Ich weiss das die Bedingung für Extremstellen f´(x)=0 und f´´(x) ungleich 0 sind.
Jetzt muss ich doch die erste Ableitung also [mm] 0,16x^3-2x [/mm] = 0 setzen.
Man sieht ja jetzt das 0 eine Lösung ist. Aber wie mach ich denn jetzt weiter und wie krieg ich die Extremstellen?
Würde mich über Hilfe sehr freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Mi 19.05.2004 | | Autor: | Youri |
> Hallo!
Hallo nochmal Drummy!
> Ich soll die Extremstellen für die Funktion
> [mm] 0,04x^4-x^2+0,96 [/mm] finden.
Die Funktion lässt Dich wohl nicht mehr los 
> Ich weiss das die Bedingung für Extremstellen f´(x)=0 und
> f´´(x) ungleich 0 sind.
Ja, so ist es - genau genommen findest Du mit der ersten (notwendigen) Bedingung die möglichen Extremstellen heraus, mithilfe der zweiten (hinreichenden) Bedingung überprüfst Du in Frage kommenden Stellen.
> Jetzt muss ich doch die erste Ableitung also [mm] 0,16x^3-2x [/mm] = 0
> setzen.
Die Ableitung hast Du richtig bestimmt, und Du musst nun tatsächlich die zugehörigen
Werte für x ermitteln, so dass die Gleichung stimmt.
> Man sieht ja jetzt das 0 eine Lösung ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wie Du richtig erkannt hast, kann man die Gleichung folgendermaßen umstellen:
[mm] 0,16x^3-2x = 0 [/mm]
[mm] x*(0,16x^2 - 2) = 0 [/mm]
oder um den lästigen Faktor loszuwerden
[mm] 0,16x*(x^2-12,5) = 0 [/mm]
> Aber wie mach ich denn jetzt weiter und wie krieg ich die
> Extremstellen?
Über ein Produkt weißt Du bestimmt folgendes:
Ein Produkt hat den Wert [mm]0 [/mm], wenn ein Faktor [mm] 0 [/mm] ist.
Also kannst Du die obige Gleichung folgendermaßen aufteilen:
[mm] 0,16x*(x^2-12,5) = 0 [/mm]
[mm] 0,16x = 0 [/mm] oder [mm] x^2 - 12,5 = 0 [/mm]
Aus der ersten Gleichung folgt, was Dir schon längst bekannt war:
[mm] x_{1} = 0 [/mm]
Die zweite stellst Du nun nach [mm] x [/mm] um:
[mm] x^2 - 12,5 = 0 [/mm]
[mm] x^2 = 12,5 [/mm]
[mm] x_{2/3} = \pm \wurzel {12,5} [/mm]
An dieser Stelle hast Du nun Deine drei möglichen Extremstellen [mm] x_{1/2/3} [/mm] ermittelt.
Jetzt musst Du diese drei Möglichkeiten in die zweite Ableitung einsetzen, um Deine hinreichende Bedingung zu überprüfen. Anhand der Ergebnisse kannst Du erkennen, ob an den überprüften Stellen ein lokaler Hoch- / bzw. Tiefpunkt vorliegt.
Abschließend solltest Du dann [mm] x_{1/2/3} [/mm] noch in die Ausgangsfunktion einsetzen, um die Punkte in Deinen Graphen eintragen zu können.
Versuche es doch erst einmal, und wenn Du noch Fragen hast, melde Dich...
Schön wäre es auch, wenn Du Deine Ergebnisse vorstellst, so dass wir zur Sicherheit nochmal einen Blick darauf werfen können.
Viel Erfolg,
Andrea.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Mi 19.05.2004 | | Autor: | drummy |
Hallo Andrea,
vielen Dank für die Hilfe.
Meine gefundene Extrema sind: E1 (0/0,96) E2 (3,535../-5,29) E3 (-3,535../-5,29)
Ich hoffe sie sind richtig.
Ich will ja nicht nerven. Aber wenn ich das Monotonieverhalten rauskriegen will muss ich doch fast genau so vorgehen, oder ? Nur das es jetzt auf größer null und kleiner null ankommt.
Gruß drummy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Mi 19.05.2004 | | Autor: | Andi |
Hallo Drummy,
ich hab deine Werte gerade nochmal nachgerechnet und hab die gleichen rausbekommen.
Hast du auch überprüft ob es überhaupt Extremstellen sind ?
Wenn ja, welche ? Hoch- oder Tiefpunkte?
Zur Monotonie:
Wenn in einem Intervall f´(x)>0 ist steigt der Graph echt monoton
Wenn in einem Intervall f´(x)>0 ist fällt der Graph echt monoton
Wenn du willst verrat ich dir noch einen Tipp wie man Extremstellen ohne 2. Ableitung findet.
Und zwar schaut man sich den Exponent der Nullstelle an. Ich werd es dir mal an einem Beispiel erklären:
[mm] f(x)=x [/mm] hat eine einfache Nullstelle bei x=0, d.h Vorzeichenwechsel des Graphen (der Graph scheidet die x-Achse)
[mm] f(x)=x^2 [/mm] hat bei x=0 eine doppelte Nullstelle, d.h. kein Vorzeichenwexhel des Graphen (der Graph berührt die x-Achse)
[mm] f(x)=x^3 [/mm] hat bei x=0 eine dreichfache Nullstelle, d.h. Vorzeichenwechsel des Graphen (der Graph schneidet die x-Achse)
....
und nun zu den Extrempunkten:
wenn du bei der Bestimmung der Extrempunkten eine Nullstelle mit einem ungeraden Exponenten (1,3,5,...) erhalten hast, dann liegt ein Vorzeichenwechsel der Steigung vor, d.h. es handelt sich um einen Extrempunkt.
wenn du bei der Bestimmung der Extrempunkte eine Nullstelle mit einem geraden Exponenten (2,4,6,....) erhalten hast, liegt kein Vorzeichenwechsel der Steigung vor, d.h. es handelt sich nicht um einen Extrempunkt, sondern um einen Waagrechtpunkt.
Somit kannst du ganz ohne Rechnung schnell entscheiden ob es sich um einen Extrempunkt handelt.
Welcher Art der Extrempunkt ist, kannst du bei Polynomfunktionen ganz leicht an der höchsten Potenzfeststellen.
Beispiel:
Bei deiner Funktion ist der Exponent der höchsten Potenz 4 (die Potenz ist also grade) und der Vorfaktor 0,04 ist positiv, zusammen siehst du nun dass der Graph von "oben links" kommt und nach "oben rechts" geht: die erste Extremstelle muss dann ein Tiefpunkt sein, die zweite ein Hochpunkt, die dritte wieder ein Tiefpunkt.
Wenn die höchste Potenz einen ungeraden Exponenten , und wieder einen positiven Vorfaktor hat, kommt sie von "unten links" und geht nach "oben rechts"
Kannst du meine Überlegungen nachvollziehen? Also ich find das ganz schön, du sollstest auch möglichst früh anfangen dir immer zu Überlegen wie schaut mein Graph aus, damit du ein wenig ein Gefühl dafür bekommst.
Natürlich muss du noch mit deinem Lehrer abklären ob, und wie du solche Gedanken in Schulaufgaben benutzen kannst.
Ich wünsch dir noch viel Spass und meld dich wenn du was nicht verstanden hast.
Mfg Andi
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